Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  neibastop2 Unicode version

Theorem neibastop2 26310
 Description: In the topology generated by a neighborhood base, a set is a neighborhood of a point iff it contains a subset in the base. (Contributed by Jeff Hankins, 9-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
neibastop1.1
neibastop1.2
neibastop1.3
neibastop1.4
neibastop1.5
neibastop1.6
Assertion
Ref Expression
neibastop2
Distinct variable groups:   ,,,   ,   ,,   ,,,,,,   ,,,,,,   ,,,,,,   ,,,,,,   ,,,,,,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,,,,)

Proof of Theorem neibastop2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neibastop1.1 . . . . . . . . 9
2 neibastop1.2 . . . . . . . . 9
3 neibastop1.3 . . . . . . . . 9
4 neibastop1.4 . . . . . . . . 9
51, 2, 3, 4neibastop1 26308 . . . . . . . 8 TopOn
6 topontop 16664 . . . . . . . 8 TopOn
75, 6syl 15 . . . . . . 7
87adantr 451 . . . . . 6
9 eqid 2283 . . . . . . 7
109neii1 16843 . . . . . 6
118, 10sylan 457 . . . . 5
12 toponuni 16665 . . . . . . 7 TopOn
135, 12syl 15 . . . . . 6
1413ad2antrr 706 . . . . 5
1511, 14sseqtr4d 3215 . . . 4
16 neii2 16845 . . . . . 6
178, 16sylan 457 . . . . 5
18 pweq 3628 . . . . . . . . . . 11
1918ineq2d 3370 . . . . . . . . . 10
2019neeq1d 2459 . . . . . . . . 9
2120raleqbi1dv 2744 . . . . . . . 8
2221, 4elrab2 2925 . . . . . . 7
23 simprrr 741 . . . . . . . . . . . . 13
24 sspwb 4223 . . . . . . . . . . . . 13
2523, 24sylib 188 . . . . . . . . . . . 12
26 sslin 3395 . . . . . . . . . . . 12
2725, 26syl 15 . . . . . . . . . . 11
28 simprrl 740 . . . . . . . . . . . . 13
29 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . 14
30 snssg 3754 . . . . . . . . . . . . . 14
3129, 30syl 15 . . . . . . . . . . . . 13
3228, 31mpbird 223 . . . . . . . . . . . 12
33 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . 15
3433ineq1d 3369 . . . . . . . . . . . . . 14
3534neeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . 13
3635rspcv 2880 . . . . . . . . . . . 12
3732, 36syl 15 . . . . . . . . . . 11
38 ssn0 3487 . . . . . . . . . . 11
3927, 37, 38ee12an 1353 . . . . . . . . . 10
4039expr 598 . . . . . . . . 9
4140com23 72 . . . . . . . 8
4241expimpd 586 . . . . . . 7
4322, 42syl5bi 208 . . . . . 6
4443rexlimdv 2666 . . . . 5
4517, 44mpd 14 . . . 4
4615, 45jca 518 . . 3
4746ex 423 . 2
48 n0 3464 . . . 4
49 elin 3358 . . . . . 6
50 simprl 732 . . . . . . . . 9
5113ad2antrr 706 . . . . . . . . 9
5250, 51sseqtrd 3214 . . . . . . . 8
531ad2antrr 706 . . . . . . . . 9
542ad2antrr 706 . . . . . . . . 9
55 simpll 730 . . . . . . . . . 10
5655, 3sylan 457 . . . . . . . . 9
57 neibastop1.5 . . . . . . . . . 10
5855, 57sylan 457 . . . . . . . . 9
59 neibastop1.6 . . . . . . . . . 10
6055, 59sylan 457 . . . . . . . . 9
61 simplr 731 . . . . . . . . 9
62 simprrl 740 . . . . . . . . 9
63 simprrr 741 . . . . . . . . . 10
64 elpwi 3633 . . . . . . . . . 10
6563, 64syl 15 . . . . . . . . 9
66 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6766ineq1d 3369 . . . . . . . . . . . . . . 15
6867cbviunv 3941 . . . . . . . . . . . . . 14
69 pweq 3628 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7069ineq2d 3370 . . . . . . . . . . . . . . 15
7170iuneq2d 3930 . . . . . . . . . . . . . 14
7268, 71syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . . 13
7372cbviunv 3941 . . . . . . . . . . . 12
7473mpteq2i 4103 . . . . . . . . . . 11
75 rdgeq1 6424 . . . . . . . . . . 11
7674, 75ax-mp 8 . . . . . . . . . 10
7776reseq1i 4951 . . . . . . . . 9
78 pweq 3628 . . . . . . . . . . . . . 14
7978ineq2d 3370 . . . . . . . . . . . . 13
8079neeq1d 2459 . . . . . . . . . . . 12
8180cbvrexv 2765 . . . . . . . . . . 11
82 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . 14
8382ineq1d 3369 . . . . . . . . . . . . 13
8483neeq1d 2459 . . . . . . . . . . . 12
8584rexbidv 2564 . . . . . . . . . . 11
8681, 85syl5bb 248 . . . . . . . . . 10
8786cbvrabv 2787 . . . . . . . . 9
8853, 54, 56, 4, 58, 60, 61, 50, 62, 65, 77, 87neibastop2lem 26309 . . . . . . . 8
897ad2antrr 706 . . . . . . . . 9
9061, 51eleqtrd 2359 . . . . . . . . 9
919isneip 16842 . . . . . . . . 9
9289, 90, 91syl2anc 642 . . . . . . . 8
9352, 88, 92mpbir2and 888 . . . . . . 7
9493expr 598 . . . . . 6
9549, 94syl5bi 208 . . . . 5
9695exlimdv 1664 . . . 4
9748, 96syl5bi 208 . . 3
9897expimpd 586 . 2
9947, 98impbid 183 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934  wex 1528   wceq 1623   wcel 1684   wne 2446  wral 2543  wrex 2544  crab 2547  cvv 2788   cdif 3149   cin 3151   wss 3152  c0 3455  cpw 3625  csn 3640  cuni 3827  ciun 3905   cmpt 4077  com 4656   crn 4690   cres 4691  wf 5251  cfv 5255  crdg 6422  ctop 16631  TopOnctopon 16632  cnei 16834 This theorem is referenced by:  neibastop3  26311 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-top 16636  df-topon 16639  df-nei 16835
 Copyright terms: Public domain W3C validator