MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negsub Unicode version

Theorem negsub 9111
Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
negsub  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  -  B ) )

Proof of Theorem negsub
StepHypRef Expression
1 df-neg 9056 . . . 4  |-  -u B  =  ( 0  -  B )
21oveq2i 5885 . . 3  |-  ( A  +  -u B )  =  ( A  +  ( 0  -  B ) )
32a1i 10 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  +  ( 0  -  B ) ) )
4 0cn 8847 . . 3  |-  0  e.  CC
5 addsubass 9077 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  (
( A  +  0 )  -  B )  =  ( A  +  ( 0  -  B
) ) )
64, 5mp3an2 1265 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  + 
0 )  -  B
)  =  ( A  +  ( 0  -  B ) ) )
7 simpl 443 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
87addid1d 9028 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  0 )  =  A )
98oveq1d 5889 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  + 
0 )  -  B
)  =  ( A  -  B ) )
103, 6, 93eqtr2d 2334 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  -  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696  (class class class)co 5874   CCcc 8751   0cc0 8753    + caddc 8756    - cmin 9053   -ucneg 9054
This theorem is referenced by:  negdi2  9121  negsubdi2  9122  resubcli  9125  resubcl  9127  negsubi  9140  negsubd  9179  submul2  9236  mulsub  9238  divsubdir  9472  elz2  10056  zsubcl  10077  qsubcl  10351  rexsub  10576  fzsubel  10843  ceim1l  10973  modcyc2  11016  expsub  11165  binom2sub  11236  seqshft  11596  resub  11628  imsub  11636  cjsub  11650  cjreim  11661  absdiflt  11817  absdifle  11818  abs2dif2  11833  subcn2  12084  efsub  12396  efi4p  12433  sinsub  12464  cossub  12465  demoivreALT  12497  dvdssub  12585  modgcd  12731  gzsubcl  13003  cnfldsub  16418  itg1sub  19080  plyremlem  19700  sineq0  19905  logneg2  19985  ang180lem2  20124  asinsin  20204  atanneg  20219  atancj  20222  atanlogadd  20226  atanlogsublem  20227  atanlogsub  20228  2efiatan  20230  tanatan  20231  cosatan  20233  atans2  20243  dvatan  20247  wilthlem1  20322  wilthlem2  20323  basellem8  20341  lgsvalmod  20570  gxsuc  20955  gxadd  20958  gxsub  20959  vcsubdir  21128  cnnvm  21267  cncph  21413  hvsubdistr2  21645  lnfnsubi  22642  ballotlem2  23063  zetacvg  23704  subfacval2  23733  bpoly2  24864  bpoly3  24865  itg2addnc  25005  mslb1  25710  pellexlem6  27022  pell14qrdich  27057  rmxm1  27122  rmym1  27123  psgnunilem2  27521  stoweidlem10  27862  stoweidlem13  27865  stoweidlem22  27874  stoweidlem23  27875  stoweidlem26  27878  stoweidlem42  27894  stoweidlem47  27899
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-ltxr 8888  df-sub 9055  df-neg 9056
  Copyright terms: Public domain W3C validator