MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negsubd Unicode version

Theorem negsubd 9163
Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
pncand.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
negsubd  |-  ( ph  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  -  B ) )

Proof of Theorem negsubd
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 pncand.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 negsub 9095 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  -  B ) )
41, 2, 3syl2anc 642 1  |-  ( ph  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  -  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684  (class class class)co 5858   CCcc 8735    + caddc 8740    - cmin 9037   -ucneg 9038
This theorem is referenced by:  mulsub  9222  divsubdir  9456  divsubdiv  9476  ofnegsub  9744  icoshftf1o  10759  fzosubel  10908  modsub12d  11006  expaddzlem  11145  binom2sub  11220  discr  11238  cjreb  11608  recj  11609  remullem  11613  imcj  11617  sqreulem  11843  subcn2  12068  lo1sub  12104  iseraltlem2  12155  iseraltlem3  12156  fsumshftm  12243  fsumsub  12250  incexclem  12295  incexc  12296  efmival  12433  cosadd  12445  sinsub  12448  sincossq  12456  moddvds  12538  dvdsadd2b  12571  bitsres  12664  pythagtriplem4  12872  mulgdirlem  14591  mulgsubdir  14598  cnsubrg  16432  zlpirlem3  16443  pjthlem1  18801  mbfsub  19017  mbfmulc2  19018  itg2monolem1  19105  itgcnlem  19144  iblsub  19176  itgsub  19180  itgmulc2  19188  dvmptsub  19316  dvexp3  19325  dvsincos  19328  dvlipcn  19341  ftc2  19391  aaliou3lem6  19728  tanarg  19970  advlogexp  20002  cxpsub  20029  abscxpbnd  20093  isosctrlem2  20119  angpieqvdlem  20125  quad2  20135  dcubic1lem  20139  dcubic2  20140  dcubic  20142  mcubic  20143  dquartlem2  20148  dquart  20149  quart1lem  20151  quartlem1  20153  quart  20157  asinlem2  20165  cosasin  20200  atanlogsublem  20211  atantan  20219  atantayl2  20234  ftalem5  20314  basellem9  20326  lgseisenlem1  20588  2sqlem4  20606  rpvmasum2  20661  log2sumbnd  20693  chpdifbndlem1  20702  pntpbnd1  20735  gxmodid  20946  smcnlem  21270  ipval2  21280  ipasslem2  21410  dipsubdir  21426  his2sub  21671  pjhthlem1  21970  axsegconlem9  24553  axeuclidlem  24590  areacirclem2  24925  mslb1  25607  mzpsubmpt  26821  pellexlem6  26919  pell1234qrreccl  26939  pellfund14  26983  rmxyneg  27005  rmxm1  27019  rmym1  27020  congsub  27057  jm2.19lem1  27082  jm2.19lem4  27085  jm2.19  27086  jm2.26lem3  27094  stirlinglem5  27827  sigarperm  27850
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-ltxr 8872  df-sub 9039  df-neg 9040
  Copyright terms: Public domain W3C validator