MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negnegd Structured version   Unicode version

Theorem negnegd 9407
Description: A number is equal to the negative of its negative. Theorem I.4 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
negidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
negnegd  |-  ( ph  -> 
-u -u A  =  A )

Proof of Theorem negnegd
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 negneg 9356 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  -u -u A  =  A )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  -> 
-u -u A  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1726   CCcc 8993   -ucneg 9297
This theorem is referenced by:  ltnegcon1  9534  ltnegcon2  9535  lenegcon1  9537  lenegcon2  9538  infm3lem  9971  infmsup  9991  infmrcl  9992  zeo  10360  zindd  10376  negn0  10567  supminf  10568  zsupss  10570  max0sub  10787  xnegneg  10805  expneg  11394  expaddzlem  11428  expaddz  11429  cjcj  11950  cnpart  12050  sincossq  12782  bitsf1  12963  pcid  13251  4sqlem10  13320  mulgnegnn  14905  mulgsubcl  14909  mulgneg  14913  mulgz  14916  mulgass  14925  ghmmulg  15023  cyggeninv  15498  tgpmulg  18128  xrhmeo  18976  cphsqrcl3  19155  iblneg  19697  itgneg  19698  ditgswap  19751  lhop2  19904  vieta1lem2  20233  ptolemy  20409  tanabsge  20419  tanord  20445  tanregt0  20446  lognegb  20489  logtayl  20556  logtayl2  20558  cxpmul2z  20587  isosctrlem2  20668  dcubic  20691  dquart  20698  atans2  20776  amgmlem  20833  basellem5  20872  basellem9  20876  lgsdir2lem4  21115  dchrisum0flblem1  21207  ostth3  21337  gxnn0neg  21856  ipasslem3  22339  lgamucov  24827  risefallfac  25345  ftc1anclem6  26299  rexzrexnn0  26878  acongsym  27055  acongneg2  27056  acongtr  27057  itgsin0pilem1  27734  itgsinexplem1  27738  stoweidlem13  27752  sigariz  27843  sigaradd  27846
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-riota 6552  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-ltxr 9130  df-sub 9298  df-neg 9299
  Copyright terms: Public domain W3C validator