Theorem ndmoprg 4043

Description: The value of an operation outside its domain.

Assertion

Ref	Expression
ndmoprg	|- ((dom F = (R X. S) /\ B e. C /\ -. (A e. R /\ B e. S)) -> (AFB) = (/))

Proof of Theorem ndmoprg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 1535	. . . . 5 |- (dom F = (R X. S) -> (<.A, B>. e. dom F <-> <.A, B>. e. (R X. S)))
2		opelxpg 3216	. . . . 5 |- (B e. C -> (<.A, B>. e. (R X. S) <-> (A e. R /\ B e. S)))
3	1, 2	sylan9bb 540	. . . 4 |- ((dom F = (R X. S) /\ B e. C) -> (<.A, B>. e. dom F <-> (A e. R /\ B e. S)))
4	3	negbid 611	. . 3 |- ((dom F = (R X. S) /\ B e. C) -> (-. <.A, B>. e. dom F <-> -. (A e. R /\ B e. S)))
5		ndmfv 3745	. . . 4 |- (-. <.A, B>. e. dom F -> (F` <.A, B>.) = (/))
6		df-opr 3965	. . . 4 |- (AFB) = (F` <.A, B>.)
7	5, 6	syl5eq 1519	. . 3 |- (-. <.A, B>. e. dom F -> (AFB) = (/))
8	4, 7	syl6bir 215	. 2 |- ((dom F = (R X. S) /\ B e. C) -> (-. (A e. R /\ B e. S) -> (AFB) = (/)))
9	8	3impia 830	1 |- ((dom F = (R X. S) /\ B e. C /\ -. (A e. R /\ B e. S)) -> (AFB) = (/))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  (/)c0 2280  <.cop 2411   X. cxp 3168  dom cdm 3170  ` cfv 3182  (class class class)co 3963

This theorem is referenced by:  ndmoprcl 4044  ndmopr 4045  curry1val 4100  ndmioo 6370  elioo3g 6380  elfz2t 6472  clsrebb 10493  hmeogrp 10538

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-xp 3184  df-cnv 3186  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fv 3198  df-opr 3965

Copyright terms: Public domain