MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nd1 Structured version   Unicode version

Theorem nd1 8500
Description: A lemma for proving conditionless ZFC axioms. (Contributed by NM, 1-Jan-2002.)
Assertion
Ref Expression
nd1  |-  ( A. x  x  =  y  ->  -.  A. x  y  e.  z )

Proof of Theorem nd1
StepHypRef Expression
1 elirrv 7601 . . 3  |-  -.  z  e.  z
2 stdpc4 2095 . . . 4  |-  ( A. y  y  e.  z  ->  [ z  /  y ] y  e.  z )
31nfnth 1566 . . . . 5  |-  F/ y  z  e.  z
4 elequ1 1731 . . . . 5  |-  ( y  =  z  ->  (
y  e.  z  <->  z  e.  z ) )
53, 4sbie 2155 . . . 4  |-  ( [ z  /  y ] y  e.  z  <->  z  e.  z )
62, 5sylib 190 . . 3  |-  ( A. y  y  e.  z  ->  z  e.  z )
71, 6mto 170 . 2  |-  -.  A. y  y  e.  z
8 ax10o 2042 . 2  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( A. x  y  e.  z  ->  A. y 
y  e.  z ) )
97, 8mtoi 172 1  |-  ( A. x  x  =  y  ->  -.  A. x  y  e.  z )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4   A.wal 1550   [wsb 1660
This theorem is referenced by:  axrepnd  8507  axinfndlem1  8518  axinfnd  8519  axacndlem1  8520  axacndlem2  8521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-sep 4361  ax-nul 4369  ax-pr 4438  ax-reg 7596
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2717  df-rex 2718  df-v 2967  df-dif 3312  df-un 3314  df-nul 3617  df-sn 3849  df-pr 3850
  Copyright terms: Public domain W3C validator