MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ndvdsi Structured version   Unicode version

Theorem ndvdsi 12923
Description: A quick test for non-divisibility. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ndvdsi.1  |-  A  e.  NN
ndvdsi.2  |-  Q  e. 
NN0
ndvdsi.3  |-  R  e.  NN
ndvdsi.4  |-  ( ( A  x.  Q )  +  R )  =  B
ndvdsi.5  |-  R  < 
A
Assertion
Ref Expression
ndvdsi  |-  -.  A  ||  B

Proof of Theorem ndvdsi
StepHypRef Expression
1 ndvdsi.1 . . . . 5  |-  A  e.  NN
21nnzi 10298 . . . 4  |-  A  e.  ZZ
3 ndvdsi.2 . . . . 5  |-  Q  e. 
NN0
43nn0zi 10299 . . . 4  |-  Q  e.  ZZ
5 dvdsmul1 12864 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  Q  e.  ZZ )  ->  A  ||  ( A  x.  Q ) )
62, 4, 5mp2an 654 . . 3  |-  A  ||  ( A  x.  Q
)
7 zmulcl 10317 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  Q  e.  ZZ )  ->  ( A  x.  Q
)  e.  ZZ )
82, 4, 7mp2an 654 . . . 4  |-  ( A  x.  Q )  e.  ZZ
9 ndvdsi.3 . . . . 5  |-  R  e.  NN
10 ndvdsi.5 . . . . 5  |-  R  < 
A
119, 10pm3.2i 442 . . . 4  |-  ( R  e.  NN  /\  R  <  A )
12 ndvdsadd 12921 . . . 4  |-  ( ( ( A  x.  Q
)  e.  ZZ  /\  A  e.  NN  /\  ( R  e.  NN  /\  R  <  A ) )  -> 
( A  ||  ( A  x.  Q )  ->  -.  A  ||  (
( A  x.  Q
)  +  R ) ) )
138, 1, 11, 12mp3an 1279 . . 3  |-  ( A 
||  ( A  x.  Q )  ->  -.  A  ||  ( ( A  x.  Q )  +  R ) )
146, 13ax-mp 8 . 2  |-  -.  A  ||  ( ( A  x.  Q )  +  R
)
15 ndvdsi.4 . . 3  |-  ( ( A  x.  Q )  +  R )  =  B
1615breq2i 4213 . 2  |-  ( A 
||  ( ( A  x.  Q )  +  R )  <->  A  ||  B
)
1714, 16mtbi 290 1  |-  -.  A  ||  B
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4205  (class class class)co 6074    + caddc 8986    x. cmul 8988    < clt 9113   NNcn 9993   NN0cn0 10214   ZZcz 10275    || cdivides 12845
This theorem is referenced by:  dec5dvds  13393  5prm  13424  7prm  13426  11prm  13430  13prm  13431  17prm  13432  19prm  13433  23prm  13434  37prm  13436  43prm  13437  83prm  13438  139prm  13439  163prm  13440  317prm  13441  631prm  13442  1259lem5  13447  2503lem3  13451  4001lem4  13456  dcubic1lem  20676  dcubic2  20677  mcubic  20680  konigsberg  21702
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694  ax-cnex 9039  ax-resscn 9040  ax-1cn 9041  ax-icn 9042  ax-addcl 9043  ax-addrcl 9044  ax-mulcl 9045  ax-mulrcl 9046  ax-mulcom 9047  ax-addass 9048  ax-mulass 9049  ax-distr 9050  ax-i2m1 9051  ax-1ne0 9052  ax-1rid 9053  ax-rnegex 9054  ax-rrecex 9055  ax-cnre 9056  ax-pre-lttri 9057  ax-pre-lttrn 9058  ax-pre-ltadd 9059  ax-pre-mulgt0 9060  ax-pre-sup 9061
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rmo 2706  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-pss 3329  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-tp 3815  df-op 3816  df-uni 4009  df-iun 4088  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-tr 4296  df-eprel 4487  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-fr 4534  df-we 4536  df-ord 4577  df-on 4578  df-lim 4579  df-suc 4580  df-om 4839  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-ov 6077  df-oprab 6078  df-mpt2 6079  df-1st 6342  df-2nd 6343  df-riota 6542  df-recs 6626  df-rdg 6661  df-er 6898  df-en 7103  df-dom 7104  df-sdom 7105  df-sup 7439  df-pnf 9115  df-mnf 9116  df-xr 9117  df-ltxr 9118  df-le 9119  df-sub 9286  df-neg 9287  df-div 9671  df-nn 9994  df-2 10051  df-3 10052  df-n0 10215  df-z 10276  df-uz 10482  df-rp 10606  df-fz 11037  df-seq 11317  df-exp 11376  df-cj 11897  df-re 11898  df-im 11899  df-sqr 12033  df-abs 12034  df-dvds 12846
  Copyright terms: Public domain W3C validator