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Theorem negveudr 25669
Description: Existential uniqueness of vector negatives. (Contributed by FL, 29-May-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
negveud.1  |-  + w  =  (  + cv `  N )
Assertion
Ref Expression
negveudr  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( RR  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  E! x  e.  ( RR  ^m  (
1 ... N ) ) ( A + w
x )  =  B )
Distinct variable groups:    x, + w    x, A    x, B    x, N

Proof of Theorem negveudr
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 negveud.1 . . . . 5  |-  + w  =  (  + cv `  N )
2 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( 0 cv `  N )  =  ( 0 cv
`  N )
31, 2rnegvex2b 25663 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N
) ) )  ->  E. y  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N ) ) ( y + w A
)  =  ( 0 cv `  N ) )
433adant3 975 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( RR  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  E. y  e.  ( RR  ^m  (
1 ... N ) ) ( y + w A )  =  ( 0 cv `  N
) )
51claddrvr 25648 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  y  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( RR  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  ( y + w B )  e.  ( RR  ^m  (
1 ... N ) ) )
653exp 1150 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
y  e.  ( RR 
^m  ( 1 ... N ) )  -> 
( B  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N ) )  ->  ( y + w B )  e.  ( RR  ^m  (
1 ... N ) ) ) ) )
76com23 72 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  ( B  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  (
y  e.  ( RR 
^m  ( 1 ... N ) )  -> 
( y + w B )  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N ) ) ) ) )
87imp 418 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  B  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( y  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N ) )  ->  ( y + w B )  e.  ( RR  ^m  (
1 ... N ) ) ) )
983adant2 974 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( RR  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  ( y  e.  ( RR  ^m  (
1 ... N ) )  ->  ( y + w B )  e.  ( RR  ^m  (
1 ... N ) ) ) )
109impcom 419 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( RR 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( RR 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N
) ) ) )  ->  ( y + w B )  e.  ( RR  ^m  (
1 ... N ) ) )
11103adant2 974 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( RR 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  ( y + w A )  =  ( 0 cv `  N
)  /\  ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( RR  ^m  (
1 ... N ) )  /\  B  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  (
y + w B
)  e.  ( RR 
^m  ( 1 ... N ) ) )
12 id 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN )
13 cnex 8818 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  CC  e.  _V
14 ax-resscn 8794 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  RR  C_  CC
15 mapss 6810 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( CC  e.  _V  /\  RR  C_  CC )  -> 
( RR  ^m  (
1 ... N ) ) 
C_  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) )
1613, 14, 15mp2an 653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( RR 
^m  ( 1 ... N ) )  C_  ( CC  ^m  (
1 ... N ) )
1716sseli 3176 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  A  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )
1816sseli 3176 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  y  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )
191addcomv 25655 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  y  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  ( A + w y )  =  ( y + w A ) )
2012, 17, 18, 19syl3an 1224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  y  e.  ( RR  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  ( A + w y )  =  ( y + w A ) )
21203expia 1153 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( y  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N ) )  ->  ( A + w y )  =  ( y + w A ) ) )
22213adant3 975 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( RR  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  ( y  e.  ( RR  ^m  (
1 ... N ) )  ->  ( A + w y )  =  ( y + w A ) ) )
2322impcom 419 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ( RR 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( RR 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N
) ) ) )  ->  ( A + w y )  =  ( y + w A ) )
24233adant2 974 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( RR 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  ( y + w A )  =  ( 0 cv `  N
)  /\  ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( RR  ^m  (
1 ... N ) )  /\  B  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  ( A + w y )  =  ( y + w A ) )
2516sseli 3176 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )
261addassv 25656 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  y  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  ->  (
( A + w
y ) + w B )  =  ( A + w (
y + w B
) ) )
2726eqcomd 2288 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  y  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  ->  ( A + w ( y + w B ) )  =  ( ( A + w y
) + w B
) )
2827expcom 424 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  y  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  ( N  e.  NN  ->  ( A + w ( y + w B ) )  =  ( ( A + w y ) + w B ) ) )
2917, 18, 25, 28syl3an 1224 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( RR 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  y  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( RR  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  ( N  e.  NN  ->  ( A + w ( y + w B ) )  =  ( ( A + w y ) + w B ) ) )
3029com12 27 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( A  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  y  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  ( A + w ( y + w B ) )  =  ( ( A + w y ) + w B ) ) )
31303expd 1168 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  ( A  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  (
y  e.  ( RR 
^m  ( 1 ... N ) )  -> 
( B  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N ) )  ->  ( A + w ( y + w B ) )  =  ( ( A + w y ) + w B ) ) ) ) )
3231com34 77 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  ( A  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  ( B  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  (
y  e.  ( RR 
^m  ( 1 ... N ) )  -> 
( A + w
( y + w B ) )  =  ( ( A + w y ) + w B ) ) ) ) )
33323imp 1145 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( RR  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  ( y  e.  ( RR  ^m  (
1 ... N ) )  ->  ( A + w ( y + w B ) )  =  ( ( A + w y ) + w B ) ) )
3433impcom 419 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ( RR 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( RR 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N
) ) ) )  ->  ( A + w ( y + w B ) )  =  ( ( A + w y ) + w B ) )
35343adant2 974 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ( RR 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  ( y + w A )  =  ( 0 cv `  N
)  /\  ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( RR  ^m  (
1 ... N ) )  /\  B  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  ( A + w ( y + w B ) )  =  ( ( A + w y
) + w B
) )
362, 1addidv2 25657 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( ( 0 cv
`  N ) + w B )  =  B )
3725, 36sylan2 460 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  B  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( ( 0 cv
`  N ) + w B )  =  B )
38373adant2 974 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( RR  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
0 cv `  N
) + w B
)  =  B )
39383ad2ant3 978 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ( RR 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  ( y + w A )  =  ( 0 cv `  N
)  /\  ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( RR  ^m  (
1 ... N ) )  /\  B  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  (
( 0 cv `  N
) + w B
)  =  B )
40 eqtr 2300 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A + w
y )  =  ( y + w A
)  /\  ( y + w A )  =  ( 0 cv `  N
) )  ->  ( A + w y )  =  ( 0 cv
`  N ) )
4140oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A + w
y )  =  ( y + w A
)  /\  ( y + w A )  =  ( 0 cv `  N
) )  ->  (
( A + w
y ) + w B )  =  ( ( 0 cv `  N
) + w B
) )
42 eqtr 2300 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A + w
( y + w B ) )  =  ( ( A + w y ) + w B )  /\  ( ( A + w y ) + w B )  =  ( ( 0 cv
`  N ) + w B ) )  ->  ( A + w ( y + w B ) )  =  ( ( 0 cv `  N ) + w B ) )
43 eqtr 2300 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A + w
( y + w B ) )  =  ( ( 0 cv
`  N ) + w B )  /\  ( ( 0 cv
`  N ) + w B )  =  B )  ->  ( A + w ( y + w B ) )  =  B )
4443ex 423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A + w (
y + w B
) )  =  ( ( 0 cv `  N
) + w B
)  ->  ( (
( 0 cv `  N
) + w B
)  =  B  -> 
( A + w
( y + w B ) )  =  B ) )
4542, 44syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A + w
( y + w B ) )  =  ( ( A + w y ) + w B )  /\  ( ( A + w y ) + w B )  =  ( ( 0 cv
`  N ) + w B ) )  ->  ( ( ( 0 cv `  N
) + w B
)  =  B  -> 
( A + w
( y + w B ) )  =  B ) )
4645expcom 424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A + w
y ) + w B )  =  ( ( 0 cv `  N
) + w B
)  ->  ( ( A + w ( y + w B ) )  =  ( ( A + w y
) + w B
)  ->  ( (
( 0 cv `  N
) + w B
)  =  B  -> 
( A + w
( y + w B ) )  =  B ) ) )
4741, 46syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A + w
y )  =  ( y + w A
)  /\  ( y + w A )  =  ( 0 cv `  N
) )  ->  (
( A + w
( y + w B ) )  =  ( ( A + w y ) + w B )  -> 
( ( ( 0 cv `  N ) + w B )  =  B  ->  ( A + w ( y + w B ) )  =  B ) ) )
4847ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A + w y
)  =  ( y + w A )  ->  ( ( y + w A )  =  ( 0 cv
`  N )  -> 
( ( A + w ( y + w B ) )  =  ( ( A + w y ) + w B )  ->  ( ( ( 0 cv `  N
) + w B
)  =  B  -> 
( A + w
( y + w B ) )  =  B ) ) ) )
4948com4l 78 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y + w A
)  =  ( 0 cv `  N )  ->  ( ( A + w ( y + w B ) )  =  ( ( A + w y
) + w B
)  ->  ( (
( 0 cv `  N
) + w B
)  =  B  -> 
( ( A + w y )  =  ( y + w A )  ->  ( A + w ( y + w B ) )  =  B ) ) ) )
50493ad2ant2 977 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ( RR 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  ( y + w A )  =  ( 0 cv `  N
)  /\  ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( RR  ^m  (
1 ... N ) )  /\  B  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  (
( A + w
( y + w B ) )  =  ( ( A + w y ) + w B )  -> 
( ( ( 0 cv `  N ) + w B )  =  B  ->  (
( A + w
y )  =  ( y + w A
)  ->  ( A + w ( y + w B ) )  =  B ) ) ) )
5135, 39, 50mp2d 41 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( RR 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  ( y + w A )  =  ( 0 cv `  N
)  /\  ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( RR  ^m  (
1 ... N ) )  /\  B  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  (
( A + w
y )  =  ( y + w A
)  ->  ( A + w ( y + w B ) )  =  B ) )
5224, 51mpd 14 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( RR 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  ( y + w A )  =  ( 0 cv `  N
)  /\  ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( RR  ^m  (
1 ... N ) )  /\  B  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  ( A + w ( y + w B ) )  =  B )
53 oveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y + w B )  -> 
( A + w
x )  =  ( A + w (
y + w B
) ) )
5453eqeq1d 2291 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y + w B )  -> 
( ( A + w x )  =  B  <->  ( A + w ( y + w B ) )  =  B ) )
5554rspcev 2884 . . . . . 6  |-  ( ( ( y + w B )  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  ( A + w ( y + w B ) )  =  B )  ->  E. x  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N ) ) ( A + w x
)  =  B )
5611, 52, 55syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ( RR 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  ( y + w A )  =  ( 0 cv `  N
)  /\  ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( RR  ^m  (
1 ... N ) )  /\  B  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  E. x  e.  ( RR  ^m  (
1 ... N ) ) ( A + w
x )  =  B )
57563exp 1150 . . . 4  |-  ( y  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  (
( y + w A )  =  ( 0 cv `  N
)  ->  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( RR  ^m  (
1 ... N ) )  /\  B  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  E. x  e.  ( RR  ^m  (
1 ... N ) ) ( A + w
x )  =  B ) ) )
5857rexlimiv 2661 . . 3  |-  ( E. y  e.  ( RR 
^m  ( 1 ... N ) ) ( y + w A
)  =  ( 0 cv `  N )  ->  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( RR  ^m  (
1 ... N ) )  /\  B  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  E. x  e.  ( RR  ^m  (
1 ... N ) ) ( A + w
x )  =  B ) )
594, 58mpcom 32 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( RR  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  E. x  e.  ( RR  ^m  (
1 ... N ) ) ( A + w
x )  =  B )
60 eqtr 2300 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A + w
x )  =  B  /\  B  =  ( A + w y
) )  ->  ( A + w x )  =  ( A + w y ) )
61 simpl1 958 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( RR 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N
) ) )  /\  ( x  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  y  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N
) ) ) )  ->  N  e.  NN )
62173ad2ant2 977 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( RR  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  A  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )
6362adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( RR 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N
) ) )  /\  ( x  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  y  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N
) ) ) )  ->  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) )
64 fss 5397 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x : ( 1 ... N ) --> RR 
/\  RR  C_  CC )  ->  x : ( 1 ... N ) --> CC )
6514, 64mpan2 652 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x : ( 1 ... N ) --> RR  ->  x : ( 1 ... N ) --> CC )
66 reex 8828 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  RR  e.  _V
67 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1 ... N )  e. 
_V
6866, 67elmap 6796 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N
) )  <->  x :
( 1 ... N
) --> RR )
6913, 67elmap 6796 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  <->  x :
( 1 ... N
) --> CC )
7065, 68, 693imtr4i 257 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  x  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )
7170ad2antrl 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( RR 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N
) ) )  /\  ( x  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  y  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N
) ) ) )  ->  x  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) )
72 fss 5397 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y : ( 1 ... N ) --> RR 
/\  RR  C_  CC )  ->  y : ( 1 ... N ) --> CC )
7314, 72mpan2 652 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y : ( 1 ... N ) --> RR  ->  y : ( 1 ... N ) --> CC )
7466, 67elmap 6796 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N
) )  <->  y :
( 1 ... N
) --> RR )
7513, 67elmap 6796 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  <->  y :
( 1 ... N
) --> CC )
7673, 74, 753imtr4i 257 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  y  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )
7776ad2antll 709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( RR 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N
) ) )  /\  ( x  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  y  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N
) ) ) )  ->  y  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) )
781addcanrg 25667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  x  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  y  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  ->  (
( A + w
x )  =  ( A + w y
)  <->  x  =  y
) )
7978biimpd 198 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  x  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  y  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  ->  (
( A + w
x )  =  ( A + w y
)  ->  x  =  y ) )
8061, 63, 71, 77, 79syl13anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( RR 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N
) ) )  /\  ( x  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  y  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N
) ) ) )  ->  ( ( A + w x )  =  ( A + w y )  ->  x  =  y )
)
8180ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( RR  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
x  e.  ( RR 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  y  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( ( A + w x )  =  ( A + w
y )  ->  x  =  y ) ) )
8281com3r 73 . . . . . . . 8  |-  ( ( A + w x
)  =  ( A + w y )  ->  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( RR  ^m  (
1 ... N ) )  /\  B  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  ( (
x  e.  ( RR 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  y  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N
) ) )  ->  x  =  y )
) )
8360, 82syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A + w
x )  =  B  /\  B  =  ( A + w y
) )  ->  (
( N  e.  NN  /\  A  e.  ( RR 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( ( x  e.  ( RR  ^m  (
1 ... N ) )  /\  y  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  x  =  y ) ) )
8483expcom 424 . . . . . 6  |-  ( B  =  ( A + w y )  -> 
( ( A + w x )  =  B  ->  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( RR  ^m  (
1 ... N ) )  /\  B  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  ( (
x  e.  ( RR 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  y  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N
) ) )  ->  x  =  y )
) ) )
8584eqcoms 2286 . . . . 5  |-  ( ( A + w y
)  =  B  -> 
( ( A + w x )  =  B  ->  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( RR  ^m  (
1 ... N ) )  /\  B  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  ( (
x  e.  ( RR 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  y  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N
) ) )  ->  x  =  y )
) ) )
8685impcom 419 . . . 4  |-  ( ( ( A + w
x )  =  B  /\  ( A + w y )  =  B )  ->  (
( N  e.  NN  /\  A  e.  ( RR 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( ( x  e.  ( RR  ^m  (
1 ... N ) )  /\  y  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  x  =  y ) ) )
8786com3l 75 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( RR  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
x  e.  ( RR 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  y  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( ( ( A + w x )  =  B  /\  ( A + w y )  =  B )  ->  x  =  y )
) )
8887ralrimivv 2634 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( RR  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  A. x  e.  ( RR  ^m  (
1 ... N ) ) A. y  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N ) ) ( ( ( A + w x )  =  B  /\  ( A + w y )  =  B )  ->  x  =  y )
)
89 oveq2 5866 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( A + w x )  =  ( A + w y ) )
9089eqeq1d 2291 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
( A + w
x )  =  B  <-> 
( A + w
y )  =  B ) )
9190reu4 2959 . 2  |-  ( E! x  e.  ( RR 
^m  ( 1 ... N ) ) ( A + w x
)  =  B  <->  ( E. x  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N
) ) ( A + w x )  =  B  /\  A. x  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N
) ) A. y  e.  ( RR  ^m  (
1 ... N ) ) ( ( ( A + w x )  =  B  /\  ( A + w y )  =  B )  ->  x  =  y )
) )
9259, 88, 91sylanbrc 645 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( RR  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  E! x  e.  ( RR  ^m  (
1 ... N ) ) ( A + w
x )  =  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   E!wreu 2545   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^m cmap 6772   CCcc 8735   RRcr 8736   1c1 8738   NNcn 9746   ...cfz 10782    + cvcplcv 25644   0 cvc0cv 25650
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-ltxr 8872  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-addcv 25645  df-nullcv 25651
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