MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negsubdi2 Unicode version

Theorem negsubdi2 9106
Description: Distribution of negative over subtraction. (Contributed by NM, 4-Oct-1999.)
Assertion
Ref Expression
negsubdi2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  -> 
-u ( A  -  B )  =  ( B  -  A ) )

Proof of Theorem negsubdi2
StepHypRef Expression
1 negsubdi 9103 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  -> 
-u ( A  -  B )  =  (
-u A  +  B
) )
2 negcl 9052 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  -u A  e.  CC )
3 addcom 8998 . . 3  |-  ( (
-u A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( -u A  +  B )  =  ( B  +  -u A
) )
42, 3sylan 457 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( -u A  +  B )  =  ( B  +  -u A
) )
5 negsub 9095 . . 3  |-  ( ( B  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( B  +  -u A )  =  ( B  -  A ) )
65ancoms 439 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B  +  -u A )  =  ( B  -  A ) )
71, 4, 63eqtrd 2319 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  -> 
-u ( A  -  B )  =  ( B  -  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684  (class class class)co 5858   CCcc 8735    + caddc 8740    - cmin 9037   -ucneg 9038
This theorem is referenced by:  neg2sub  9107  negsubdi2d  9173  mulsub2  9223  div2sub  9585  elz2  10040  fzshftral  10869  sqsubswap  11165  abssub  11810  abs2difabs  11818  3dvds  12591  sin2pim  19853  cos2pim  19854  ptolemy  19864  logtayl2  20009  ang180lem1  20107  ang180lem2  20108  isosctrlem2  20119  atanlogsublem  20211  1sgm2ppw  20439  mersenne  20466  2sqblem  20616  dya2ub  23575  subeqrev  24092  axeuclidlem  24590  bpoly3  24793  pellexlem6  26919  stoweidlem13  27762  stoweidlem26  27775
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-ltxr 8872  df-sub 9039  df-neg 9040
  Copyright terms: Public domain W3C validator