MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nd1 Unicode version

Theorem nd1 8426
Description: A lemma for proving conditionless ZFC axioms. (Contributed by NM, 1-Jan-2002.)
Assertion
Ref Expression
nd1  |-  ( A. x  x  =  y  ->  -.  A. x  y  e.  z )

Proof of Theorem nd1
StepHypRef Expression
1 elirrv 7529 . . 3  |-  -.  z  e.  z
2 stdpc4 2080 . . . 4  |-  ( A. y  y  e.  z  ->  [ z  /  y ] y  e.  z )
31nfnth 1562 . . . . 5  |-  F/ y  z  e.  z
4 elequ1 1724 . . . . 5  |-  ( y  =  z  ->  (
y  e.  z  <->  z  e.  z ) )
53, 4sbie 2095 . . . 4  |-  ( [ z  /  y ] y  e.  z  <->  z  e.  z )
62, 5sylib 189 . . 3  |-  ( A. y  y  e.  z  ->  z  e.  z )
71, 6mto 169 . 2  |-  -.  A. y  y  e.  z
8 ax10o 2004 . 2  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( A. x  y  e.  z  ->  A. y 
y  e.  z ) )
97, 8mtoi 171 1  |-  ( A. x  x  =  y  ->  -.  A. x  y  e.  z )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4   A.wal 1546   [wsb 1655
This theorem is referenced by:  axrepnd  8433  axinfndlem1  8444  axinfnd  8445  axacndlem1  8446  axacndlem2  8447
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pr 4371  ax-reg 7524
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-v 2926  df-dif 3291  df-un 3293  df-nul 3597  df-sn 3788  df-pr 3789
  Copyright terms: Public domain W3C validator