MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nd2 Unicode version

Theorem nd2 8226
Description: A lemma for proving conditionless ZFC axioms. (Contributed by NM, 1-Jan-2002.)
Assertion
Ref Expression
nd2  |-  ( A. x  x  =  y  ->  -.  A. x  z  e.  y )

Proof of Theorem nd2
StepHypRef Expression
1 elirrv 7327 . . 3  |-  -.  z  e.  z
2 stdpc4 1977 . . . 4  |-  ( A. y  z  e.  y  ->  [ z  /  y ] z  e.  y )
31nfnth 1546 . . . . 5  |-  F/ y  z  e.  z
4 elequ2 1701 . . . . 5  |-  ( y  =  z  ->  (
z  e.  y  <->  z  e.  z ) )
53, 4sbie 1991 . . . 4  |-  ( [ z  /  y ] z  e.  y  <->  z  e.  z )
62, 5sylib 188 . . 3  |-  ( A. y  z  e.  y  ->  z  e.  z )
71, 6mto 167 . 2  |-  -.  A. y  z  e.  y
8 ax10o 1905 . 2  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( A. x  z  e.  y  ->  A. y 
z  e.  y ) )
97, 8mtoi 169 1  |-  ( A. x  x  =  y  ->  -.  A. x  z  e.  y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4   A.wal 1530    = wceq 1632   [wsb 1638    e. wcel 1696
This theorem is referenced by:  axrepnd  8232  axpownd  8239  axinfndlem1  8243  axacndlem4  8248
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230  ax-reg 7322
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-nul 3469  df-sn 3659  df-pr 3660
  Copyright terms: Public domain W3C validator