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Theorem negveud 25771
Description: Existential uniqueness of vector negatives. (Contributed by FL, 15-Sep-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
negveud.1  |-  + w  =  (  + cv `  N )
Assertion
Ref Expression
negveud  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  E! x  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ( A + w
x )  =  B )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, N    x, + w

Proof of Theorem negveud
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 negveud.1 . . . . 5  |-  + w  =  (  + cv `  N )
2 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( 0 cv `  N )  =  ( 0 cv
`  N )
31, 2cnegvex2b 25765 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) )  ->  E. y  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ( y + w A
)  =  ( 0 cv `  N ) )
433adant3 975 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  E. y  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ( y + w A )  =  ( 0 cv `  N
) )
51claddrv 25750 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  y  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  ( y + w B )  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )
653exp 1150 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
y  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  -> 
( B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  ->  ( y + w B )  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) ) )
76com23 72 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  ( B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  (
y  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  -> 
( y + w B )  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ) ) )
87imp 418 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( y  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  ->  ( y + w B )  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )
983adant2 974 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  ( y  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) )  ->  ( y + w B )  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )
109impcom 419 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) ) )  ->  ( y + w B )  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )
11103adant2 974 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  ( y + w A )  =  ( 0 cv `  N
)  /\  ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  (
y + w B
)  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) ) )
121addcomv 25758 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  y  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  ( A + w y )  =  ( y + w A ) )
13123expia 1153 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( y  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  ->  ( A + w y )  =  ( y + w A ) ) )
14133adant3 975 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  ( y  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) )  ->  ( A + w y )  =  ( y + w A ) ) )
1514impcom 419 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) ) )  ->  ( A + w y )  =  ( y + w A ) )
16153adant2 974 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  ( y + w A )  =  ( 0 cv `  N
)  /\  ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  ( A + w y )  =  ( y + w A ) )
171addassv 25759 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  y  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  ->  (
( A + w
y ) + w B )  =  ( A + w (
y + w B
) ) )
1817eqcomd 2301 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  y  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  ->  ( A + w ( y + w B ) )  =  ( ( A + w y
) + w B
) )
19183exp2 1169 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  (
y  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  -> 
( B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  ->  ( A + w ( y + w B ) )  =  ( ( A + w y ) + w B ) ) ) ) )
2019com34 77 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  ( B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  (
y  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  -> 
( A + w
( y + w B ) )  =  ( ( A + w y ) + w B ) ) ) ) )
21203imp 1145 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  ( y  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) )  ->  ( A + w ( y + w B ) )  =  ( ( A + w y ) + w B ) ) )
2221impcom 419 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) ) )  ->  ( A + w ( y + w B ) )  =  ( ( A + w y ) + w B ) )
23223adant2 974 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  ( y + w A )  =  ( 0 cv `  N
)  /\  ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  ( A + w ( y + w B ) )  =  ( ( A + w y
) + w B
) )
242, 1addidv2 25760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( ( 0 cv
`  N ) + w B )  =  B )
25243adant2 974 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
0 cv `  N
) + w B
)  =  B )
26253ad2ant3 978 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  ( y + w A )  =  ( 0 cv `  N
)  /\  ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  (
( 0 cv `  N
) + w B
)  =  B )
27 eqtr 2313 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A + w
y )  =  ( y + w A
)  /\  ( y + w A )  =  ( 0 cv `  N
) )  ->  ( A + w y )  =  ( 0 cv
`  N ) )
2827oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A + w
y )  =  ( y + w A
)  /\  ( y + w A )  =  ( 0 cv `  N
) )  ->  (
( A + w
y ) + w B )  =  ( ( 0 cv `  N
) + w B
) )
29 eqtr 2313 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A + w
( y + w B ) )  =  ( ( A + w y ) + w B )  /\  ( ( A + w y ) + w B )  =  ( ( 0 cv
`  N ) + w B ) )  ->  ( A + w ( y + w B ) )  =  ( ( 0 cv `  N ) + w B ) )
30 eqtr 2313 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A + w
( y + w B ) )  =  ( ( 0 cv
`  N ) + w B )  /\  ( ( 0 cv
`  N ) + w B )  =  B )  ->  ( A + w ( y + w B ) )  =  B )
3130ex 423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A + w (
y + w B
) )  =  ( ( 0 cv `  N
) + w B
)  ->  ( (
( 0 cv `  N
) + w B
)  =  B  -> 
( A + w
( y + w B ) )  =  B ) )
3229, 31syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A + w
( y + w B ) )  =  ( ( A + w y ) + w B )  /\  ( ( A + w y ) + w B )  =  ( ( 0 cv
`  N ) + w B ) )  ->  ( ( ( 0 cv `  N
) + w B
)  =  B  -> 
( A + w
( y + w B ) )  =  B ) )
3332expcom 424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A + w
y ) + w B )  =  ( ( 0 cv `  N
) + w B
)  ->  ( ( A + w ( y + w B ) )  =  ( ( A + w y
) + w B
)  ->  ( (
( 0 cv `  N
) + w B
)  =  B  -> 
( A + w
( y + w B ) )  =  B ) ) )
3428, 33syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A + w
y )  =  ( y + w A
)  /\  ( y + w A )  =  ( 0 cv `  N
) )  ->  (
( A + w
( y + w B ) )  =  ( ( A + w y ) + w B )  -> 
( ( ( 0 cv `  N ) + w B )  =  B  ->  ( A + w ( y + w B ) )  =  B ) ) )
3534ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A + w y
)  =  ( y + w A )  ->  ( ( y + w A )  =  ( 0 cv
`  N )  -> 
( ( A + w ( y + w B ) )  =  ( ( A + w y ) + w B )  ->  ( ( ( 0 cv `  N
) + w B
)  =  B  -> 
( A + w
( y + w B ) )  =  B ) ) ) )
3635com4l 78 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y + w A
)  =  ( 0 cv `  N )  ->  ( ( A + w ( y + w B ) )  =  ( ( A + w y
) + w B
)  ->  ( (
( 0 cv `  N
) + w B
)  =  B  -> 
( ( A + w y )  =  ( y + w A )  ->  ( A + w ( y + w B ) )  =  B ) ) ) )
37363ad2ant2 977 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  ( y + w A )  =  ( 0 cv `  N
)  /\  ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  (
( A + w
( y + w B ) )  =  ( ( A + w y ) + w B )  -> 
( ( ( 0 cv `  N ) + w B )  =  B  ->  (
( A + w
y )  =  ( y + w A
)  ->  ( A + w ( y + w B ) )  =  B ) ) ) )
3823, 26, 37mp2d 41 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  ( y + w A )  =  ( 0 cv `  N
)  /\  ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  (
( A + w
y )  =  ( y + w A
)  ->  ( A + w ( y + w B ) )  =  B ) )
3916, 38mpd 14 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  ( y + w A )  =  ( 0 cv `  N
)  /\  ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  ( A + w ( y + w B ) )  =  B )
40 oveq2 5882 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y + w B )  -> 
( A + w
x )  =  ( A + w (
y + w B
) ) )
4140eqeq1d 2304 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y + w B )  -> 
( ( A + w x )  =  B  <->  ( A + w ( y + w B ) )  =  B ) )
4241rspcev 2897 . . . . . 6  |-  ( ( ( y + w B )  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  ( A + w ( y + w B ) )  =  B )  ->  E. x  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ( A + w x
)  =  B )
4311, 39, 42syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  ( y + w A )  =  ( 0 cv `  N
)  /\  ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  E. x  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ( A + w
x )  =  B )
44433exp 1150 . . . 4  |-  ( y  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  (
( y + w A )  =  ( 0 cv `  N
)  ->  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  E. x  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ( A + w
x )  =  B ) ) )
4544rexlimiv 2674 . . 3  |-  ( E. y  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) ) ( y + w A
)  =  ( 0 cv `  N )  ->  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  E. x  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ( A + w
x )  =  B ) )
464, 45mpcom 32 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  E. x  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ( A + w
x )  =  B )
47 eqtr 2313 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A + w
x )  =  B  /\  B  =  ( A + w y
) )  ->  ( A + w x )  =  ( A + w y ) )
48 simpl1 958 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) )  /\  ( x  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  y  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) ) )  ->  N  e.  NN )
49 simpl2 959 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) )  /\  ( x  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  y  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) ) )  ->  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) )
50 simprl 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) )  /\  ( x  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  y  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) ) )  ->  x  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) )
51 simprr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) )  /\  ( x  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  y  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) ) )  ->  y  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) )
521addcanrg 25770 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  x  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  y  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  ->  (
( A + w
x )  =  ( A + w y
)  <->  x  =  y
) )
5352biimpd 198 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  x  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  y  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  ->  (
( A + w
x )  =  ( A + w y
)  ->  x  =  y ) )
5448, 49, 50, 51, 53syl13anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) )  /\  ( x  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  y  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) ) )  ->  ( ( A + w x )  =  ( A + w y )  ->  x  =  y )
)
5554ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
x  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  y  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( ( A + w x )  =  ( A + w
y )  ->  x  =  y ) ) )
5655com3r 73 . . . . . . . 8  |-  ( ( A + w x
)  =  ( A + w y )  ->  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  ( (
x  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  y  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) )  ->  x  =  y )
) )
5747, 56syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A + w
x )  =  B  /\  B  =  ( A + w y
) )  ->  (
( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( ( x  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) )  /\  y  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  x  =  y ) ) )
5857expcom 424 . . . . . 6  |-  ( B  =  ( A + w y )  -> 
( ( A + w x )  =  B  ->  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  ( (
x  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  y  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) )  ->  x  =  y )
) ) )
5958eqcoms 2299 . . . . 5  |-  ( ( A + w y
)  =  B  -> 
( ( A + w x )  =  B  ->  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  ( (
x  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  y  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) )  ->  x  =  y )
) ) )
6059impcom 419 . . . 4  |-  ( ( ( A + w
x )  =  B  /\  ( A + w y )  =  B )  ->  (
( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( ( x  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) )  /\  y  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  x  =  y ) ) )
6160com3l 75 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
x  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  y  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( ( ( A + w x )  =  B  /\  ( A + w y )  =  B )  ->  x  =  y )
) )
6261ralrimivv 2647 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  A. x  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) A. y  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ( ( ( A + w x )  =  B  /\  ( A + w y )  =  B )  ->  x  =  y )
)
63 oveq2 5882 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( A + w x )  =  ( A + w y ) )
6463eqeq1d 2304 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
( A + w
x )  =  B  <-> 
( A + w
y )  =  B ) )
6564reu4 2972 . 2  |-  ( E! x  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) ) ( A + w x
)  =  B  <->  ( E. x  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) ( A + w x )  =  B  /\  A. x  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) A. y  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ( ( ( A + w x )  =  B  /\  ( A + w y )  =  B )  ->  x  =  y )
) )
6646, 62, 65sylanbrc 645 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  E! x  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ( A + w
x )  =  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   E!wreu 2558   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    ^m cmap 6788   CCcc 8751   1c1 8754   NNcn 9762   ...cfz 10798    + cvcplcv 25747   0 cvc0cv 25753
This theorem is referenced by:  subaddv  25774  subclcvd  25776
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-ltxr 8888  df-nn 9763  df-addcv 25748  df-nullcv 25754
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