MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negsub Structured version   Unicode version

Theorem negsub 9349
Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
negsub  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  -  B ) )

Proof of Theorem negsub
StepHypRef Expression
1 df-neg 9294 . . . 4  |-  -u B  =  ( 0  -  B )
21oveq2i 6092 . . 3  |-  ( A  +  -u B )  =  ( A  +  ( 0  -  B ) )
32a1i 11 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  +  ( 0  -  B ) ) )
4 0cn 9084 . . 3  |-  0  e.  CC
5 addsubass 9315 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  (
( A  +  0 )  -  B )  =  ( A  +  ( 0  -  B
) ) )
64, 5mp3an2 1267 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  + 
0 )  -  B
)  =  ( A  +  ( 0  -  B ) ) )
7 simpl 444 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
87addid1d 9266 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  0 )  =  A )
98oveq1d 6096 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  + 
0 )  -  B
)  =  ( A  -  B ) )
103, 6, 93eqtr2d 2474 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  -  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725  (class class class)co 6081   CCcc 8988   0cc0 8990    + caddc 8993    - cmin 9291   -ucneg 9292
This theorem is referenced by:  negdi2  9359  negsubdi2  9360  resubcli  9363  resubcl  9365  negsubi  9378  negsubd  9417  submul2  9474  mulsub  9476  divsubdir  9710  elz2  10298  zsubcl  10319  qsubcl  10593  rexsub  10819  fzsubel  11088  ceim1l  11234  modcyc2  11277  expsub  11427  binom2sub  11498  seqshft  11900  resub  11932  imsub  11940  cjsub  11954  cjreim  11965  absdiflt  12121  absdifle  12122  abs2dif2  12137  subcn2  12388  efsub  12701  efi4p  12738  sinsub  12769  cossub  12770  demoivreALT  12802  dvdssub  12890  modgcd  13036  gzsubcl  13308  cnfldsub  16729  itg1sub  19601  plyremlem  20221  sineq0  20429  logneg2  20510  ang180lem2  20652  asinsin  20732  atanneg  20747  atancj  20750  atanlogadd  20754  atanlogsublem  20755  atanlogsub  20756  2efiatan  20758  tanatan  20759  cosatan  20761  atans2  20771  dvatan  20775  wilthlem1  20851  wilthlem2  20852  basellem8  20870  lgsvalmod  21099  gxsuc  21860  gxadd  21863  gxsub  21864  vcsubdir  22035  cnnvm  22174  cncph  22320  hvsubdistr2  22552  lnfnsubi  23549  zetacvg  24799  subfacval2  24873  bpoly2  26103  bpoly3  26104  itg2addnclem3  26258  pellexlem6  26897  pell14qrdich  26932  rmxm1  26997  rmym1  26998  psgnunilem2  27395
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-ltxr 9125  df-sub 9293  df-neg 9294
  Copyright terms: Public domain W3C validator