MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negcl Unicode version

Theorem negcl 9097
Description: Closure law for negative. (Contributed by NM, 6-Aug-2003.)
Assertion
Ref Expression
negcl  |-  ( A  e.  CC  ->  -u A  e.  CC )

Proof of Theorem negcl
StepHypRef Expression
1 df-neg 9085 . 2  |-  -u A  =  ( 0  -  A )
2 0cn 8876 . . 3  |-  0  e.  CC
3 subcl 9096 . . 3  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( 0  -  A
)  e.  CC )
42, 3mpan 651 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
0  -  A )  e.  CC )
51, 4syl5eqel 2400 1  |-  ( A  e.  CC  ->  -u A  e.  CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1701  (class class class)co 5900   CCcc 8780   0cc0 8782    - cmin 9082   -ucneg 9083
This theorem is referenced by:  negcon1  9144  negdi  9149  negdi2  9150  negsubdi2  9151  neg2sub  9152  negcli  9159  negcld  9189  mulneg2  9262  mul2neg  9264  mulsub  9267  divneg  9500  divsubdir  9501  divsubdiv  9521  eqneg  9525  div2neg  9528  divneg2  9529  zeo  10144  sqneg  11211  binom2sub  11267  shftval4  11619  shftcan1  11625  shftcan2  11626  crim  11647  resub  11659  imsub  11667  cjneg  11679  cjsub  11681  absneg  11809  abs2dif2  11864  sqreulem  11890  sqreu  11891  subcn2  12115  efcan  12423  efne0  12424  efneg  12425  efsub  12427  sinneg  12473  cosneg  12474  tanneg  12475  efmival  12480  sinhval  12481  coshval  12482  sinsub  12495  cossub  12496  sincossq  12503  cnaddablx  15207  cnaddabl  15208  cncrng  16451  cnfldneg  16456  plyremlem  19737  reeff1o  19876  sin2pim  19906  cos2pim  19907  cxpsub  20082  cxpsqr  20103  logrec  20170  asinlem3  20220  asinneg  20235  acosneg  20236  sinasin  20238  asinsin  20241  cosasin  20253  atantan  20272  cnaddablo  21070  addinv  21072  vcsubdir  21167  hvsubdistr2  21684  spanunsni  22213  ltflcei  25312  stoweidlem13  26910  sinhpcosh  27659
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-op 3683  df-uni 3865  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-riota 6346  df-er 6702  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-ltxr 8917  df-sub 9084  df-neg 9085
  Copyright terms: Public domain W3C validator