MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ne0gt0d Unicode version

Theorem ne0gt0d 8972
Description: A nonzero nonnegative number is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ne0gt0d.2  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
ne0gt0d.3  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
ne0gt0d  |-  ( ph  ->  0  <  A )

Proof of Theorem ne0gt0d
StepHypRef Expression
1 ne0gt0d.3 . 2  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
2 ltd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3 ne0gt0d.2 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
4 ne0gt0 8941 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( A  =/=  0  <->  0  <  A ) )
52, 3, 4syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  =/=  0  <->  0  <  A ) )
61, 5mpbid 201 1  |-  ( ph  ->  0  <  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    e. wcel 1696    =/= wne 2459   class class class wbr 4039   RRcr 8752   0cc0 8753    < clt 8883    <_ cle 8884
This theorem is referenced by:  sqrgt0  11760  absrpcl  11789  sqreulem  11859  efgt0  12399  abvgt0  15609  nmrpcl  18157  lebnumlem1  18475  ipcau2  18680  recxpcl  20038  mulcxp  20048  rlimcnp  20276  lgsdilem  20577  pntleml  20776  xrge0iifhom  23334  axsegconlem6  24622  axpaschlem  24640  axcontlem2  24665  axcontlem4  24667  axcontlem7  24670  dvreasin  25026
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889
  Copyright terms: Public domain W3C validator