Theorem nd2 6458

Description: A lemma for proving conditionless ZFC axioms.

Assertion

Ref	Expression
nd2	|- (A.x x = y -> -. A.x z e. y)

Proof of Theorem nd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elirrv 5933	. . 3 |- -. z e. z
2		stdpc4 1829	. . . 4 |- (A.y z e. y -> [z / y]z e. y)
3	1	pm2.21i 126	. . . . 5 |- (z e. z -> A.y z e. z)
4		elequ2 1778	. . . . 5 |- (y = z -> (z e. y <-> z e. z))
5	3, 4	sbie 1840	. . . 4 |- ([z / y]z e. y <-> z e. z)
6	2, 5	sylib 242	. . 3 |- (A.y z e. y -> z e. z)
7	1, 6	mto 151	. 2 |- -. A.y z e. y
8		ax-10o 1781	. 2 |- (A.x x = y -> (A.x z e. y -> A.y z e. y))
9	7, 8	mtoi 153	1 |- (A.x x = y -> -. A.x z e. y)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3  A.wal 1584   = wceq 1586   e. wcel 1588  [wsbc 1814

This theorem is referenced by:  axrepnd 6464  axpownd 6471  axinfndlem1 6475  axacndlem4 6480

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1592  ax-gen 1593  ax-8 1594  ax-9 1595  ax-10 1596  ax-11 1597  ax-12 1598  ax-14 1600  ax-17 1605  ax-4 1608  ax-5o 1610  ax-6o 1613  ax-9o 1763  ax-10o 1781  ax-16 1854  ax-11o 1864  ax-ext 2123  ax-sep 3606  ax-nul 3613  ax-pow 3649  ax-reg 5928

This theorem depends on definitions:  df-bi 220  df-or 338  df-an 339  df-ex 1616  df-sb 1816  df-clab 2129  df-cleq 2134  df-clel 2137  df-ne 2268  df-ral 2359  df-rex 2360  df-v 2540  df-dif 2830  df-in 2834  df-ss 2836  df-nul 3083  df-pw 3229  df-sn 3242

Copyright terms: Public domain