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Theorem neibastop2 26413
Description: In the topology generated by a neighborhood base, a set is a neighborhood of a point iff it contains a subset in the base. (Contributed by Jeff Hankins, 9-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
neibastop1.1  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
neibastop1.2  |-  ( ph  ->  F : X --> ( ~P ~P X  \  { (/)
} ) )
neibastop1.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  v  e.  ( F `  x
)  /\  w  e.  ( F `  x ) ) )  ->  (
( F `  x
)  i^i  ~P (
v  i^i  w )
)  =/=  (/) )
neibastop1.4  |-  J  =  { o  e.  ~P X  |  A. x  e.  o  ( ( F `  x )  i^i  ~P o )  =/=  (/) }
neibastop1.5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  v  e.  ( F `  x
) ) )  ->  x  e.  v )
neibastop1.6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  v  e.  ( F `  x
) ) )  ->  E. t  e.  ( F `  x ) A. y  e.  t 
( ( F `  y )  i^i  ~P v )  =/=  (/) )
Assertion
Ref Expression
neibastop2  |-  ( (
ph  /\  P  e.  X )  ->  ( N  e.  ( ( nei `  J ) `  { P } )  <->  ( N  C_  X  /\  ( ( F `  P )  i^i  ~P N )  =/=  (/) ) ) )
Distinct variable groups:    v, t,
y, x    v, J    x, y, J    t, o,
v, w, x, y, P    o, N, t, v, w, x, y   
o, F, t, v, w, x, y    ph, o,
t, v, w, x, y    o, X, t, v, w, x, y
Allowed substitution hints:    J( w, t, o)    V( x, y, w, v, t, o)

Proof of Theorem neibastop2
Dummy variables  f  n  z  s  u  a  b  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neibastop1.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
2 neibastop1.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : X --> ( ~P ~P X  \  { (/)
} ) )
3 neibastop1.3 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  v  e.  ( F `  x
)  /\  w  e.  ( F `  x ) ) )  ->  (
( F `  x
)  i^i  ~P (
v  i^i  w )
)  =/=  (/) )
4 neibastop1.4 . . . . . . . . 9  |-  J  =  { o  e.  ~P X  |  A. x  e.  o  ( ( F `  x )  i^i  ~P o )  =/=  (/) }
51, 2, 3, 4neibastop1 26411 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
6 topontop 16680 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
75, 6syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
87adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  P  e.  X )  ->  J  e.  Top )
9 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  U. J  =  U. J
109neii1 16859 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `  { P } ) )  ->  N  C_  U. J
)
118, 10sylan 457 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) )  ->  N  C_  U. J )
12 toponuni 16681 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
135, 12syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  =  U. J
)
1413ad2antrr 706 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) )  ->  X  =  U. J )
1511, 14sseqtr4d 3228 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) )  ->  N  C_  X )
16 neii2 16861 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `  { P } ) )  ->  E. y  e.  J  ( { P }  C_  y  /\  y  C_  N
) )
178, 16sylan 457 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) )  ->  E. y  e.  J  ( { P }  C_  y  /\  y  C_  N
) )
18 pweq 3641 . . . . . . . . . . 11  |-  ( o  =  y  ->  ~P o  =  ~P y
)
1918ineq2d 3383 . . . . . . . . . 10  |-  ( o  =  y  ->  (
( F `  x
)  i^i  ~P o
)  =  ( ( F `  x )  i^i  ~P y ) )
2019neeq1d 2472 . . . . . . . . 9  |-  ( o  =  y  ->  (
( ( F `  x )  i^i  ~P o )  =/=  (/)  <->  ( ( F `  x )  i^i  ~P y )  =/=  (/) ) )
2120raleqbi1dv 2757 . . . . . . . 8  |-  ( o  =  y  ->  ( A. x  e.  o 
( ( F `  x )  i^i  ~P o )  =/=  (/)  <->  A. x  e.  y  ( ( F `  x )  i^i  ~P y )  =/=  (/) ) )
2221, 4elrab2 2938 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  J  <->  ( y  e.  ~P X  /\  A. x  e.  y  (
( F `  x
)  i^i  ~P y
)  =/=  (/) ) )
23 simprrr 741 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  (
( nei `  J
) `  { P } ) )  /\  ( y  e.  ~P X  /\  ( { P }  C_  y  /\  y  C_  N ) ) )  ->  y  C_  N
)
24 sspwb 4239 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y 
C_  N  <->  ~P y  C_ 
~P N )
2523, 24sylib 188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  (
( nei `  J
) `  { P } ) )  /\  ( y  e.  ~P X  /\  ( { P }  C_  y  /\  y  C_  N ) ) )  ->  ~P y  C_  ~P N )
26 sslin 3408 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ~P y  C_  ~P N  ->  ( ( F `  P )  i^i  ~P y )  C_  (
( F `  P
)  i^i  ~P N
) )
2725, 26syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  (
( nei `  J
) `  { P } ) )  /\  ( y  e.  ~P X  /\  ( { P }  C_  y  /\  y  C_  N ) ) )  ->  ( ( F `
 P )  i^i 
~P y )  C_  ( ( F `  P )  i^i  ~P N ) )
28 simprrl 740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  (
( nei `  J
) `  { P } ) )  /\  ( y  e.  ~P X  /\  ( { P }  C_  y  /\  y  C_  N ) ) )  ->  { P }  C_  y )
29 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  (
( nei `  J
) `  { P } ) )  /\  ( y  e.  ~P X  /\  ( { P }  C_  y  /\  y  C_  N ) ) )  ->  P  e.  X
)
30 snssg 3767 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  X  ->  ( P  e.  y  <->  { P }  C_  y ) )
3129, 30syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  (
( nei `  J
) `  { P } ) )  /\  ( y  e.  ~P X  /\  ( { P }  C_  y  /\  y  C_  N ) ) )  ->  ( P  e.  y  <->  { P }  C_  y ) )
3228, 31mpbird 223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  (
( nei `  J
) `  { P } ) )  /\  ( y  e.  ~P X  /\  ( { P }  C_  y  /\  y  C_  N ) ) )  ->  P  e.  y )
33 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  P  ->  ( F `  x )  =  ( F `  P ) )
3433ineq1d 3382 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  P  ->  (
( F `  x
)  i^i  ~P y
)  =  ( ( F `  P )  i^i  ~P y ) )
3534neeq1d 2472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  P  ->  (
( ( F `  x )  i^i  ~P y )  =/=  (/)  <->  ( ( F `  P )  i^i  ~P y )  =/=  (/) ) )
3635rspcv 2893 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  e.  y  ->  ( A. x  e.  y 
( ( F `  x )  i^i  ~P y )  =/=  (/)  ->  (
( F `  P
)  i^i  ~P y
)  =/=  (/) ) )
3732, 36syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  (
( nei `  J
) `  { P } ) )  /\  ( y  e.  ~P X  /\  ( { P }  C_  y  /\  y  C_  N ) ) )  ->  ( A. x  e.  y  ( ( F `  x )  i^i  ~P y )  =/=  (/)  ->  ( ( F `
 P )  i^i 
~P y )  =/=  (/) ) )
38 ssn0 3500 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F `  P )  i^i  ~P y )  C_  (
( F `  P
)  i^i  ~P N
)  /\  ( ( F `  P )  i^i  ~P y )  =/=  (/) )  ->  ( ( F `  P )  i^i  ~P N )  =/=  (/) )
3927, 37, 38ee12an 1353 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  (
( nei `  J
) `  { P } ) )  /\  ( y  e.  ~P X  /\  ( { P }  C_  y  /\  y  C_  N ) ) )  ->  ( A. x  e.  y  ( ( F `  x )  i^i  ~P y )  =/=  (/)  ->  ( ( F `
 P )  i^i 
~P N )  =/=  (/) ) )
4039expr 598 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  (
( nei `  J
) `  { P } ) )  /\  y  e.  ~P X
)  ->  ( ( { P }  C_  y  /\  y  C_  N )  ->  ( A. x  e.  y  ( ( F `  x )  i^i  ~P y )  =/=  (/)  ->  ( ( F `
 P )  i^i 
~P N )  =/=  (/) ) ) )
4140com23 72 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  (
( nei `  J
) `  { P } ) )  /\  y  e.  ~P X
)  ->  ( A. x  e.  y  (
( F `  x
)  i^i  ~P y
)  =/=  (/)  ->  (
( { P }  C_  y  /\  y  C_  N )  ->  (
( F `  P
)  i^i  ~P N
)  =/=  (/) ) ) )
4241expimpd 586 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) )  -> 
( ( y  e. 
~P X  /\  A. x  e.  y  (
( F `  x
)  i^i  ~P y
)  =/=  (/) )  -> 
( ( { P }  C_  y  /\  y  C_  N )  ->  (
( F `  P
)  i^i  ~P N
)  =/=  (/) ) ) )
4322, 42syl5bi 208 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) )  -> 
( y  e.  J  ->  ( ( { P }  C_  y  /\  y  C_  N )  ->  (
( F `  P
)  i^i  ~P N
)  =/=  (/) ) ) )
4443rexlimdv 2679 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) )  -> 
( E. y  e.  J  ( { P }  C_  y  /\  y  C_  N )  ->  (
( F `  P
)  i^i  ~P N
)  =/=  (/) ) )
4517, 44mpd 14 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) )  -> 
( ( F `  P )  i^i  ~P N )  =/=  (/) )
4615, 45jca 518 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  P  e.  X )  /\  N  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) )  -> 
( N  C_  X  /\  ( ( F `  P )  i^i  ~P N )  =/=  (/) ) )
4746ex 423 . 2  |-  ( (
ph  /\  P  e.  X )  ->  ( N  e.  ( ( nei `  J ) `  { P } )  -> 
( N  C_  X  /\  ( ( F `  P )  i^i  ~P N )  =/=  (/) ) ) )
48 n0 3477 . . . 4  |-  ( ( ( F `  P
)  i^i  ~P N
)  =/=  (/)  <->  E. s 
s  e.  ( ( F `  P )  i^i  ~P N ) )
49 elin 3371 . . . . . 6  |-  ( s  e.  ( ( F `
 P )  i^i 
~P N )  <->  ( s  e.  ( F `  P
)  /\  s  e.  ~P N ) )
50 simprl 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  P  e.  X )  /\  ( N  C_  X  /\  (
s  e.  ( F `
 P )  /\  s  e.  ~P N
) ) )  ->  N  C_  X )
5113ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  P  e.  X )  /\  ( N  C_  X  /\  (
s  e.  ( F `
 P )  /\  s  e.  ~P N
) ) )  ->  X  =  U. J )
5250, 51sseqtrd 3227 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  P  e.  X )  /\  ( N  C_  X  /\  (
s  e.  ( F `
 P )  /\  s  e.  ~P N
) ) )  ->  N  C_  U. J )
531ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  P  e.  X )  /\  ( N  C_  X  /\  (
s  e.  ( F `
 P )  /\  s  e.  ~P N
) ) )  ->  X  e.  V )
542ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  P  e.  X )  /\  ( N  C_  X  /\  (
s  e.  ( F `
 P )  /\  s  e.  ~P N
) ) )  ->  F : X --> ( ~P ~P X  \  { (/)
} ) )
55 simpll 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  P  e.  X )  /\  ( N  C_  X  /\  (
s  e.  ( F `
 P )  /\  s  e.  ~P N
) ) )  ->  ph )
5655, 3sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  P  e.  X )  /\  ( N  C_  X  /\  ( s  e.  ( F `  P )  /\  s  e.  ~P N ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  v  e.  ( F `  x
)  /\  w  e.  ( F `  x ) ) )  ->  (
( F `  x
)  i^i  ~P (
v  i^i  w )
)  =/=  (/) )
57 neibastop1.5 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  v  e.  ( F `  x
) ) )  ->  x  e.  v )
5855, 57sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  P  e.  X )  /\  ( N  C_  X  /\  ( s  e.  ( F `  P )  /\  s  e.  ~P N ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  v  e.  ( F `  x
) ) )  ->  x  e.  v )
59 neibastop1.6 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  v  e.  ( F `  x
) ) )  ->  E. t  e.  ( F `  x ) A. y  e.  t 
( ( F `  y )  i^i  ~P v )  =/=  (/) )
6055, 59sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  P  e.  X )  /\  ( N  C_  X  /\  ( s  e.  ( F `  P )  /\  s  e.  ~P N ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  v  e.  ( F `  x
) ) )  ->  E. t  e.  ( F `  x ) A. y  e.  t 
( ( F `  y )  i^i  ~P v )  =/=  (/) )
61 simplr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  P  e.  X )  /\  ( N  C_  X  /\  (
s  e.  ( F `
 P )  /\  s  e.  ~P N
) ) )  ->  P  e.  X )
62 simprrl 740 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  P  e.  X )  /\  ( N  C_  X  /\  (
s  e.  ( F `
 P )  /\  s  e.  ~P N
) ) )  -> 
s  e.  ( F `
 P ) )
63 simprrr 741 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  P  e.  X )  /\  ( N  C_  X  /\  (
s  e.  ( F `
 P )  /\  s  e.  ~P N
) ) )  -> 
s  e.  ~P N
)
64 elpwi 3646 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  ~P N  -> 
s  C_  N )
6563, 64syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  P  e.  X )  /\  ( N  C_  X  /\  (
s  e.  ( F `
 P )  /\  s  e.  ~P N
) ) )  -> 
s  C_  N )
66 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  x  ->  ( F `  n )  =  ( F `  x ) )
6766ineq1d 3382 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  x  ->  (
( F `  n
)  i^i  ~P b
)  =  ( ( F `  x )  i^i  ~P b ) )
6867cbviunv 3957 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U_ n  e.  X  ( ( F `  n )  i^i  ~P b )  = 
U_ x  e.  X  ( ( F `  x )  i^i  ~P b )
69 pweq 3641 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  =  z  ->  ~P b  =  ~P z
)
7069ineq2d 3383 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  =  z  ->  (
( F `  x
)  i^i  ~P b
)  =  ( ( F `  x )  i^i  ~P z ) )
7170iuneq2d 3946 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  z  ->  U_ x  e.  X  ( ( F `  x )  i^i  ~P b )  = 
U_ x  e.  X  ( ( F `  x )  i^i  ~P z ) )
7268, 71syl5eq 2340 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  z  ->  U_ n  e.  X  ( ( F `  n )  i^i  ~P b )  = 
U_ x  e.  X  ( ( F `  x )  i^i  ~P z ) )
7372cbviunv 3957 . . . . . . . . . . . 12  |-  U_ b  e.  a  U_ n  e.  X  ( ( F `
 n )  i^i 
~P b )  = 
U_ z  e.  a 
U_ x  e.  X  ( ( F `  x )  i^i  ~P z )
7473mpteq2i 4119 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  _V  |->  U_ b  e.  a  U_ n  e.  X  ( ( F `
 n )  i^i 
~P b ) )  =  ( a  e. 
_V  |->  U_ z  e.  a 
U_ x  e.  X  ( ( F `  x )  i^i  ~P z ) )
75 rdgeq1 6440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  _V  |->  U_ b  e.  a  U_ n  e.  X  (
( F `  n
)  i^i  ~P b
) )  =  ( a  e.  _V  |->  U_ z  e.  a  U_ x  e.  X  (
( F `  x
)  i^i  ~P z
) )  ->  rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ b  e.  a 
U_ n  e.  X  ( ( F `  n )  i^i  ~P b ) ) ,  { s } )  =  rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ z  e.  a  U_ x  e.  X  (
( F `  x
)  i^i  ~P z
) ) ,  {
s } ) )
7674, 75ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  rec (
( a  e.  _V  |->  U_ b  e.  a  U_ n  e.  X  (
( F `  n
)  i^i  ~P b
) ) ,  {
s } )  =  rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ z  e.  a  U_ x  e.  X  ( ( F `
 x )  i^i 
~P z ) ) ,  { s } )
7776reseq1i 4967 . . . . . . . . 9  |-  ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ b  e.  a 
U_ n  e.  X  ( ( F `  n )  i^i  ~P b ) ) ,  { s } )  |`  om )  =  ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ z  e.  a  U_ x  e.  X  ( ( F `
 x )  i^i 
~P z ) ) ,  { s } )  |`  om )
78 pweq 3641 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  f  ->  ~P g  =  ~P f
)
7978ineq2d 3383 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  f  ->  (
( F `  w
)  i^i  ~P g
)  =  ( ( F `  w )  i^i  ~P f ) )
8079neeq1d 2472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  f  ->  (
( ( F `  w )  i^i  ~P g )  =/=  (/)  <->  ( ( F `  w )  i^i  ~P f )  =/=  (/) ) )
8180cbvrexv 2778 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. g  e.  U. ran  ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ b  e.  a  U_ n  e.  X  ( ( F `
 n )  i^i 
~P b ) ) ,  { s } )  |`  om )
( ( F `  w )  i^i  ~P g )  =/=  (/)  <->  E. f  e.  U. ran  ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ b  e.  a 
U_ n  e.  X  ( ( F `  n )  i^i  ~P b ) ) ,  { s } )  |`  om ) ( ( F `  w )  i^i  ~P f )  =/=  (/) )
82 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  y  ->  ( F `  w )  =  ( F `  y ) )
8382ineq1d 3382 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  y  ->  (
( F `  w
)  i^i  ~P f
)  =  ( ( F `  y )  i^i  ~P f ) )
8483neeq1d 2472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  y  ->  (
( ( F `  w )  i^i  ~P f )  =/=  (/)  <->  ( ( F `  y )  i^i  ~P f )  =/=  (/) ) )
8584rexbidv 2577 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  y  ->  ( E. f  e.  U. ran  ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ b  e.  a  U_ n  e.  X  ( ( F `
 n )  i^i 
~P b ) ) ,  { s } )  |`  om )
( ( F `  w )  i^i  ~P f )  =/=  (/)  <->  E. f  e.  U. ran  ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ b  e.  a 
U_ n  e.  X  ( ( F `  n )  i^i  ~P b ) ) ,  { s } )  |`  om ) ( ( F `  y )  i^i  ~P f )  =/=  (/) ) )
8681, 85syl5bb 248 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  y  ->  ( E. g  e.  U. ran  ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ b  e.  a  U_ n  e.  X  ( ( F `
 n )  i^i 
~P b ) ) ,  { s } )  |`  om )
( ( F `  w )  i^i  ~P g )  =/=  (/)  <->  E. f  e.  U. ran  ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ b  e.  a 
U_ n  e.  X  ( ( F `  n )  i^i  ~P b ) ) ,  { s } )  |`  om ) ( ( F `  y )  i^i  ~P f )  =/=  (/) ) )
8786cbvrabv 2800 . . . . . . . . 9  |-  { w  e.  X  |  E. g  e.  U. ran  ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ b  e.  a 
U_ n  e.  X  ( ( F `  n )  i^i  ~P b ) ) ,  { s } )  |`  om ) ( ( F `  w )  i^i  ~P g )  =/=  (/) }  =  {
y  e.  X  |  E. f  e.  U. ran  ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ b  e.  a  U_ n  e.  X  ( ( F `
 n )  i^i 
~P b ) ) ,  { s } )  |`  om )
( ( F `  y )  i^i  ~P f )  =/=  (/) }
8853, 54, 56, 4, 58, 60, 61, 50, 62, 65, 77, 87neibastop2lem 26412 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  P  e.  X )  /\  ( N  C_  X  /\  (
s  e.  ( F `
 P )  /\  s  e.  ~P N
) ) )  ->  E. u  e.  J  ( P  e.  u  /\  u  C_  N ) )
897ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  P  e.  X )  /\  ( N  C_  X  /\  (
s  e.  ( F `
 P )  /\  s  e.  ~P N
) ) )  ->  J  e.  Top )
9061, 51eleqtrd 2372 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  P  e.  X )  /\  ( N  C_  X  /\  (
s  e.  ( F `
 P )  /\  s  e.  ~P N
) ) )  ->  P  e.  U. J )
919isneip 16858 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  U. J )  ->  ( N  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } )  <->  ( N  C_ 
U. J  /\  E. u  e.  J  ( P  e.  u  /\  u  C_  N ) ) ) )
9289, 90, 91syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  P  e.  X )  /\  ( N  C_  X  /\  (
s  e.  ( F `
 P )  /\  s  e.  ~P N
) ) )  -> 
( N  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } )  <->  ( N  C_ 
U. J  /\  E. u  e.  J  ( P  e.  u  /\  u  C_  N ) ) ) )
9352, 88, 92mpbir2and 888 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  P  e.  X )  /\  ( N  C_  X  /\  (
s  e.  ( F `
 P )  /\  s  e.  ~P N
) ) )  ->  N  e.  ( ( nei `  J ) `  { P } ) )
9493expr 598 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  P  e.  X )  /\  N  C_  X )  ->  (
( s  e.  ( F `  P )  /\  s  e.  ~P N )  ->  N  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) ) )
9549, 94syl5bi 208 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  P  e.  X )  /\  N  C_  X )  ->  (
s  e.  ( ( F `  P )  i^i  ~P N )  ->  N  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) ) )
9695exlimdv 1626 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  P  e.  X )  /\  N  C_  X )  ->  ( E. s  s  e.  ( ( F `  P )  i^i  ~P N )  ->  N  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) ) )
9748, 96syl5bi 208 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  P  e.  X )  /\  N  C_  X )  ->  (
( ( F `  P )  i^i  ~P N )  =/=  (/)  ->  N  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) ) )
9897expimpd 586 . 2  |-  ( (
ph  /\  P  e.  X )  ->  (
( N  C_  X  /\  ( ( F `  P )  i^i  ~P N )  =/=  (/) )  ->  N  e.  ( ( nei `  J ) `  { P } ) ) )
9947, 98impbid 183 1  |-  ( (
ph  /\  P  e.  X )  ->  ( N  e.  ( ( nei `  J ) `  { P } )  <->  ( N  C_  X  /\  ( ( F `  P )  i^i  ~P N )  =/=  (/) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   {crab 2560   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   {csn 3653   U.cuni 3843   U_ciun 3921    e. cmpt 4093   omcom 4672   ran crn 4706    |` cres 4707   -->wf 5267   ` cfv 5271   reccrdg 6438   Topctop 16647  TopOnctopon 16648   neicnei 16850
This theorem is referenced by:  neibastop3  26414
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-top 16652  df-topon 16655  df-nei 16851
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