MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ndmioo Unicode version

Theorem ndmioo 10683
Description: The open interval function's value is empty outside of its domain. (Contributed by NM, 21-Jun-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
ndmioo  |-  ( -.  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A (,) B
)  =  (/) )

Proof of Theorem ndmioo
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ioo 10660 . . . 4  |-  (,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <  z  /\  z  <  y ) } )
21ixxf 10666 . . 3  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR*
32fdmi 5394 . 2  |-  dom  (,)  =  ( RR*  X.  RR* )
43ndmov 6004 1  |-  ( -.  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A (,) B
)  =  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625    X. cxp 4687  (class class class)co 5858   RR*cxr 8866    < clt 8867   (,)cioo 10656
This theorem is referenced by:  iooid  10684  eliooxr  10709  iccssioo2  10722  ioombl  18922  mbfima  18987  dvferm1lem  19331  dvferm2lem  19333  dvferm  19335  dvivthlem1  19355  elioo1t3  25502  oisbmi  25503  oisbmj  25504  oibbi1  25509  oibbi2  25510
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-xr 8871  df-ioo 10660
  Copyright terms: Public domain W3C validator