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Theorem neibastop3 26382
Description: The topology generated by a neighborhood base is unique. (Contributed by Jeff Hankins, 16-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
neibastop1.1  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
neibastop1.2  |-  ( ph  ->  F : X --> ( ~P ~P X  \  { (/)
} ) )
neibastop1.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  v  e.  ( F `  x
)  /\  w  e.  ( F `  x ) ) )  ->  (
( F `  x
)  i^i  ~P (
v  i^i  w )
)  =/=  (/) )
neibastop1.4  |-  J  =  { o  e.  ~P X  |  A. x  e.  o  ( ( F `  x )  i^i  ~P o )  =/=  (/) }
neibastop1.5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  v  e.  ( F `  x
) ) )  ->  x  e.  v )
neibastop1.6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  v  e.  ( F `  x
) ) )  ->  E. t  e.  ( F `  x ) A. y  e.  t 
( ( F `  y )  i^i  ~P v )  =/=  (/) )
Assertion
Ref Expression
neibastop3  |-  ( ph  ->  E! j  e.  (TopOn `  X ) A. x  e.  X  ( ( nei `  j ) `  { x } )  =  { n  e. 
~P X  |  ( ( F `  x
)  i^i  ~P n
)  =/=  (/) } )
Distinct variable groups:    t, n, v, y, j, x    j, J    x, n, J, v, y    t, o, v, w, x, y, j, F, n    ph, j, n, o, t, v, w, x, y    j, X, n, o, t, v, w, x, y
Allowed substitution hints:    J( w, t, o)    V( x, y, w, v, t, j, n, o)

Proof of Theorem neibastop3
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neibastop1.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
2 neibastop1.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : X --> ( ~P ~P X  \  { (/)
} ) )
3 neibastop1.3 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  v  e.  ( F `  x
)  /\  w  e.  ( F `  x ) ) )  ->  (
( F `  x
)  i^i  ~P (
v  i^i  w )
)  =/=  (/) )
4 neibastop1.4 . . . 4  |-  J  =  { o  e.  ~P X  |  A. x  e.  o  ( ( F `  x )  i^i  ~P o )  =/=  (/) }
51, 2, 3, 4neibastop1 26379 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
6 neibastop1.5 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  v  e.  ( F `  x
) ) )  ->  x  e.  v )
7 neibastop1.6 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  v  e.  ( F `  x
) ) )  ->  E. t  e.  ( F `  x ) A. y  e.  t 
( ( F `  y )  i^i  ~P v )  =/=  (/) )
81, 2, 3, 4, 6, 7neibastop2 26381 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  (
n  e.  ( ( nei `  J ) `
 { z } )  <->  ( n  C_  X  /\  ( ( F `
 z )  i^i 
~P n )  =/=  (/) ) ) )
9 vex 2951 . . . . . . . . . 10  |-  n  e. 
_V
109elpw 3797 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ~P X  <->  n  C_  X
)
1110anbi1i 677 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  ~P X  /\  ( ( F `  z )  i^i  ~P n )  =/=  (/) )  <->  ( n  C_  X  /\  ( ( F `  z )  i^i  ~P n )  =/=  (/) ) )
128, 11syl6bbr 255 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  (
n  e.  ( ( nei `  J ) `
 { z } )  <->  ( n  e. 
~P X  /\  (
( F `  z
)  i^i  ~P n
)  =/=  (/) ) ) )
1312abbi2dv 2550 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  (
( nei `  J
) `  { z } )  =  {
n  |  ( n  e.  ~P X  /\  ( ( F `  z )  i^i  ~P n )  =/=  (/) ) } )
14 df-rab 2706 . . . . . 6  |-  { n  e.  ~P X  |  ( ( F `  z
)  i^i  ~P n
)  =/=  (/) }  =  { n  |  (
n  e.  ~P X  /\  ( ( F `  z )  i^i  ~P n )  =/=  (/) ) }
1513, 14syl6eqr 2485 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  (
( nei `  J
) `  { z } )  =  {
n  e.  ~P X  |  ( ( F `
 z )  i^i 
~P n )  =/=  (/) } )
1615ralrimiva 2781 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. z  e.  X  ( ( nei `  J
) `  { z } )  =  {
n  e.  ~P X  |  ( ( F `
 z )  i^i 
~P n )  =/=  (/) } )
17 sneq 3817 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  { x }  =  { z } )
1817fveq2d 5724 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
( nei `  J
) `  { x } )  =  ( ( nei `  J
) `  { z } ) )
19 fveq2 5720 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  ( F `  x )  =  ( F `  z ) )
2019ineq1d 3533 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
( F `  x
)  i^i  ~P n
)  =  ( ( F `  z )  i^i  ~P n ) )
2120neeq1d 2611 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( F `  x )  i^i  ~P n )  =/=  (/)  <->  ( ( F `  z )  i^i  ~P n )  =/=  (/) ) )
2221rabbidv 2940 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  { n  e.  ~P X  |  ( ( F `  x
)  i^i  ~P n
)  =/=  (/) }  =  { n  e.  ~P X  |  ( ( F `  z )  i^i  ~P n )  =/=  (/) } )
2318, 22eqeq12d 2449 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( nei `  J
) `  { x } )  =  {
n  e.  ~P X  |  ( ( F `
 x )  i^i 
~P n )  =/=  (/) }  <->  ( ( nei `  J ) `  {
z } )  =  { n  e.  ~P X  |  ( ( F `  z )  i^i  ~P n )  =/=  (/) } ) )
2423cbvralv 2924 . . . 4  |-  ( A. x  e.  X  (
( nei `  J
) `  { x } )  =  {
n  e.  ~P X  |  ( ( F `
 x )  i^i 
~P n )  =/=  (/) }  <->  A. z  e.  X  ( ( nei `  J
) `  { z } )  =  {
n  e.  ~P X  |  ( ( F `
 z )  i^i 
~P n )  =/=  (/) } )
2516, 24sylibr 204 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  ( ( nei `  J
) `  { x } )  =  {
n  e.  ~P X  |  ( ( F `
 x )  i^i 
~P n )  =/=  (/) } )
26 toponuni 16984 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. j )
27 eqimss2 3393 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  =  U. j  ->  U. j  C_  X )
2826, 27syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  (TopOn `  X
)  ->  U. j  C_  X )
29 sspwuni 4168 . . . . . . . . 9  |-  ( j 
C_  ~P X  <->  U. j  C_  X )
3028, 29sylibr 204 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  (TopOn `  X
)  ->  j  C_  ~P X )
3130ad2antlr 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  (TopOn `  X )
)  /\  A. x  e.  X  ( ( nei `  j ) `  { x } )  =  { n  e. 
~P X  |  ( ( F `  x
)  i^i  ~P n
)  =/=  (/) } )  ->  j  C_  ~P X )
32 dfss1 3537 . . . . . . 7  |-  ( j 
C_  ~P X  <->  ( ~P X  i^i  j )  =  j )
3331, 32sylib 189 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  (TopOn `  X )
)  /\  A. x  e.  X  ( ( nei `  j ) `  { x } )  =  { n  e. 
~P X  |  ( ( F `  x
)  i^i  ~P n
)  =/=  (/) } )  ->  ( ~P X  i^i  j )  =  j )
34 topontop 16983 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  (TopOn `  X
)  ->  j  e.  Top )
3534ad3antlr 712 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  (TopOn `  X
) )  /\  A. x  e.  X  (
( nei `  j
) `  { x } )  =  {
n  e.  ~P X  |  ( ( F `
 x )  i^i 
~P n )  =/=  (/) } )  /\  o  e.  ~P X )  -> 
j  e.  Top )
36 eltop2 17032 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  Top  ->  (
o  e.  j  <->  A. x  e.  o  E. z  e.  j  ( x  e.  z  /\  z  C_  o ) ) )
3735, 36syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  (TopOn `  X
) )  /\  A. x  e.  X  (
( nei `  j
) `  { x } )  =  {
n  e.  ~P X  |  ( ( F `
 x )  i^i 
~P n )  =/=  (/) } )  /\  o  e.  ~P X )  -> 
( o  e.  j  <->  A. x  e.  o  E. z  e.  j 
( x  e.  z  /\  z  C_  o
) ) )
38 elpwi 3799 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( o  e.  ~P X  -> 
o  C_  X )
39 ssralv 3399 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( o 
C_  X  ->  ( A. x  e.  X  ( ( nei `  j
) `  { x } )  =  {
n  e.  ~P X  |  ( ( F `
 x )  i^i 
~P n )  =/=  (/) }  ->  A. x  e.  o  ( ( nei `  j ) `  { x } )  =  { n  e. 
~P X  |  ( ( F `  x
)  i^i  ~P n
)  =/=  (/) } ) )
4038, 39syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( o  e.  ~P X  -> 
( A. x  e.  X  ( ( nei `  j ) `  {
x } )  =  { n  e.  ~P X  |  ( ( F `  x )  i^i  ~P n )  =/=  (/) }  ->  A. x  e.  o  ( ( nei `  j ) `  { x } )  =  { n  e. 
~P X  |  ( ( F `  x
)  i^i  ~P n
)  =/=  (/) } ) )
4140adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  (TopOn `  X )
)  /\  o  e.  ~P X )  ->  ( A. x  e.  X  ( ( nei `  j
) `  { x } )  =  {
n  e.  ~P X  |  ( ( F `
 x )  i^i 
~P n )  =/=  (/) }  ->  A. x  e.  o  ( ( nei `  j ) `  { x } )  =  { n  e. 
~P X  |  ( ( F `  x
)  i^i  ~P n
)  =/=  (/) } ) )
42 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  (TopOn `  X
) )  /\  o  e.  ~P X )  /\  ( x  e.  o  /\  ( ( nei `  j
) `  { x } )  =  {
n  e.  ~P X  |  ( ( F `
 x )  i^i 
~P n )  =/=  (/) } ) )  -> 
( ( nei `  j
) `  { x } )  =  {
n  e.  ~P X  |  ( ( F `
 x )  i^i 
~P n )  =/=  (/) } )
4342eleq2d 2502 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  (TopOn `  X
) )  /\  o  e.  ~P X )  /\  ( x  e.  o  /\  ( ( nei `  j
) `  { x } )  =  {
n  e.  ~P X  |  ( ( F `
 x )  i^i 
~P n )  =/=  (/) } ) )  -> 
( o  e.  ( ( nei `  j
) `  { x } )  <->  o  e.  { n  e.  ~P X  |  ( ( F `
 x )  i^i 
~P n )  =/=  (/) } ) )
4434ad3antlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  (TopOn `  X
) )  /\  o  e.  ~P X )  /\  ( x  e.  o  /\  ( ( nei `  j
) `  { x } )  =  {
n  e.  ~P X  |  ( ( F `
 x )  i^i 
~P n )  =/=  (/) } ) )  -> 
j  e.  Top )
4526adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  j  e.  (TopOn `  X ) )  ->  X  =  U. j )
4645sseq2d 3368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  j  e.  (TopOn `  X ) )  ->  ( o  C_  X 
<->  o  C_  U. j
) )
4746biimpa 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  (TopOn `  X )
)  /\  o  C_  X )  ->  o  C_ 
U. j )
4838, 47sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  (TopOn `  X )
)  /\  o  e.  ~P X )  ->  o  C_ 
U. j )
4948sselda 3340 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  (TopOn `  X
) )  /\  o  e.  ~P X )  /\  x  e.  o )  ->  x  e.  U. j
)
5049adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  (TopOn `  X
) )  /\  o  e.  ~P X )  /\  ( x  e.  o  /\  ( ( nei `  j
) `  { x } )  =  {
n  e.  ~P X  |  ( ( F `
 x )  i^i 
~P n )  =/=  (/) } ) )  ->  x  e.  U. j
)
5148adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  (TopOn `  X
) )  /\  o  e.  ~P X )  /\  ( x  e.  o  /\  ( ( nei `  j
) `  { x } )  =  {
n  e.  ~P X  |  ( ( F `
 x )  i^i 
~P n )  =/=  (/) } ) )  -> 
o  C_  U. j
)
52 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  U. j  =  U. j
5352isneip 17161 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( j  e.  Top  /\  x  e.  U. j
)  ->  ( o  e.  ( ( nei `  j
) `  { x } )  <->  ( o  C_ 
U. j  /\  E. z  e.  j  (
x  e.  z  /\  z  C_  o ) ) ) )
5453baibd 876 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( j  e.  Top  /\  x  e.  U. j
)  /\  o  C_  U. j )  ->  (
o  e.  ( ( nei `  j ) `
 { x }
)  <->  E. z  e.  j  ( x  e.  z  /\  z  C_  o
) ) )
5544, 50, 51, 54syl21anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  (TopOn `  X
) )  /\  o  e.  ~P X )  /\  ( x  e.  o  /\  ( ( nei `  j
) `  { x } )  =  {
n  e.  ~P X  |  ( ( F `
 x )  i^i 
~P n )  =/=  (/) } ) )  -> 
( o  e.  ( ( nei `  j
) `  { x } )  <->  E. z  e.  j  ( x  e.  z  /\  z  C_  o ) ) )
56 pweq 3794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  o  ->  ~P n  =  ~P o
)
5756ineq2d 3534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  o  ->  (
( F `  x
)  i^i  ~P n
)  =  ( ( F `  x )  i^i  ~P o ) )
5857neeq1d 2611 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  o  ->  (
( ( F `  x )  i^i  ~P n )  =/=  (/)  <->  ( ( F `  x )  i^i  ~P o )  =/=  (/) ) )
5958elrab3 3085 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( o  e.  ~P X  -> 
( o  e.  {
n  e.  ~P X  |  ( ( F `
 x )  i^i 
~P n )  =/=  (/) }  <->  ( ( F `
 x )  i^i 
~P o )  =/=  (/) ) )
6059ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  (TopOn `  X
) )  /\  o  e.  ~P X )  /\  ( x  e.  o  /\  ( ( nei `  j
) `  { x } )  =  {
n  e.  ~P X  |  ( ( F `
 x )  i^i 
~P n )  =/=  (/) } ) )  -> 
( o  e.  {
n  e.  ~P X  |  ( ( F `
 x )  i^i 
~P n )  =/=  (/) }  <->  ( ( F `
 x )  i^i 
~P o )  =/=  (/) ) )
6143, 55, 603bitr3d 275 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  (TopOn `  X
) )  /\  o  e.  ~P X )  /\  ( x  e.  o  /\  ( ( nei `  j
) `  { x } )  =  {
n  e.  ~P X  |  ( ( F `
 x )  i^i 
~P n )  =/=  (/) } ) )  -> 
( E. z  e.  j  ( x  e.  z  /\  z  C_  o )  <->  ( ( F `  x )  i^i  ~P o )  =/=  (/) ) )
6261expr 599 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  (TopOn `  X
) )  /\  o  e.  ~P X )  /\  x  e.  o )  ->  ( ( ( nei `  j ) `  {
x } )  =  { n  e.  ~P X  |  ( ( F `  x )  i^i  ~P n )  =/=  (/) }  ->  ( E. z  e.  j  (
x  e.  z  /\  z  C_  o )  <->  ( ( F `  x )  i^i  ~P o )  =/=  (/) ) ) )
6362ralimdva 2776 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  (TopOn `  X )
)  /\  o  e.  ~P X )  ->  ( A. x  e.  o 
( ( nei `  j
) `  { x } )  =  {
n  e.  ~P X  |  ( ( F `
 x )  i^i 
~P n )  =/=  (/) }  ->  A. x  e.  o  ( E. z  e.  j  (
x  e.  z  /\  z  C_  o )  <->  ( ( F `  x )  i^i  ~P o )  =/=  (/) ) ) )
6441, 63syld 42 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  (TopOn `  X )
)  /\  o  e.  ~P X )  ->  ( A. x  e.  X  ( ( nei `  j
) `  { x } )  =  {
n  e.  ~P X  |  ( ( F `
 x )  i^i 
~P n )  =/=  (/) }  ->  A. x  e.  o  ( E. z  e.  j  (
x  e.  z  /\  z  C_  o )  <->  ( ( F `  x )  i^i  ~P o )  =/=  (/) ) ) )
6564imp 419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  (TopOn `  X
) )  /\  o  e.  ~P X )  /\  A. x  e.  X  ( ( nei `  j
) `  { x } )  =  {
n  e.  ~P X  |  ( ( F `
 x )  i^i 
~P n )  =/=  (/) } )  ->  A. x  e.  o  ( E. z  e.  j  (
x  e.  z  /\  z  C_  o )  <->  ( ( F `  x )  i^i  ~P o )  =/=  (/) ) )
6665an32s 780 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  (TopOn `  X
) )  /\  A. x  e.  X  (
( nei `  j
) `  { x } )  =  {
n  e.  ~P X  |  ( ( F `
 x )  i^i 
~P n )  =/=  (/) } )  /\  o  e.  ~P X )  ->  A. x  e.  o 
( E. z  e.  j  ( x  e.  z  /\  z  C_  o )  <->  ( ( F `  x )  i^i  ~P o )  =/=  (/) ) )
67 ralbi 2834 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  o  ( E. z  e.  j 
( x  e.  z  /\  z  C_  o
)  <->  ( ( F `
 x )  i^i 
~P o )  =/=  (/) )  ->  ( A. x  e.  o  E. z  e.  j  (
x  e.  z  /\  z  C_  o )  <->  A. x  e.  o  ( ( F `  x )  i^i  ~P o )  =/=  (/) ) )
6866, 67syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  (TopOn `  X
) )  /\  A. x  e.  X  (
( nei `  j
) `  { x } )  =  {
n  e.  ~P X  |  ( ( F `
 x )  i^i 
~P n )  =/=  (/) } )  /\  o  e.  ~P X )  -> 
( A. x  e.  o  E. z  e.  j  ( x  e.  z  /\  z  C_  o )  <->  A. x  e.  o  ( ( F `  x )  i^i  ~P o )  =/=  (/) ) )
6937, 68bitrd 245 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  (TopOn `  X
) )  /\  A. x  e.  X  (
( nei `  j
) `  { x } )  =  {
n  e.  ~P X  |  ( ( F `
 x )  i^i 
~P n )  =/=  (/) } )  /\  o  e.  ~P X )  -> 
( o  e.  j  <->  A. x  e.  o 
( ( F `  x )  i^i  ~P o )  =/=  (/) ) )
7069rabbi2dva 3541 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  (TopOn `  X )
)  /\  A. x  e.  X  ( ( nei `  j ) `  { x } )  =  { n  e. 
~P X  |  ( ( F `  x
)  i^i  ~P n
)  =/=  (/) } )  ->  ( ~P X  i^i  j )  =  {
o  e.  ~P X  |  A. x  e.  o  ( ( F `  x )  i^i  ~P o )  =/=  (/) } )
7170, 4syl6eqr 2485 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  (TopOn `  X )
)  /\  A. x  e.  X  ( ( nei `  j ) `  { x } )  =  { n  e. 
~P X  |  ( ( F `  x
)  i^i  ~P n
)  =/=  (/) } )  ->  ( ~P X  i^i  j )  =  J )
7233, 71eqtr3d 2469 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  (TopOn `  X )
)  /\  A. x  e.  X  ( ( nei `  j ) `  { x } )  =  { n  e. 
~P X  |  ( ( F `  x
)  i^i  ~P n
)  =/=  (/) } )  ->  j  =  J )
7372expl 602 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( j  e.  (TopOn `  X )  /\  A. x  e.  X  ( ( nei `  j
) `  { x } )  =  {
n  e.  ~P X  |  ( ( F `
 x )  i^i 
~P n )  =/=  (/) } )  ->  j  =  J ) )
7473alrimiv 1641 . . 3  |-  ( ph  ->  A. j ( ( j  e.  (TopOn `  X )  /\  A. x  e.  X  (
( nei `  j
) `  { x } )  =  {
n  e.  ~P X  |  ( ( F `
 x )  i^i 
~P n )  =/=  (/) } )  ->  j  =  J ) )
75 eleq1 2495 . . . . 5  |-  ( j  =  J  ->  (
j  e.  (TopOn `  X )  <->  J  e.  (TopOn `  X ) ) )
76 fveq2 5720 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  J  ->  ( nei `  j )  =  ( nei `  J
) )
7776fveq1d 5722 . . . . . . 7  |-  ( j  =  J  ->  (
( nei `  j
) `  { x } )  =  ( ( nei `  J
) `  { x } ) )
7877eqeq1d 2443 . . . . . 6  |-  ( j  =  J  ->  (
( ( nei `  j
) `  { x } )  =  {
n  e.  ~P X  |  ( ( F `
 x )  i^i 
~P n )  =/=  (/) }  <->  ( ( nei `  J ) `  {
x } )  =  { n  e.  ~P X  |  ( ( F `  x )  i^i  ~P n )  =/=  (/) } ) )
7978ralbidv 2717 . . . . 5  |-  ( j  =  J  ->  ( A. x  e.  X  ( ( nei `  j
) `  { x } )  =  {
n  e.  ~P X  |  ( ( F `
 x )  i^i 
~P n )  =/=  (/) }  <->  A. x  e.  X  ( ( nei `  J
) `  { x } )  =  {
n  e.  ~P X  |  ( ( F `
 x )  i^i 
~P n )  =/=  (/) } ) )
8075, 79anbi12d 692 . . . 4  |-  ( j  =  J  ->  (
( j  e.  (TopOn `  X )  /\  A. x  e.  X  (
( nei `  j
) `  { x } )  =  {
n  e.  ~P X  |  ( ( F `
 x )  i^i 
~P n )  =/=  (/) } )  <->  ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A. x  e.  X  ( ( nei `  J
) `  { x } )  =  {
n  e.  ~P X  |  ( ( F `
 x )  i^i 
~P n )  =/=  (/) } ) ) )
8180eqeu 3097 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  A. x  e.  X  ( ( nei `  J ) `  { x } )  =  { n  e. 
~P X  |  ( ( F `  x
)  i^i  ~P n
)  =/=  (/) } )  /\  A. j ( ( j  e.  (TopOn `  X )  /\  A. x  e.  X  (
( nei `  j
) `  { x } )  =  {
n  e.  ~P X  |  ( ( F `
 x )  i^i 
~P n )  =/=  (/) } )  ->  j  =  J ) )  ->  E! j ( j  e.  (TopOn `  X )  /\  A. x  e.  X  ( ( nei `  j
) `  { x } )  =  {
n  e.  ~P X  |  ( ( F `
 x )  i^i 
~P n )  =/=  (/) } ) )
825, 5, 25, 74, 81syl121anc 1189 . 2  |-  ( ph  ->  E! j ( j  e.  (TopOn `  X
)  /\  A. x  e.  X  ( ( nei `  j ) `  { x } )  =  { n  e. 
~P X  |  ( ( F `  x
)  i^i  ~P n
)  =/=  (/) } ) )
83 df-reu 2704 . 2  |-  ( E! j  e.  (TopOn `  X ) A. x  e.  X  ( ( nei `  j ) `  { x } )  =  { n  e. 
~P X  |  ( ( F `  x
)  i^i  ~P n
)  =/=  (/) }  <->  E! j
( j  e.  (TopOn `  X )  /\  A. x  e.  X  (
( nei `  j
) `  { x } )  =  {
n  e.  ~P X  |  ( ( F `
 x )  i^i 
~P n )  =/=  (/) } ) )
8482, 83sylibr 204 1  |-  ( ph  ->  E! j  e.  (TopOn `  X ) A. x  e.  X  ( ( nei `  j ) `  { x } )  =  { n  e. 
~P X  |  ( ( F `  x
)  i^i  ~P n
)  =/=  (/) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   A.wal 1549    = wceq 1652    e. wcel 1725   E!weu 2280   {cab 2421    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698   E!wreu 2699   {crab 2701    \ cdif 3309    i^i cin 3311    C_ wss 3312   (/)c0 3620   ~Pcpw 3791   {csn 3806   U.cuni 4007   -->wf 5442   ` cfv 5446   Topctop 16950  TopOnctopon 16951   neicnei 17153
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-topgen 13659  df-top 16955  df-topon 16958  df-nei 17154
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