MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nd1 Unicode version

Theorem nd1 8209
Description: A lemma for proving conditionless ZFC axioms. (Contributed by NM, 1-Jan-2002.)
Assertion
Ref Expression
nd1  |-  ( A. x  x  =  y  ->  -.  A. x  y  e.  z )

Proof of Theorem nd1
StepHypRef Expression
1 elirrv 7311 . . 3  |-  -.  z  e.  z
2 stdpc4 1964 . . . 4  |-  ( A. y  y  e.  z  ->  [ z  /  y ] y  e.  z )
31nfnth 1543 . . . . 5  |-  F/ y  z  e.  z
4 elequ1 1687 . . . . 5  |-  ( y  =  z  ->  (
y  e.  z  <->  z  e.  z ) )
53, 4sbie 1978 . . . 4  |-  ( [ z  /  y ] y  e.  z  <->  z  e.  z )
62, 5sylib 188 . . 3  |-  ( A. y  y  e.  z  ->  z  e.  z )
71, 6mto 167 . 2  |-  -.  A. y  y  e.  z
8 ax10o 1892 . 2  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( A. x  y  e.  z  ->  A. y 
y  e.  z ) )
97, 8mtoi 169 1  |-  ( A. x  x  =  y  ->  -.  A. x  y  e.  z )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4   A.wal 1527    = wceq 1623   [wsb 1629    e. wcel 1684
This theorem is referenced by:  axrepnd  8216  axinfndlem1  8227  axinfnd  8228  axacndlem1  8229  axacndlem2  8230
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214  ax-reg 7306
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-nul 3456  df-sn 3646  df-pr 3647
  Copyright terms: Public domain W3C validator