MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nd2 Unicode version

Theorem nd2 8397
Description: A lemma for proving conditionless ZFC axioms. (Contributed by NM, 1-Jan-2002.)
Assertion
Ref Expression
nd2  |-  ( A. x  x  =  y  ->  -.  A. x  z  e.  y )

Proof of Theorem nd2
StepHypRef Expression
1 elirrv 7499 . . 3  |-  -.  z  e.  z
2 stdpc4 2058 . . . 4  |-  ( A. y  z  e.  y  ->  [ z  /  y ] z  e.  y )
31nfnth 1562 . . . . 5  |-  F/ y  z  e.  z
4 elequ2 1722 . . . . 5  |-  ( y  =  z  ->  (
z  e.  y  <->  z  e.  z ) )
53, 4sbie 2072 . . . 4  |-  ( [ z  /  y ] z  e.  y  <->  z  e.  z )
62, 5sylib 189 . . 3  |-  ( A. y  z  e.  y  ->  z  e.  z )
71, 6mto 169 . 2  |-  -.  A. y  z  e.  y
8 ax10o 1993 . 2  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( A. x  z  e.  y  ->  A. y 
z  e.  y ) )
97, 8mtoi 171 1  |-  ( A. x  x  =  y  ->  -.  A. x  z  e.  y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4   A.wal 1546   [wsb 1655
This theorem is referenced by:  axrepnd  8403  axpownd  8410  axinfndlem1  8414  axacndlem4  8419
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pr 4345  ax-reg 7494
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-v 2902  df-dif 3267  df-un 3269  df-nul 3573  df-sn 3764  df-pr 3765
  Copyright terms: Public domain W3C validator