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Theorem neindisj2 16876
Description: A point  P belongs to the closure of a set  S iff every neighborhood of  P meets  S. (Contributed by FL, 15-Sep-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
tpnei.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
neindisj2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  P  e.  X )  ->  ( P  e.  ( ( cls `  J ) `  S )  <->  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) ( n  i^i  S )  =/=  (/) ) )
Distinct variable groups:    n, J    P, n    S, n    n, X

Proof of Theorem neindisj2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tpnei.1 . . 3  |-  X  = 
U. J
21elcls 16826 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  P  e.  X )  ->  ( P  e.  ( ( cls `  J ) `  S )  <->  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) ) )
31isneip 16858 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  X )  ->  ( n  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } )  <->  ( n  C_  X  /\  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  x  C_  n ) ) ) )
4 r19.29r 2697 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  x  C_  n )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) )  ->  E. x  e.  J  ( ( P  e.  x  /\  x  C_  n )  /\  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) ) )
5 pm3.35 570 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( P  e.  x  /\  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S
)  =/=  (/) ) )  ->  ( x  i^i 
S )  =/=  (/) )
6 ssrin 3407 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x 
C_  n  ->  (
x  i^i  S )  C_  ( n  i^i  S
) )
7 sseq2 3213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  i^i  S )  =  (/)  ->  ( ( x  i^i  S ) 
C_  ( n  i^i 
S )  <->  ( x  i^i  S )  C_  (/) ) )
8 ss0 3498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  i^i  S ) 
C_  (/)  ->  ( x  i^i  S )  =  (/) )
97, 8syl6bi 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  i^i  S )  =  (/)  ->  ( ( x  i^i  S ) 
C_  ( n  i^i 
S )  ->  (
x  i^i  S )  =  (/) ) )
106, 9syl5com 26 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x 
C_  n  ->  (
( n  i^i  S
)  =  (/)  ->  (
x  i^i  S )  =  (/) ) )
1110necon3d 2497 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x 
C_  n  ->  (
( x  i^i  S
)  =/=  (/)  ->  (
n  i^i  S )  =/=  (/) ) )
125, 11syl5com 26 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( P  e.  x  /\  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S
)  =/=  (/) ) )  ->  ( x  C_  n  ->  ( n  i^i 
S )  =/=  (/) ) )
1312ex 423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  x  ->  (
( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S
)  =/=  (/) )  -> 
( x  C_  n  ->  ( n  i^i  S
)  =/=  (/) ) ) )
1413com23 72 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  x  ->  (
x  C_  n  ->  ( ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S
)  =/=  (/) )  -> 
( n  i^i  S
)  =/=  (/) ) ) )
1514imp31 421 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e.  x  /\  x  C_  n )  /\  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) )  ->  ( n  i^i 
S )  =/=  (/) )
1615rexlimivw 2676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. x  e.  J  ( ( P  e.  x  /\  x  C_  n )  /\  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) )  ->  ( n  i^i 
S )  =/=  (/) )
174, 16syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  x  C_  n )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) )  ->  ( n  i^i 
S )  =/=  (/) )
1817ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  x  C_  n )  -> 
( A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) )  -> 
( n  i^i  S
)  =/=  (/) ) )
1918adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  C_  X  /\  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  x  C_  n ) )  ->  ( A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) )  ->  ( n  i^i  S )  =/=  (/) ) )
203, 19syl6bi 219 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  X )  ->  ( n  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } )  ->  ( A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S
)  =/=  (/) )  -> 
( n  i^i  S
)  =/=  (/) ) ) )
21203adant2 974 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  P  e.  X )  ->  (
n  e.  ( ( nei `  J ) `
 { P }
)  ->  ( A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) )  ->  (
n  i^i  S )  =/=  (/) ) ) )
2221com23 72 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  P  e.  X )  ->  ( A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S
)  =/=  (/) )  -> 
( n  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } )  ->  (
n  i^i  S )  =/=  (/) ) ) )
2322imp 418 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  P  e.  X )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S
)  =/=  (/) ) )  ->  ( n  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } )  ->  (
n  i^i  S )  =/=  (/) ) )
2423ralrimiv 2638 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  P  e.  X )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S
)  =/=  (/) ) )  ->  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) ( n  i^i  S )  =/=  (/) )
25 opnneip 16872 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J  /\  P  e.  x )  ->  x  e.  ( ( nei `  J ) `
 { P }
) )
26 ineq1 3376 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  x  ->  (
n  i^i  S )  =  ( x  i^i 
S ) )
2726neeq1d 2472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  x  ->  (
( n  i^i  S
)  =/=  (/)  <->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) )
2827rspccva 2896 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) ( n  i^i  S )  =/=  (/)  /\  x  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) )  -> 
( x  i^i  S
)  =/=  (/) )
29 idd 21 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( P  e.  X  /\  ( J  e.  Top  /\  x  e.  J  /\  P  e.  x )  /\  S  C_  X )  ->  ( ( x  i^i  S )  =/=  (/)  ->  ( x  i^i 
S )  =/=  (/) ) )
30293exp 1150 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  X  ->  (
( J  e.  Top  /\  x  e.  J  /\  P  e.  x )  ->  ( S  C_  X  ->  ( ( x  i^i 
S )  =/=  (/)  ->  (
x  i^i  S )  =/=  (/) ) ) ) )
3130com14 82 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  i^i  S )  =/=  (/)  ->  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J  /\  P  e.  x )  ->  ( S  C_  X  ->  ( P  e.  X  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) ) ) )
3228, 31syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) ( n  i^i  S )  =/=  (/)  /\  x  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) )  -> 
( ( J  e. 
Top  /\  x  e.  J  /\  P  e.  x
)  ->  ( S  C_  X  ->  ( P  e.  X  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) ) ) )
3332ex 423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. n  e.  ( ( nei `  J ) `  { P } ) ( n  i^i  S )  =/=  (/)  ->  ( x  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } )  ->  (
( J  e.  Top  /\  x  e.  J  /\  P  e.  x )  ->  ( S  C_  X  ->  ( P  e.  X  ->  ( x  i^i  S
)  =/=  (/) ) ) ) ) )
3433com3l 75 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ( nei `  J ) `  { P } )  ->  (
( J  e.  Top  /\  x  e.  J  /\  P  e.  x )  ->  ( A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) ( n  i^i  S )  =/=  (/)  ->  ( S  C_  X  ->  ( P  e.  X  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) ) ) ) )
3525, 34mpcom 32 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J  /\  P  e.  x )  ->  ( A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) ( n  i^i  S )  =/=  (/)  ->  ( S  C_  X  ->  ( P  e.  X  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) ) ) )
36353expia 1153 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  ->  ( P  e.  x  ->  ( A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) ( n  i^i  S )  =/=  (/)  ->  ( S  C_  X  ->  ( P  e.  X  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) ) ) ) )
3736com25 85 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  ->  ( P  e.  X  ->  ( A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) ( n  i^i  S )  =/=  (/)  ->  ( S  C_  X  ->  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) ) ) ) )
3837ex 423 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  (
x  e.  J  -> 
( P  e.  X  ->  ( A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) ( n  i^i  S )  =/=  (/)  ->  ( S  C_  X  ->  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) ) ) ) ) )
3938com25 85 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  ( S  C_  X  ->  ( P  e.  X  ->  ( A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) ( n  i^i  S )  =/=  (/)  ->  ( x  e.  J  ->  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) ) ) ) ) )
40393imp1 1164 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  P  e.  X )  /\  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) ( n  i^i  S )  =/=  (/) )  ->  ( x  e.  J  ->  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) ) )
4140ralrimiv 2638 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  P  e.  X )  /\  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) ( n  i^i  S )  =/=  (/) )  ->  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) )
4224, 41impbida 805 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  P  e.  X )  ->  ( A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S
)  =/=  (/) )  <->  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) ( n  i^i  S )  =/=  (/) ) )
432, 42bitrd 244 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  P  e.  X )  ->  ( P  e.  ( ( cls `  J ) `  S )  <->  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) ( n  i^i  S )  =/=  (/) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   {csn 3653   U.cuni 3843   ` cfv 5271   Topctop 16647   clsccl 16771   neicnei 16850
This theorem is referenced by:  islp2  16893  trnei  17603  flimclsi  17689  islimrs4  25685
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-top 16652  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851
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