Theorem ndmfv 3751

Description: The value of a class outside its domain is the empty set.

Assertion

Ref	Expression
ndmfv	|- (-. A e. dom F -> (F` A) = (/))

Proof of Theorem ndmfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 1537	. . . . . 6 |- (x = A -> (x e. dom F <-> A e. dom F))
2		breq1 2627	. . . . . . 7 |- (x = A -> (xFy <-> AFy))
3	2	exbidv 1281	. . . . . 6 |- (x = A -> (E.y xFy <-> E.y AFy))
4		visset 1816	. . . . . . 7 |- x e. V
5	4	eldm 3313	. . . . . 6 |- (x e. dom F <-> E.y xFy)
6	1, 3, 5	vtoclbg 1851	. . . . 5 |- (A e. V -> (A e. dom F <-> E.y AFy))
7		euex 1396	. . . . 5 |- (E!y AFy -> E.y AFy)
8	6, 7	syl5bir 210	. . . 4 |- (A e. V -> (E!y AFy -> A e. dom F))
9	8	con3d 95	. . 3 |- (A e. V -> (-. A e. dom F -> -. E!y AFy))
10		tz6.12-2 3745	. . 3 |- (-. E!y AFy -> (F` A) = (/))
11	9, 10	syl6 22	. 2 |- (A e. V -> (-. A e. dom F -> (F` A) = (/)))
12		fvprc 3727	. . 3 |- (-. A e. V -> (F` A) = (/))
13	12	a1d 12	. 2 |- (-. A e. V -> (-. A e. dom F -> (F` A) = (/)))
14	11, 13	pm2.61i 126	1 |- (-. A e. dom F -> (F` A) = (/))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   = wceq 958   e. wcel 960  E.wex 982  E!weu 1382  Vcvv 1814  (/)c0 2283   class class class wbr 2624  dom cdm 3176  ` cfv 3188

This theorem is referenced by:  ndmfvrcl 3752  elfvdm 3753  nfvres 3754  funfv 3776  fvco 3780  fvopab4ndm 3790  funiunfv 3872  rdgsucopabn 3953  oprprc1 3990  oprssdm 4048  ndmoprg 4049  1st2val 4101  2nd2val 4102  r1tr 4664  alephon 4876  alephcard 4878  alephnbtwn 4879  alephgeom 4893  cfub 4920  cardcf 4923  cflecard 4924  cfle 4925  uzssz 6431  alephadd 7584  issubg 8112  0vfval 8221  vsfval 8250  dmadjrnb 9825  hmdmadjt 9859

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-xp 3190  df-cnv 3192  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fv 3204

Copyright terms: Public domain