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Theorem neiin 26353
Description: Two neighborhoods intersect to form a neighborhood of the intersection. (Contributed by Jeff Hankins, 31-Aug-2009.)
Assertion
Ref Expression
neiin  |-  ( ( J  e.  Top  /\  M  e.  ( ( nei `  J ) `  A )  /\  N  e.  ( ( nei `  J
) `  B )
)  ->  ( M  i^i  N )  e.  ( ( nei `  J
) `  ( A  i^i  B ) ) )

Proof of Theorem neiin
StepHypRef Expression
1 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  M  e.  ( ( nei `  J ) `  A ) )  ->  M  e.  ( ( nei `  J ) `  A ) )
2 simpl 443 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  M  e.  ( ( nei `  J ) `  A ) )  ->  J  e.  Top )
3 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  U. J  =  U. J
43neiss2 16854 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  M  e.  ( ( nei `  J ) `  A ) )  ->  A  C_  U. J )
53neii1 16859 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  M  e.  ( ( nei `  J ) `  A ) )  ->  M  C_  U. J )
63neiint 16857 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  U. J  /\  M  C_  U. J )  ->  ( M  e.  ( ( nei `  J
) `  A )  <->  A 
C_  ( ( int `  J ) `  M
) ) )
72, 4, 5, 6syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  M  e.  ( ( nei `  J ) `  A ) )  -> 
( M  e.  ( ( nei `  J
) `  A )  <->  A 
C_  ( ( int `  J ) `  M
) ) )
81, 7mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  M  e.  ( ( nei `  J ) `  A ) )  ->  A  C_  ( ( int `  J ) `  M
) )
9 ssinss1 3410 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  ( ( int `  J ) `  M
)  ->  ( A  i^i  B )  C_  (
( int `  J
) `  M )
)
108, 9syl 15 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  M  e.  ( ( nei `  J ) `  A ) )  -> 
( A  i^i  B
)  C_  ( ( int `  J ) `  M ) )
11103adant3 975 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  M  e.  ( ( nei `  J ) `  A )  /\  N  e.  ( ( nei `  J
) `  B )
)  ->  ( A  i^i  B )  C_  (
( int `  J
) `  M )
)
12 inss2 3403 . . . . 5  |-  ( A  i^i  B )  C_  B
13 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `  B ) )  ->  N  e.  ( ( nei `  J ) `  B ) )
14 simpl 443 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `  B ) )  ->  J  e.  Top )
153neiss2 16854 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `  B ) )  ->  B  C_  U. J )
163neii1 16859 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `  B ) )  ->  N  C_  U. J )
173neiint 16857 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  C_  U. J  /\  N  C_  U. J )  ->  ( N  e.  ( ( nei `  J
) `  B )  <->  B 
C_  ( ( int `  J ) `  N
) ) )
1814, 15, 16, 17syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `  B ) )  -> 
( N  e.  ( ( nei `  J
) `  B )  <->  B 
C_  ( ( int `  J ) `  N
) ) )
1913, 18mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `  B ) )  ->  B  C_  ( ( int `  J ) `  N
) )
20193adant2 974 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  M  e.  ( ( nei `  J ) `  A )  /\  N  e.  ( ( nei `  J
) `  B )
)  ->  B  C_  (
( int `  J
) `  N )
)
2112, 20syl5ss 3203 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  M  e.  ( ( nei `  J ) `  A )  /\  N  e.  ( ( nei `  J
) `  B )
)  ->  ( A  i^i  B )  C_  (
( int `  J
) `  N )
)
2211, 21ssind 3406 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  M  e.  ( ( nei `  J ) `  A )  /\  N  e.  ( ( nei `  J
) `  B )
)  ->  ( A  i^i  B )  C_  (
( ( int `  J
) `  M )  i^i  ( ( int `  J
) `  N )
) )
23 simp1 955 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  M  e.  ( ( nei `  J ) `  A )  /\  N  e.  ( ( nei `  J
) `  B )
)  ->  J  e.  Top )
2453adant3 975 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  M  e.  ( ( nei `  J ) `  A )  /\  N  e.  ( ( nei `  J
) `  B )
)  ->  M  C_  U. J
)
25163adant2 974 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  M  e.  ( ( nei `  J ) `  A )  /\  N  e.  ( ( nei `  J
) `  B )
)  ->  N  C_  U. J
)
263ntrin 16814 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  M  C_  U. J  /\  N  C_  U. J )  ->  ( ( int `  J ) `  ( M  i^i  N ) )  =  ( ( ( int `  J ) `
 M )  i^i  ( ( int `  J
) `  N )
) )
2723, 24, 25, 26syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  M  e.  ( ( nei `  J ) `  A )  /\  N  e.  ( ( nei `  J
) `  B )
)  ->  ( ( int `  J ) `  ( M  i^i  N ) )  =  ( ( ( int `  J
) `  M )  i^i  ( ( int `  J
) `  N )
) )
2822, 27sseqtr4d 3228 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  M  e.  ( ( nei `  J ) `  A )  /\  N  e.  ( ( nei `  J
) `  B )
)  ->  ( A  i^i  B )  C_  (
( int `  J
) `  ( M  i^i  N ) ) )
29 ssinss1 3410 . . . . 5  |-  ( A 
C_  U. J  ->  ( A  i^i  B )  C_  U. J )
304, 29syl 15 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  M  e.  ( ( nei `  J ) `  A ) )  -> 
( A  i^i  B
)  C_  U. J )
31 ssinss1 3410 . . . . 5  |-  ( M 
C_  U. J  ->  ( M  i^i  N )  C_  U. J )
325, 31syl 15 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  M  e.  ( ( nei `  J ) `  A ) )  -> 
( M  i^i  N
)  C_  U. J )
333neiint 16857 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( A  i^i  B ) 
C_  U. J  /\  ( M  i^i  N )  C_  U. J )  ->  (
( M  i^i  N
)  e.  ( ( nei `  J ) `
 ( A  i^i  B ) )  <->  ( A  i^i  B )  C_  (
( int `  J
) `  ( M  i^i  N ) ) ) )
342, 30, 32, 33syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  M  e.  ( ( nei `  J ) `  A ) )  -> 
( ( M  i^i  N )  e.  ( ( nei `  J ) `
 ( A  i^i  B ) )  <->  ( A  i^i  B )  C_  (
( int `  J
) `  ( M  i^i  N ) ) ) )
35343adant3 975 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  M  e.  ( ( nei `  J ) `  A )  /\  N  e.  ( ( nei `  J
) `  B )
)  ->  ( ( M  i^i  N )  e.  ( ( nei `  J
) `  ( A  i^i  B ) )  <->  ( A  i^i  B )  C_  (
( int `  J
) `  ( M  i^i  N ) ) ) )
3628, 35mpbird 223 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  M  e.  ( ( nei `  J ) `  A )  /\  N  e.  ( ( nei `  J
) `  B )
)  ->  ( M  i^i  N )  e.  ( ( nei `  J
) `  ( A  i^i  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    i^i cin 3164    C_ wss 3165   U.cuni 3843   ` cfv 5271   Topctop 16647   intcnt 16770   neicnei 16850
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-top 16652  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851
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