MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  neindisj2 Structured version   Unicode version

Theorem neindisj2 17179
Description: A point  P belongs to the closure of a set  S iff every neighborhood of  P meets  S. (Contributed by FL, 15-Sep-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
tpnei.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
neindisj2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  P  e.  X )  ->  ( P  e.  ( ( cls `  J ) `  S )  <->  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) ( n  i^i  S )  =/=  (/) ) )
Distinct variable groups:    n, J    P, n    S, n    n, X

Proof of Theorem neindisj2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tpnei.1 . . 3  |-  X  = 
U. J
21elcls 17129 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  P  e.  X )  ->  ( P  e.  ( ( cls `  J ) `  S )  <->  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) ) )
31isneip 17161 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  X )  ->  ( n  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } )  <->  ( n  C_  X  /\  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  x  C_  n ) ) ) )
4 r19.29r 2839 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  x  C_  n )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) )  ->  E. x  e.  J  ( ( P  e.  x  /\  x  C_  n )  /\  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) ) )
5 pm3.35 571 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( P  e.  x  /\  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S
)  =/=  (/) ) )  ->  ( x  i^i 
S )  =/=  (/) )
6 ssrin 3558 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x 
C_  n  ->  (
x  i^i  S )  C_  ( n  i^i  S
) )
7 sseq2 3362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  i^i  S )  =  (/)  ->  ( ( x  i^i  S ) 
C_  ( n  i^i 
S )  <->  ( x  i^i  S )  C_  (/) ) )
8 ss0 3650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  i^i  S ) 
C_  (/)  ->  ( x  i^i  S )  =  (/) )
97, 8syl6bi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  i^i  S )  =  (/)  ->  ( ( x  i^i  S ) 
C_  ( n  i^i 
S )  ->  (
x  i^i  S )  =  (/) ) )
106, 9syl5com 28 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x 
C_  n  ->  (
( n  i^i  S
)  =  (/)  ->  (
x  i^i  S )  =  (/) ) )
1110necon3d 2636 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x 
C_  n  ->  (
( x  i^i  S
)  =/=  (/)  ->  (
n  i^i  S )  =/=  (/) ) )
125, 11syl5com 28 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( P  e.  x  /\  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S
)  =/=  (/) ) )  ->  ( x  C_  n  ->  ( n  i^i 
S )  =/=  (/) ) )
1312ex 424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  x  ->  (
( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S
)  =/=  (/) )  -> 
( x  C_  n  ->  ( n  i^i  S
)  =/=  (/) ) ) )
1413com23 74 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  x  ->  (
x  C_  n  ->  ( ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S
)  =/=  (/) )  -> 
( n  i^i  S
)  =/=  (/) ) ) )
1514imp31 422 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e.  x  /\  x  C_  n )  /\  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) )  ->  ( n  i^i 
S )  =/=  (/) )
1615rexlimivw 2818 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. x  e.  J  ( ( P  e.  x  /\  x  C_  n )  /\  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) )  ->  ( n  i^i 
S )  =/=  (/) )
174, 16syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  x  C_  n )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) )  ->  ( n  i^i 
S )  =/=  (/) )
1817ex 424 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  x  C_  n )  -> 
( A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) )  -> 
( n  i^i  S
)  =/=  (/) ) )
1918adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  C_  X  /\  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  x  C_  n ) )  ->  ( A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) )  ->  ( n  i^i  S )  =/=  (/) ) )
203, 19syl6bi 220 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  X )  ->  ( n  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } )  ->  ( A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S
)  =/=  (/) )  -> 
( n  i^i  S
)  =/=  (/) ) ) )
21203adant2 976 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  P  e.  X )  ->  (
n  e.  ( ( nei `  J ) `
 { P }
)  ->  ( A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) )  ->  (
n  i^i  S )  =/=  (/) ) ) )
2221com23 74 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  P  e.  X )  ->  ( A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S
)  =/=  (/) )  -> 
( n  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } )  ->  (
n  i^i  S )  =/=  (/) ) ) )
2322imp 419 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  P  e.  X )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S
)  =/=  (/) ) )  ->  ( n  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } )  ->  (
n  i^i  S )  =/=  (/) ) )
2423ralrimiv 2780 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  P  e.  X )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S
)  =/=  (/) ) )  ->  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) ( n  i^i  S )  =/=  (/) )
25 opnneip 17175 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J  /\  P  e.  x )  ->  x  e.  ( ( nei `  J ) `
 { P }
) )
26 ineq1 3527 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  x  ->  (
n  i^i  S )  =  ( x  i^i 
S ) )
2726neeq1d 2611 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  x  ->  (
( n  i^i  S
)  =/=  (/)  <->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) )
2827rspccva 3043 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) ( n  i^i  S )  =/=  (/)  /\  x  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) )  -> 
( x  i^i  S
)  =/=  (/) )
29 idd 22 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( P  e.  X  /\  ( J  e.  Top  /\  x  e.  J  /\  P  e.  x )  /\  S  C_  X )  ->  ( ( x  i^i  S )  =/=  (/)  ->  ( x  i^i 
S )  =/=  (/) ) )
30293exp 1152 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  X  ->  (
( J  e.  Top  /\  x  e.  J  /\  P  e.  x )  ->  ( S  C_  X  ->  ( ( x  i^i 
S )  =/=  (/)  ->  (
x  i^i  S )  =/=  (/) ) ) ) )
3130com14 84 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  i^i  S )  =/=  (/)  ->  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J  /\  P  e.  x )  ->  ( S  C_  X  ->  ( P  e.  X  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) ) ) )
3228, 31syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) ( n  i^i  S )  =/=  (/)  /\  x  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) )  -> 
( ( J  e. 
Top  /\  x  e.  J  /\  P  e.  x
)  ->  ( S  C_  X  ->  ( P  e.  X  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) ) ) )
3332ex 424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. n  e.  ( ( nei `  J ) `  { P } ) ( n  i^i  S )  =/=  (/)  ->  ( x  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } )  ->  (
( J  e.  Top  /\  x  e.  J  /\  P  e.  x )  ->  ( S  C_  X  ->  ( P  e.  X  ->  ( x  i^i  S
)  =/=  (/) ) ) ) ) )
3433com3l 77 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ( nei `  J ) `  { P } )  ->  (
( J  e.  Top  /\  x  e.  J  /\  P  e.  x )  ->  ( A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) ( n  i^i  S )  =/=  (/)  ->  ( S  C_  X  ->  ( P  e.  X  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) ) ) ) )
3525, 34mpcom 34 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J  /\  P  e.  x )  ->  ( A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) ( n  i^i  S )  =/=  (/)  ->  ( S  C_  X  ->  ( P  e.  X  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) ) ) )
36353expia 1155 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  ->  ( P  e.  x  ->  ( A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) ( n  i^i  S )  =/=  (/)  ->  ( S  C_  X  ->  ( P  e.  X  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) ) ) ) )
3736com25 87 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  ->  ( P  e.  X  ->  ( A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) ( n  i^i  S )  =/=  (/)  ->  ( S  C_  X  ->  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) ) ) ) )
3837ex 424 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  (
x  e.  J  -> 
( P  e.  X  ->  ( A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) ( n  i^i  S )  =/=  (/)  ->  ( S  C_  X  ->  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) ) ) ) ) )
3938com25 87 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  ( S  C_  X  ->  ( P  e.  X  ->  ( A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) ( n  i^i  S )  =/=  (/)  ->  ( x  e.  J  ->  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) ) ) ) ) )
40393imp1 1166 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  P  e.  X )  /\  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) ( n  i^i  S )  =/=  (/) )  ->  ( x  e.  J  ->  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) ) )
4140ralrimiv 2780 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  P  e.  X )  /\  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) ( n  i^i  S )  =/=  (/) )  ->  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) )
4224, 41impbida 806 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  P  e.  X )  ->  ( A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S
)  =/=  (/) )  <->  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) ( n  i^i  S )  =/=  (/) ) )
432, 42bitrd 245 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  P  e.  X )  ->  ( P  e.  ( ( cls `  J ) `  S )  <->  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) ( n  i^i  S )  =/=  (/) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698    i^i cin 3311    C_ wss 3312   (/)c0 3620   {csn 3806   U.cuni 4007   ` cfv 5446   Topctop 16950   clsccl 17074   neicnei 17153
This theorem is referenced by:  islp2  17201  trnei  17916  flimclsi  18002
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-top 16955  df-cld 17075  df-ntr 17076  df-cls 17077  df-nei 17154
  Copyright terms: Public domain W3C validator