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Theorem negveud 25668
Description: Existential uniqueness of vector negatives. (Contributed by FL, 15-Sep-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
negveud.1  |-  + w  =  (  + cv `  N )
Assertion
Ref Expression
negveud  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  E! x  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ( A + w
x )  =  B )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, N    x, + w

Proof of Theorem negveud
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 negveud.1 . . . . 5  |-  + w  =  (  + cv `  N )
2 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( 0 cv `  N )  =  ( 0 cv
`  N )
31, 2cnegvex2b 25662 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) )  ->  E. y  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ( y + w A
)  =  ( 0 cv `  N ) )
433adant3 975 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  E. y  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ( y + w A )  =  ( 0 cv `  N
) )
51claddrv 25647 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  y  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  ( y + w B )  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )
653exp 1150 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
y  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  -> 
( B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  ->  ( y + w B )  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) ) )
76com23 72 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  ( B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  (
y  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  -> 
( y + w B )  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ) ) )
87imp 418 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( y  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  ->  ( y + w B )  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )
983adant2 974 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  ( y  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) )  ->  ( y + w B )  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )
109impcom 419 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) ) )  ->  ( y + w B )  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )
11103adant2 974 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  ( y + w A )  =  ( 0 cv `  N
)  /\  ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  (
y + w B
)  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) ) )
121addcomv 25655 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  y  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  ( A + w y )  =  ( y + w A ) )
13123expia 1153 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( y  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  ->  ( A + w y )  =  ( y + w A ) ) )
14133adant3 975 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  ( y  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) )  ->  ( A + w y )  =  ( y + w A ) ) )
1514impcom 419 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) ) )  ->  ( A + w y )  =  ( y + w A ) )
16153adant2 974 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  ( y + w A )  =  ( 0 cv `  N
)  /\  ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  ( A + w y )  =  ( y + w A ) )
171addassv 25656 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  y  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  ->  (
( A + w
y ) + w B )  =  ( A + w (
y + w B
) ) )
1817eqcomd 2288 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  y  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  ->  ( A + w ( y + w B ) )  =  ( ( A + w y
) + w B
) )
19183exp2 1169 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  (
y  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  -> 
( B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  ->  ( A + w ( y + w B ) )  =  ( ( A + w y ) + w B ) ) ) ) )
2019com34 77 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  ( B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  (
y  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  -> 
( A + w
( y + w B ) )  =  ( ( A + w y ) + w B ) ) ) ) )
21203imp 1145 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  ( y  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) )  ->  ( A + w ( y + w B ) )  =  ( ( A + w y ) + w B ) ) )
2221impcom 419 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) ) )  ->  ( A + w ( y + w B ) )  =  ( ( A + w y ) + w B ) )
23223adant2 974 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  ( y + w A )  =  ( 0 cv `  N
)  /\  ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  ( A + w ( y + w B ) )  =  ( ( A + w y
) + w B
) )
242, 1addidv2 25657 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( ( 0 cv
`  N ) + w B )  =  B )
25243adant2 974 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
0 cv `  N
) + w B
)  =  B )
26253ad2ant3 978 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  ( y + w A )  =  ( 0 cv `  N
)  /\  ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  (
( 0 cv `  N
) + w B
)  =  B )
27 eqtr 2300 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A + w
y )  =  ( y + w A
)  /\  ( y + w A )  =  ( 0 cv `  N
) )  ->  ( A + w y )  =  ( 0 cv
`  N ) )
2827oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A + w
y )  =  ( y + w A
)  /\  ( y + w A )  =  ( 0 cv `  N
) )  ->  (
( A + w
y ) + w B )  =  ( ( 0 cv `  N
) + w B
) )
29 eqtr 2300 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A + w
( y + w B ) )  =  ( ( A + w y ) + w B )  /\  ( ( A + w y ) + w B )  =  ( ( 0 cv
`  N ) + w B ) )  ->  ( A + w ( y + w B ) )  =  ( ( 0 cv `  N ) + w B ) )
30 eqtr 2300 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A + w
( y + w B ) )  =  ( ( 0 cv
`  N ) + w B )  /\  ( ( 0 cv
`  N ) + w B )  =  B )  ->  ( A + w ( y + w B ) )  =  B )
3130ex 423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A + w (
y + w B
) )  =  ( ( 0 cv `  N
) + w B
)  ->  ( (
( 0 cv `  N
) + w B
)  =  B  -> 
( A + w
( y + w B ) )  =  B ) )
3229, 31syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A + w
( y + w B ) )  =  ( ( A + w y ) + w B )  /\  ( ( A + w y ) + w B )  =  ( ( 0 cv
`  N ) + w B ) )  ->  ( ( ( 0 cv `  N
) + w B
)  =  B  -> 
( A + w
( y + w B ) )  =  B ) )
3332expcom 424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A + w
y ) + w B )  =  ( ( 0 cv `  N
) + w B
)  ->  ( ( A + w ( y + w B ) )  =  ( ( A + w y
) + w B
)  ->  ( (
( 0 cv `  N
) + w B
)  =  B  -> 
( A + w
( y + w B ) )  =  B ) ) )
3428, 33syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A + w
y )  =  ( y + w A
)  /\  ( y + w A )  =  ( 0 cv `  N
) )  ->  (
( A + w
( y + w B ) )  =  ( ( A + w y ) + w B )  -> 
( ( ( 0 cv `  N ) + w B )  =  B  ->  ( A + w ( y + w B ) )  =  B ) ) )
3534ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A + w y
)  =  ( y + w A )  ->  ( ( y + w A )  =  ( 0 cv
`  N )  -> 
( ( A + w ( y + w B ) )  =  ( ( A + w y ) + w B )  ->  ( ( ( 0 cv `  N
) + w B
)  =  B  -> 
( A + w
( y + w B ) )  =  B ) ) ) )
3635com4l 78 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y + w A
)  =  ( 0 cv `  N )  ->  ( ( A + w ( y + w B ) )  =  ( ( A + w y
) + w B
)  ->  ( (
( 0 cv `  N
) + w B
)  =  B  -> 
( ( A + w y )  =  ( y + w A )  ->  ( A + w ( y + w B ) )  =  B ) ) ) )
37363ad2ant2 977 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  ( y + w A )  =  ( 0 cv `  N
)  /\  ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  (
( A + w
( y + w B ) )  =  ( ( A + w y ) + w B )  -> 
( ( ( 0 cv `  N ) + w B )  =  B  ->  (
( A + w
y )  =  ( y + w A
)  ->  ( A + w ( y + w B ) )  =  B ) ) ) )
3823, 26, 37mp2d 41 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  ( y + w A )  =  ( 0 cv `  N
)  /\  ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  (
( A + w
y )  =  ( y + w A
)  ->  ( A + w ( y + w B ) )  =  B ) )
3916, 38mpd 14 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  ( y + w A )  =  ( 0 cv `  N
)  /\  ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  ( A + w ( y + w B ) )  =  B )
40 oveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y + w B )  -> 
( A + w
x )  =  ( A + w (
y + w B
) ) )
4140eqeq1d 2291 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y + w B )  -> 
( ( A + w x )  =  B  <->  ( A + w ( y + w B ) )  =  B ) )
4241rspcev 2884 . . . . . 6  |-  ( ( ( y + w B )  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  ( A + w ( y + w B ) )  =  B )  ->  E. x  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ( A + w x
)  =  B )
4311, 39, 42syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  ( y + w A )  =  ( 0 cv `  N
)  /\  ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  E. x  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ( A + w
x )  =  B )
44433exp 1150 . . . 4  |-  ( y  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  (
( y + w A )  =  ( 0 cv `  N
)  ->  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  E. x  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ( A + w
x )  =  B ) ) )
4544rexlimiv 2661 . . 3  |-  ( E. y  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) ) ( y + w A
)  =  ( 0 cv `  N )  ->  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  E. x  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ( A + w
x )  =  B ) )
464, 45mpcom 32 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  E. x  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ( A + w
x )  =  B )
47 eqtr 2300 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A + w
x )  =  B  /\  B  =  ( A + w y
) )  ->  ( A + w x )  =  ( A + w y ) )
48 simpl1 958 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) )  /\  ( x  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  y  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) ) )  ->  N  e.  NN )
49 simpl2 959 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) )  /\  ( x  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  y  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) ) )  ->  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) )
50 simprl 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) )  /\  ( x  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  y  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) ) )  ->  x  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) )
51 simprr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) )  /\  ( x  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  y  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) ) )  ->  y  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) )
521addcanrg 25667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  x  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  y  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  ->  (
( A + w
x )  =  ( A + w y
)  <->  x  =  y
) )
5352biimpd 198 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  x  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  y  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  ->  (
( A + w
x )  =  ( A + w y
)  ->  x  =  y ) )
5448, 49, 50, 51, 53syl13anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) )  /\  ( x  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  y  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) ) )  ->  ( ( A + w x )  =  ( A + w y )  ->  x  =  y )
)
5554ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
x  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  y  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( ( A + w x )  =  ( A + w
y )  ->  x  =  y ) ) )
5655com3r 73 . . . . . . . 8  |-  ( ( A + w x
)  =  ( A + w y )  ->  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  ( (
x  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  y  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) )  ->  x  =  y )
) )
5747, 56syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A + w
x )  =  B  /\  B  =  ( A + w y
) )  ->  (
( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( ( x  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) )  /\  y  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  x  =  y ) ) )
5857expcom 424 . . . . . 6  |-  ( B  =  ( A + w y )  -> 
( ( A + w x )  =  B  ->  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  ( (
x  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  y  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) )  ->  x  =  y )
) ) )
5958eqcoms 2286 . . . . 5  |-  ( ( A + w y
)  =  B  -> 
( ( A + w x )  =  B  ->  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  ( (
x  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  y  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) )  ->  x  =  y )
) ) )
6059impcom 419 . . . 4  |-  ( ( ( A + w
x )  =  B  /\  ( A + w y )  =  B )  ->  (
( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( ( x  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) )  /\  y  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  x  =  y ) ) )
6160com3l 75 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
x  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  y  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( ( ( A + w x )  =  B  /\  ( A + w y )  =  B )  ->  x  =  y )
) )
6261ralrimivv 2634 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  A. x  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) A. y  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ( ( ( A + w x )  =  B  /\  ( A + w y )  =  B )  ->  x  =  y )
)
63 oveq2 5866 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( A + w x )  =  ( A + w y ) )
6463eqeq1d 2291 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
( A + w
x )  =  B  <-> 
( A + w
y )  =  B ) )
6564reu4 2959 . 2  |-  ( E! x  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) ) ( A + w x
)  =  B  <->  ( E. x  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) ( A + w x )  =  B  /\  A. x  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) A. y  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ( ( ( A + w x )  =  B  /\  ( A + w y )  =  B )  ->  x  =  y )
) )
6646, 62, 65sylanbrc 645 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  E! x  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ( A + w
x )  =  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   E!wreu 2545   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^m cmap 6772   CCcc 8735   1c1 8738   NNcn 9746   ...cfz 10782    + cvcplcv 25644   0 cvc0cv 25650
This theorem is referenced by:  subaddv  25671  subclcvd  25673
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-ltxr 8872  df-nn 9747  df-addcv 25645  df-nullcv 25651
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