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Theorem neiin 26326
Description: Two neighborhoods intersect to form a neighborhood of the intersection. (Contributed by Jeff Hankins, 31-Aug-2009.)
Assertion
Ref Expression
neiin  |-  ( ( J  e.  Top  /\  M  e.  ( ( nei `  J ) `  A )  /\  N  e.  ( ( nei `  J
) `  B )
)  ->  ( M  i^i  N )  e.  ( ( nei `  J
) `  ( A  i^i  B ) ) )

Proof of Theorem neiin
StepHypRef Expression
1 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  M  e.  ( ( nei `  J ) `  A ) )  ->  M  e.  ( ( nei `  J ) `  A ) )
2 simpl 444 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  M  e.  ( ( nei `  J ) `  A ) )  ->  J  e.  Top )
3 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  U. J  =  U. J
43neiss2 17157 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  M  e.  ( ( nei `  J ) `  A ) )  ->  A  C_  U. J )
53neii1 17162 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  M  e.  ( ( nei `  J ) `  A ) )  ->  M  C_  U. J )
63neiint 17160 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  U. J  /\  M  C_  U. J )  ->  ( M  e.  ( ( nei `  J
) `  A )  <->  A 
C_  ( ( int `  J ) `  M
) ) )
72, 4, 5, 6syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  M  e.  ( ( nei `  J ) `  A ) )  -> 
( M  e.  ( ( nei `  J
) `  A )  <->  A 
C_  ( ( int `  J ) `  M
) ) )
81, 7mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  M  e.  ( ( nei `  J ) `  A ) )  ->  A  C_  ( ( int `  J ) `  M
) )
9 ssinss1 3561 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  ( ( int `  J ) `  M
)  ->  ( A  i^i  B )  C_  (
( int `  J
) `  M )
)
108, 9syl 16 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  M  e.  ( ( nei `  J ) `  A ) )  -> 
( A  i^i  B
)  C_  ( ( int `  J ) `  M ) )
11103adant3 977 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  M  e.  ( ( nei `  J ) `  A )  /\  N  e.  ( ( nei `  J
) `  B )
)  ->  ( A  i^i  B )  C_  (
( int `  J
) `  M )
)
12 inss2 3554 . . . . 5  |-  ( A  i^i  B )  C_  B
13 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `  B ) )  ->  N  e.  ( ( nei `  J ) `  B ) )
14 simpl 444 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `  B ) )  ->  J  e.  Top )
153neiss2 17157 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `  B ) )  ->  B  C_  U. J )
163neii1 17162 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `  B ) )  ->  N  C_  U. J )
173neiint 17160 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  C_  U. J  /\  N  C_  U. J )  ->  ( N  e.  ( ( nei `  J
) `  B )  <->  B 
C_  ( ( int `  J ) `  N
) ) )
1814, 15, 16, 17syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `  B ) )  -> 
( N  e.  ( ( nei `  J
) `  B )  <->  B 
C_  ( ( int `  J ) `  N
) ) )
1913, 18mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `  B ) )  ->  B  C_  ( ( int `  J ) `  N
) )
20193adant2 976 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  M  e.  ( ( nei `  J ) `  A )  /\  N  e.  ( ( nei `  J
) `  B )
)  ->  B  C_  (
( int `  J
) `  N )
)
2112, 20syl5ss 3351 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  M  e.  ( ( nei `  J ) `  A )  /\  N  e.  ( ( nei `  J
) `  B )
)  ->  ( A  i^i  B )  C_  (
( int `  J
) `  N )
)
2211, 21ssind 3557 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  M  e.  ( ( nei `  J ) `  A )  /\  N  e.  ( ( nei `  J
) `  B )
)  ->  ( A  i^i  B )  C_  (
( ( int `  J
) `  M )  i^i  ( ( int `  J
) `  N )
) )
23 simp1 957 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  M  e.  ( ( nei `  J ) `  A )  /\  N  e.  ( ( nei `  J
) `  B )
)  ->  J  e.  Top )
2453adant3 977 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  M  e.  ( ( nei `  J ) `  A )  /\  N  e.  ( ( nei `  J
) `  B )
)  ->  M  C_  U. J
)
25163adant2 976 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  M  e.  ( ( nei `  J ) `  A )  /\  N  e.  ( ( nei `  J
) `  B )
)  ->  N  C_  U. J
)
263ntrin 17117 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  M  C_  U. J  /\  N  C_  U. J )  ->  ( ( int `  J ) `  ( M  i^i  N ) )  =  ( ( ( int `  J ) `
 M )  i^i  ( ( int `  J
) `  N )
) )
2723, 24, 25, 26syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  M  e.  ( ( nei `  J ) `  A )  /\  N  e.  ( ( nei `  J
) `  B )
)  ->  ( ( int `  J ) `  ( M  i^i  N ) )  =  ( ( ( int `  J
) `  M )  i^i  ( ( int `  J
) `  N )
) )
2822, 27sseqtr4d 3377 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  M  e.  ( ( nei `  J ) `  A )  /\  N  e.  ( ( nei `  J
) `  B )
)  ->  ( A  i^i  B )  C_  (
( int `  J
) `  ( M  i^i  N ) ) )
29 ssinss1 3561 . . . . 5  |-  ( A 
C_  U. J  ->  ( A  i^i  B )  C_  U. J )
304, 29syl 16 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  M  e.  ( ( nei `  J ) `  A ) )  -> 
( A  i^i  B
)  C_  U. J )
31 ssinss1 3561 . . . . 5  |-  ( M 
C_  U. J  ->  ( M  i^i  N )  C_  U. J )
325, 31syl 16 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  M  e.  ( ( nei `  J ) `  A ) )  -> 
( M  i^i  N
)  C_  U. J )
333neiint 17160 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( A  i^i  B ) 
C_  U. J  /\  ( M  i^i  N )  C_  U. J )  ->  (
( M  i^i  N
)  e.  ( ( nei `  J ) `
 ( A  i^i  B ) )  <->  ( A  i^i  B )  C_  (
( int `  J
) `  ( M  i^i  N ) ) ) )
342, 30, 32, 33syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  M  e.  ( ( nei `  J ) `  A ) )  -> 
( ( M  i^i  N )  e.  ( ( nei `  J ) `
 ( A  i^i  B ) )  <->  ( A  i^i  B )  C_  (
( int `  J
) `  ( M  i^i  N ) ) ) )
35343adant3 977 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  M  e.  ( ( nei `  J ) `  A )  /\  N  e.  ( ( nei `  J
) `  B )
)  ->  ( ( M  i^i  N )  e.  ( ( nei `  J
) `  ( A  i^i  B ) )  <->  ( A  i^i  B )  C_  (
( int `  J
) `  ( M  i^i  N ) ) ) )
3628, 35mpbird 224 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  M  e.  ( ( nei `  J ) `  A )  /\  N  e.  ( ( nei `  J
) `  B )
)  ->  ( M  i^i  N )  e.  ( ( nei `  J
) `  ( A  i^i  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    i^i cin 3311    C_ wss 3312   U.cuni 4007   ` cfv 5446   Topctop 16950   intcnt 17073   neicnei 17153
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-top 16955  df-cld 17075  df-ntr 17076  df-cls 17077  df-nei 17154
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