Theorem ndmoprcom 4053

Description: Any operation is commutative outside its domain.

Hypotheses

Ref	Expression
ndmopr.1	|- B e. V
ndmopr.2	|- dom F = (S X. S)
ndmopr.3	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
ndmoprcom	|- (-. (A e. S /\ B e. S) -> (AFB) = (BFA))

Proof of Theorem ndmoprcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ndmopr.1	. . 3 |- B e. V
2		ndmopr.2	. . 3 |- dom F = (S X. S)
3	1, 2	ndmopr 4051	. 2 |- (-. (A e. S /\ B e. S) -> (AFB) = (/))
4		ancom 437	. . . 4 |- ((A e. S /\ B e. S) <-> (B e. S /\ A e. S))
5	4	negbii 187	. . 3 |- (-. (A e. S /\ B e. S) <-> -. (B e. S /\ A e. S))
6		ndmopr.3	. . . 4 |- A e. V
7	6, 2	ndmopr 4051	. . 3 |- (-. (B e. S /\ A e. S) -> (BFA) = (/))
8	5, 7	sylbi 199	. 2 |- (-. (A e. S /\ B e. S) -> (BFA) = (/))
9	3, 8	eqtr4d 1513	1 |- (-. (A e. S /\ B e. S) -> (AFB) = (BFA))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  Vcvv 1814  (/)c0 2283   X. cxp 3174  dom cdm 3176  (class class class)co 3969

This theorem is referenced by:  addcompi 5034  mulcompi 5036  addcompq 5074  mulcompq 5076  addcompr 5135  mulcompr 5137  addcomsr 5208  mulcomsr 5210

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-xp 3190  df-cnv 3192  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fv 3204  df-opr 3971

Copyright terms: Public domain