MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negcl Unicode version

Theorem negcl 9052
Description: Closure law for negative. (Contributed by NM, 6-Aug-2003.)
Assertion
Ref Expression
negcl  |-  ( A  e.  CC  ->  -u A  e.  CC )

Proof of Theorem negcl
StepHypRef Expression
1 df-neg 9040 . 2  |-  -u A  =  ( 0  -  A )
2 0cn 8831 . . 3  |-  0  e.  CC
3 subcl 9051 . . 3  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( 0  -  A
)  e.  CC )
42, 3mpan 651 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
0  -  A )  e.  CC )
51, 4syl5eqel 2367 1  |-  ( A  e.  CC  ->  -u A  e.  CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1684  (class class class)co 5858   CCcc 8735   0cc0 8737    - cmin 9037   -ucneg 9038
This theorem is referenced by:  negcon1  9099  negdi  9104  negdi2  9105  negsubdi2  9106  neg2sub  9107  negcli  9114  negcld  9144  mulneg2  9217  mul2neg  9219  mulsub  9222  divneg  9455  divsubdir  9456  divsubdiv  9476  eqneg  9480  div2neg  9483  divneg2  9484  zeo  10097  sqneg  11164  binom2sub  11220  shftval4  11572  shftcan1  11578  shftcan2  11579  crim  11600  resub  11612  imsub  11620  cjneg  11632  cjsub  11634  absneg  11762  abs2dif2  11817  sqreulem  11843  sqreu  11844  subcn2  12068  efcan  12376  efne0  12377  efneg  12378  efsub  12380  sinneg  12426  cosneg  12427  tanneg  12428  efmival  12433  sinhval  12434  coshval  12435  sinsub  12448  cossub  12449  sincossq  12456  cnaddablx  15158  cnaddabl  15159  cncrng  16395  cnfldneg  16400  plyremlem  19684  reeff1o  19823  sin2pim  19853  cos2pim  19854  cxpsub  20029  cxpsqr  20050  logrec  20117  asinlem3  20167  asinneg  20182  acosneg  20183  sinasin  20185  asinsin  20188  cosasin  20200  atantan  20219  cnaddablo  21017  addinv  21019  vcsubdir  21112  hvsubdistr2  21629  spanunsni  22158  mslb1  25607  stoweidlem13  27762  sinhpcosh  28210
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-ltxr 8872  df-sub 9039  df-neg 9040
  Copyright terms: Public domain W3C validator