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Theorem neibastop3 25723
Description: The topology generated by a neighborhood base is unique. (Contributed by Jeff Hankins, 16-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
neibastop1.1  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
neibastop1.2  |-  ( ph  ->  F : X --> ( ~P ~P X  \  { (/)
} ) )
neibastop1.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  v  e.  ( F `  x
)  /\  w  e.  ( F `  x ) ) )  ->  (
( F `  x
)  i^i  ~P (
v  i^i  w )
)  =/=  (/) )
neibastop1.4  |-  J  =  { o  e.  ~P X  |  A. x  e.  o  ( ( F `  x )  i^i  ~P o )  =/=  (/) }
neibastop1.5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  v  e.  ( F `  x
) ) )  ->  x  e.  v )
neibastop1.6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  v  e.  ( F `  x
) ) )  ->  E. t  e.  ( F `  x ) A. y  e.  t 
( ( F `  y )  i^i  ~P v )  =/=  (/) )
Assertion
Ref Expression
neibastop3  |-  ( ph  ->  E! j  e.  (TopOn `  X ) A. x  e.  X  ( ( nei `  j ) `  { x } )  =  { n  e. 
~P X  |  ( ( F `  x
)  i^i  ~P n
)  =/=  (/) } )
Distinct variable groups:    t, n, v, y, j, x    j, J    x, n, J, v, y    t, o, v, w, x, y, j, F, n    ph, j, n, o, t, v, w, x, y    j, X, n, o, t, v, w, x, y
Allowed substitution hints:    J( w, t, o)    V( x, y, w, v, t, j, n, o)

Proof of Theorem neibastop3
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neibastop1.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
2 neibastop1.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : X --> ( ~P ~P X  \  { (/)
} ) )
3 neibastop1.3 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  v  e.  ( F `  x
)  /\  w  e.  ( F `  x ) ) )  ->  (
( F `  x
)  i^i  ~P (
v  i^i  w )
)  =/=  (/) )
4 neibastop1.4 . . . 4  |-  J  =  { o  e.  ~P X  |  A. x  e.  o  ( ( F `  x )  i^i  ~P o )  =/=  (/) }
51, 2, 3, 4neibastop1 25720 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
6 neibastop1.5 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  v  e.  ( F `  x
) ) )  ->  x  e.  v )
7 neibastop1.6 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  v  e.  ( F `  x
) ) )  ->  E. t  e.  ( F `  x ) A. y  e.  t 
( ( F `  y )  i^i  ~P v )  =/=  (/) )
81, 2, 3, 4, 6, 7neibastop2 25722 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  (
n  e.  ( ( nei `  J ) `
 { z } )  <->  ( n  C_  X  /\  ( ( F `
 z )  i^i 
~P n )  =/=  (/) ) ) )
9 vex 2791 . . . . . . . . . 10  |-  n  e. 
_V
109elpw 3631 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ~P X  <->  n  C_  X
)
1110anbi1i 676 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  ~P X  /\  ( ( F `  z )  i^i  ~P n )  =/=  (/) )  <->  ( n  C_  X  /\  ( ( F `  z )  i^i  ~P n )  =/=  (/) ) )
128, 11syl6bbr 254 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  (
n  e.  ( ( nei `  J ) `
 { z } )  <->  ( n  e. 
~P X  /\  (
( F `  z
)  i^i  ~P n
)  =/=  (/) ) ) )
1312abbi2dv 2398 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  (
( nei `  J
) `  { z } )  =  {
n  |  ( n  e.  ~P X  /\  ( ( F `  z )  i^i  ~P n )  =/=  (/) ) } )
14 df-rab 2552 . . . . . 6  |-  { n  e.  ~P X  |  ( ( F `  z
)  i^i  ~P n
)  =/=  (/) }  =  { n  |  (
n  e.  ~P X  /\  ( ( F `  z )  i^i  ~P n )  =/=  (/) ) }
1513, 14syl6eqr 2333 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  (
( nei `  J
) `  { z } )  =  {
n  e.  ~P X  |  ( ( F `
 z )  i^i 
~P n )  =/=  (/) } )
1615ralrimiva 2626 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. z  e.  X  ( ( nei `  J
) `  { z } )  =  {
n  e.  ~P X  |  ( ( F `
 z )  i^i 
~P n )  =/=  (/) } )
17 sneq 3651 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  { x }  =  { z } )
1817fveq2d 5529 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
( nei `  J
) `  { x } )  =  ( ( nei `  J
) `  { z } ) )
19 fveq2 5525 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  ( F `  x )  =  ( F `  z ) )
2019ineq1d 3369 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
( F `  x
)  i^i  ~P n
)  =  ( ( F `  z )  i^i  ~P n ) )
2120neeq1d 2459 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( F `  x )  i^i  ~P n )  =/=  (/)  <->  ( ( F `  z )  i^i  ~P n )  =/=  (/) ) )
2221rabbidv 2780 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  { n  e.  ~P X  |  ( ( F `  x
)  i^i  ~P n
)  =/=  (/) }  =  { n  e.  ~P X  |  ( ( F `  z )  i^i  ~P n )  =/=  (/) } )
2318, 22eqeq12d 2297 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( nei `  J
) `  { x } )  =  {
n  e.  ~P X  |  ( ( F `
 x )  i^i 
~P n )  =/=  (/) }  <->  ( ( nei `  J ) `  {
z } )  =  { n  e.  ~P X  |  ( ( F `  z )  i^i  ~P n )  =/=  (/) } ) )
2423cbvralv 2764 . . . 4  |-  ( A. x  e.  X  (
( nei `  J
) `  { x } )  =  {
n  e.  ~P X  |  ( ( F `
 x )  i^i 
~P n )  =/=  (/) }  <->  A. z  e.  X  ( ( nei `  J
) `  { z } )  =  {
n  e.  ~P X  |  ( ( F `
 z )  i^i 
~P n )  =/=  (/) } )
2516, 24sylibr 203 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  ( ( nei `  J
) `  { x } )  =  {
n  e.  ~P X  |  ( ( F `
 x )  i^i 
~P n )  =/=  (/) } )
26 toponuni 16665 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. j )
27 eqimss2 3231 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  =  U. j  ->  U. j  C_  X )
2826, 27syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  (TopOn `  X
)  ->  U. j  C_  X )
29 sspwuni 3987 . . . . . . . . 9  |-  ( j 
C_  ~P X  <->  U. j  C_  X )
3028, 29sylibr 203 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  (TopOn `  X
)  ->  j  C_  ~P X )
3130ad2antlr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  (TopOn `  X )
)  /\  A. x  e.  X  ( ( nei `  j ) `  { x } )  =  { n  e. 
~P X  |  ( ( F `  x
)  i^i  ~P n
)  =/=  (/) } )  ->  j  C_  ~P X )
32 dfss1 3373 . . . . . . 7  |-  ( j 
C_  ~P X  <->  ( ~P X  i^i  j )  =  j )
3331, 32sylib 188 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  (TopOn `  X )
)  /\  A. x  e.  X  ( ( nei `  j ) `  { x } )  =  { n  e. 
~P X  |  ( ( F `  x
)  i^i  ~P n
)  =/=  (/) } )  ->  ( ~P X  i^i  j )  =  j )
34 simpllr 735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  (TopOn `  X
) )  /\  A. x  e.  X  (
( nei `  j
) `  { x } )  =  {
n  e.  ~P X  |  ( ( F `
 x )  i^i 
~P n )  =/=  (/) } )  /\  o  e.  ~P X )  -> 
j  e.  (TopOn `  X ) )
35 topontop 16664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  (TopOn `  X
)  ->  j  e.  Top )
3634, 35syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  (TopOn `  X
) )  /\  A. x  e.  X  (
( nei `  j
) `  { x } )  =  {
n  e.  ~P X  |  ( ( F `
 x )  i^i 
~P n )  =/=  (/) } )  /\  o  e.  ~P X )  -> 
j  e.  Top )
37 eltop2 16713 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  Top  ->  (
o  e.  j  <->  A. x  e.  o  E. z  e.  j  ( x  e.  z  /\  z  C_  o ) ) )
3836, 37syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  (TopOn `  X
) )  /\  A. x  e.  X  (
( nei `  j
) `  { x } )  =  {
n  e.  ~P X  |  ( ( F `
 x )  i^i 
~P n )  =/=  (/) } )  /\  o  e.  ~P X )  -> 
( o  e.  j  <->  A. x  e.  o  E. z  e.  j 
( x  e.  z  /\  z  C_  o
) ) )
39 elpwi 3633 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( o  e.  ~P X  -> 
o  C_  X )
40 ssralv 3237 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( o 
C_  X  ->  ( A. x  e.  X  ( ( nei `  j
) `  { x } )  =  {
n  e.  ~P X  |  ( ( F `
 x )  i^i 
~P n )  =/=  (/) }  ->  A. x  e.  o  ( ( nei `  j ) `  { x } )  =  { n  e. 
~P X  |  ( ( F `  x
)  i^i  ~P n
)  =/=  (/) } ) )
4139, 40syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( o  e.  ~P X  -> 
( A. x  e.  X  ( ( nei `  j ) `  {
x } )  =  { n  e.  ~P X  |  ( ( F `  x )  i^i  ~P n )  =/=  (/) }  ->  A. x  e.  o  ( ( nei `  j ) `  { x } )  =  { n  e. 
~P X  |  ( ( F `  x
)  i^i  ~P n
)  =/=  (/) } ) )
4241adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  (TopOn `  X )
)  /\  o  e.  ~P X )  ->  ( A. x  e.  X  ( ( nei `  j
) `  { x } )  =  {
n  e.  ~P X  |  ( ( F `
 x )  i^i 
~P n )  =/=  (/) }  ->  A. x  e.  o  ( ( nei `  j ) `  { x } )  =  { n  e. 
~P X  |  ( ( F `  x
)  i^i  ~P n
)  =/=  (/) } ) )
43 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  (TopOn `  X
) )  /\  o  e.  ~P X )  /\  ( x  e.  o  /\  ( ( nei `  j
) `  { x } )  =  {
n  e.  ~P X  |  ( ( F `
 x )  i^i 
~P n )  =/=  (/) } ) )  -> 
( ( nei `  j
) `  { x } )  =  {
n  e.  ~P X  |  ( ( F `
 x )  i^i 
~P n )  =/=  (/) } )
4443eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  (TopOn `  X
) )  /\  o  e.  ~P X )  /\  ( x  e.  o  /\  ( ( nei `  j
) `  { x } )  =  {
n  e.  ~P X  |  ( ( F `
 x )  i^i 
~P n )  =/=  (/) } ) )  -> 
( o  e.  ( ( nei `  j
) `  { x } )  <->  o  e.  { n  e.  ~P X  |  ( ( F `
 x )  i^i 
~P n )  =/=  (/) } ) )
4535ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  (TopOn `  X )
)  /\  o  e.  ~P X )  ->  j  e.  Top )
4645adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  (TopOn `  X
) )  /\  o  e.  ~P X )  /\  ( x  e.  o  /\  ( ( nei `  j
) `  { x } )  =  {
n  e.  ~P X  |  ( ( F `
 x )  i^i 
~P n )  =/=  (/) } ) )  -> 
j  e.  Top )
4726adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  j  e.  (TopOn `  X ) )  ->  X  =  U. j )
4847sseq2d 3206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  j  e.  (TopOn `  X ) )  ->  ( o  C_  X 
<->  o  C_  U. j
) )
4948biimpa 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  (TopOn `  X )
)  /\  o  C_  X )  ->  o  C_ 
U. j )
5039, 49sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  (TopOn `  X )
)  /\  o  e.  ~P X )  ->  o  C_ 
U. j )
5150sselda 3180 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  (TopOn `  X
) )  /\  o  e.  ~P X )  /\  x  e.  o )  ->  x  e.  U. j
)
5251adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  (TopOn `  X
) )  /\  o  e.  ~P X )  /\  ( x  e.  o  /\  ( ( nei `  j
) `  { x } )  =  {
n  e.  ~P X  |  ( ( F `
 x )  i^i 
~P n )  =/=  (/) } ) )  ->  x  e.  U. j
)
5350adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  (TopOn `  X
) )  /\  o  e.  ~P X )  /\  ( x  e.  o  /\  ( ( nei `  j
) `  { x } )  =  {
n  e.  ~P X  |  ( ( F `
 x )  i^i 
~P n )  =/=  (/) } ) )  -> 
o  C_  U. j
)
54 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  U. j  =  U. j
5554isneip 16842 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( j  e.  Top  /\  x  e.  U. j
)  ->  ( o  e.  ( ( nei `  j
) `  { x } )  <->  ( o  C_ 
U. j  /\  E. z  e.  j  (
x  e.  z  /\  z  C_  o ) ) ) )
5655baibd 875 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( j  e.  Top  /\  x  e.  U. j
)  /\  o  C_  U. j )  ->  (
o  e.  ( ( nei `  j ) `
 { x }
)  <->  E. z  e.  j  ( x  e.  z  /\  z  C_  o
) ) )
5746, 52, 53, 56syl21anc 1181 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  (TopOn `  X
) )  /\  o  e.  ~P X )  /\  ( x  e.  o  /\  ( ( nei `  j
) `  { x } )  =  {
n  e.  ~P X  |  ( ( F `
 x )  i^i 
~P n )  =/=  (/) } ) )  -> 
( o  e.  ( ( nei `  j
) `  { x } )  <->  E. z  e.  j  ( x  e.  z  /\  z  C_  o ) ) )
58 pweq 3628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  o  ->  ~P n  =  ~P o
)
5958ineq2d 3370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  o  ->  (
( F `  x
)  i^i  ~P n
)  =  ( ( F `  x )  i^i  ~P o ) )
6059neeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  o  ->  (
( ( F `  x )  i^i  ~P n )  =/=  (/)  <->  ( ( F `  x )  i^i  ~P o )  =/=  (/) ) )
6160elrab3 2924 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( o  e.  ~P X  -> 
( o  e.  {
n  e.  ~P X  |  ( ( F `
 x )  i^i 
~P n )  =/=  (/) }  <->  ( ( F `
 x )  i^i 
~P o )  =/=  (/) ) )
6261ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  (TopOn `  X
) )  /\  o  e.  ~P X )  /\  ( x  e.  o  /\  ( ( nei `  j
) `  { x } )  =  {
n  e.  ~P X  |  ( ( F `
 x )  i^i 
~P n )  =/=  (/) } ) )  -> 
( o  e.  {
n  e.  ~P X  |  ( ( F `
 x )  i^i 
~P n )  =/=  (/) }  <->  ( ( F `
 x )  i^i 
~P o )  =/=  (/) ) )
6344, 57, 623bitr3d 274 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  (TopOn `  X
) )  /\  o  e.  ~P X )  /\  ( x  e.  o  /\  ( ( nei `  j
) `  { x } )  =  {
n  e.  ~P X  |  ( ( F `
 x )  i^i 
~P n )  =/=  (/) } ) )  -> 
( E. z  e.  j  ( x  e.  z  /\  z  C_  o )  <->  ( ( F `  x )  i^i  ~P o )  =/=  (/) ) )
6463expr 598 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  (TopOn `  X
) )  /\  o  e.  ~P X )  /\  x  e.  o )  ->  ( ( ( nei `  j ) `  {
x } )  =  { n  e.  ~P X  |  ( ( F `  x )  i^i  ~P n )  =/=  (/) }  ->  ( E. z  e.  j  (
x  e.  z  /\  z  C_  o )  <->  ( ( F `  x )  i^i  ~P o )  =/=  (/) ) ) )
6564ralimdva 2621 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  (TopOn `  X )
)  /\  o  e.  ~P X )  ->  ( A. x  e.  o 
( ( nei `  j
) `  { x } )  =  {
n  e.  ~P X  |  ( ( F `
 x )  i^i 
~P n )  =/=  (/) }  ->  A. x  e.  o  ( E. z  e.  j  (
x  e.  z  /\  z  C_  o )  <->  ( ( F `  x )  i^i  ~P o )  =/=  (/) ) ) )
6642, 65syld 40 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  (TopOn `  X )
)  /\  o  e.  ~P X )  ->  ( A. x  e.  X  ( ( nei `  j
) `  { x } )  =  {
n  e.  ~P X  |  ( ( F `
 x )  i^i 
~P n )  =/=  (/) }  ->  A. x  e.  o  ( E. z  e.  j  (
x  e.  z  /\  z  C_  o )  <->  ( ( F `  x )  i^i  ~P o )  =/=  (/) ) ) )
6766imp 418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  (TopOn `  X
) )  /\  o  e.  ~P X )  /\  A. x  e.  X  ( ( nei `  j
) `  { x } )  =  {
n  e.  ~P X  |  ( ( F `
 x )  i^i 
~P n )  =/=  (/) } )  ->  A. x  e.  o  ( E. z  e.  j  (
x  e.  z  /\  z  C_  o )  <->  ( ( F `  x )  i^i  ~P o )  =/=  (/) ) )
6867an32s 779 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  (TopOn `  X
) )  /\  A. x  e.  X  (
( nei `  j
) `  { x } )  =  {
n  e.  ~P X  |  ( ( F `
 x )  i^i 
~P n )  =/=  (/) } )  /\  o  e.  ~P X )  ->  A. x  e.  o 
( E. z  e.  j  ( x  e.  z  /\  z  C_  o )  <->  ( ( F `  x )  i^i  ~P o )  =/=  (/) ) )
69 ralbi 2679 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  o  ( E. z  e.  j 
( x  e.  z  /\  z  C_  o
)  <->  ( ( F `
 x )  i^i 
~P o )  =/=  (/) )  ->  ( A. x  e.  o  E. z  e.  j  (
x  e.  z  /\  z  C_  o )  <->  A. x  e.  o  ( ( F `  x )  i^i  ~P o )  =/=  (/) ) )
7068, 69syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  (TopOn `  X
) )  /\  A. x  e.  X  (
( nei `  j
) `  { x } )  =  {
n  e.  ~P X  |  ( ( F `
 x )  i^i 
~P n )  =/=  (/) } )  /\  o  e.  ~P X )  -> 
( A. x  e.  o  E. z  e.  j  ( x  e.  z  /\  z  C_  o )  <->  A. x  e.  o  ( ( F `  x )  i^i  ~P o )  =/=  (/) ) )
7138, 70bitrd 244 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  (TopOn `  X
) )  /\  A. x  e.  X  (
( nei `  j
) `  { x } )  =  {
n  e.  ~P X  |  ( ( F `
 x )  i^i 
~P n )  =/=  (/) } )  /\  o  e.  ~P X )  -> 
( o  e.  j  <->  A. x  e.  o 
( ( F `  x )  i^i  ~P o )  =/=  (/) ) )
7271rabbi2dva 3377 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  (TopOn `  X )
)  /\  A. x  e.  X  ( ( nei `  j ) `  { x } )  =  { n  e. 
~P X  |  ( ( F `  x
)  i^i  ~P n
)  =/=  (/) } )  ->  ( ~P X  i^i  j )  =  {
o  e.  ~P X  |  A. x  e.  o  ( ( F `  x )  i^i  ~P o )  =/=  (/) } )
7372, 4syl6eqr 2333 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  (TopOn `  X )
)  /\  A. x  e.  X  ( ( nei `  j ) `  { x } )  =  { n  e. 
~P X  |  ( ( F `  x
)  i^i  ~P n
)  =/=  (/) } )  ->  ( ~P X  i^i  j )  =  J )
7433, 73eqtr3d 2317 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  (TopOn `  X )
)  /\  A. x  e.  X  ( ( nei `  j ) `  { x } )  =  { n  e. 
~P X  |  ( ( F `  x
)  i^i  ~P n
)  =/=  (/) } )  ->  j  =  J )
7574expl 601 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( j  e.  (TopOn `  X )  /\  A. x  e.  X  ( ( nei `  j
) `  { x } )  =  {
n  e.  ~P X  |  ( ( F `
 x )  i^i 
~P n )  =/=  (/) } )  ->  j  =  J ) )
7675alrimiv 1617 . . 3  |-  ( ph  ->  A. j ( ( j  e.  (TopOn `  X )  /\  A. x  e.  X  (
( nei `  j
) `  { x } )  =  {
n  e.  ~P X  |  ( ( F `
 x )  i^i 
~P n )  =/=  (/) } )  ->  j  =  J ) )
77 eleq1 2343 . . . . 5  |-  ( j  =  J  ->  (
j  e.  (TopOn `  X )  <->  J  e.  (TopOn `  X ) ) )
78 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  J  ->  ( nei `  j )  =  ( nei `  J
) )
7978fveq1d 5527 . . . . . . 7  |-  ( j  =  J  ->  (
( nei `  j
) `  { x } )  =  ( ( nei `  J
) `  { x } ) )
8079eqeq1d 2291 . . . . . 6  |-  ( j  =  J  ->  (
( ( nei `  j
) `  { x } )  =  {
n  e.  ~P X  |  ( ( F `
 x )  i^i 
~P n )  =/=  (/) }  <->  ( ( nei `  J ) `  {
x } )  =  { n  e.  ~P X  |  ( ( F `  x )  i^i  ~P n )  =/=  (/) } ) )
8180ralbidv 2563 . . . . 5  |-  ( j  =  J  ->  ( A. x  e.  X  ( ( nei `  j
) `  { x } )  =  {
n  e.  ~P X  |  ( ( F `
 x )  i^i 
~P n )  =/=  (/) }  <->  A. x  e.  X  ( ( nei `  J
) `  { x } )  =  {
n  e.  ~P X  |  ( ( F `
 x )  i^i 
~P n )  =/=  (/) } ) )
8277, 81anbi12d 691 . . . 4  |-  ( j  =  J  ->  (
( j  e.  (TopOn `  X )  /\  A. x  e.  X  (
( nei `  j
) `  { x } )  =  {
n  e.  ~P X  |  ( ( F `
 x )  i^i 
~P n )  =/=  (/) } )  <->  ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A. x  e.  X  ( ( nei `  J
) `  { x } )  =  {
n  e.  ~P X  |  ( ( F `
 x )  i^i 
~P n )  =/=  (/) } ) ) )
8382eqeu 2936 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  A. x  e.  X  ( ( nei `  J ) `  { x } )  =  { n  e. 
~P X  |  ( ( F `  x
)  i^i  ~P n
)  =/=  (/) } )  /\  A. j ( ( j  e.  (TopOn `  X )  /\  A. x  e.  X  (
( nei `  j
) `  { x } )  =  {
n  e.  ~P X  |  ( ( F `
 x )  i^i 
~P n )  =/=  (/) } )  ->  j  =  J ) )  ->  E! j ( j  e.  (TopOn `  X )  /\  A. x  e.  X  ( ( nei `  j
) `  { x } )  =  {
n  e.  ~P X  |  ( ( F `
 x )  i^i 
~P n )  =/=  (/) } ) )
845, 5, 25, 76, 83syl121anc 1187 . 2  |-  ( ph  ->  E! j ( j  e.  (TopOn `  X
)  /\  A. x  e.  X  ( ( nei `  j ) `  { x } )  =  { n  e. 
~P X  |  ( ( F `  x
)  i^i  ~P n
)  =/=  (/) } ) )
85 df-reu 2550 . 2  |-  ( E! j  e.  (TopOn `  X ) A. x  e.  X  ( ( nei `  j ) `  { x } )  =  { n  e. 
~P X  |  ( ( F `  x
)  i^i  ~P n
)  =/=  (/) }  <->  E! j
( j  e.  (TopOn `  X )  /\  A. x  e.  X  (
( nei `  j
) `  { x } )  =  {
n  e.  ~P X  |  ( ( F `
 x )  i^i 
~P n )  =/=  (/) } ) )
8684, 85sylibr 203 1  |-  ( ph  ->  E! j  e.  (TopOn `  X ) A. x  e.  X  ( ( nei `  j ) `  { x } )  =  { n  e. 
~P X  |  ( ( F `  x
)  i^i  ~P n
)  =/=  (/) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1527    = wceq 1623    e. wcel 1684   E!weu 2143   {cab 2269    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   E!wreu 2545   {crab 2547    \ cdif 3149    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   {csn 3640   U.cuni 3827   -->wf 5251   ` cfv 5255   Topctop 16631  TopOnctopon 16632   neicnei 16834
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-topgen 13344  df-top 16636  df-topon 16639  df-nei 16835
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