Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  neipcfilu Structured version   Unicode version

Theorem neipcfilu 18318
 Description: In an uniform space, a neighboring filter is a Cauchy filter base. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
neipcfilu.x
neipcfilu.j
neipcfilu.u UnifSt
Assertion
Ref Expression
neipcfilu UnifSp CauFilu

Proof of Theorem neipcfilu
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 958 . . . . 5 UnifSp
2 neipcfilu.x . . . . . 6
3 neipcfilu.j . . . . . 6
42, 3istps 16993 . . . . 5 TopOn
51, 4sylib 189 . . . 4 UnifSp TopOn
6 simp3 959 . . . . 5 UnifSp
76snssd 3935 . . . 4 UnifSp
8 snnzg 3913 . . . . 5
96, 8syl 16 . . . 4 UnifSp
10 neifil 17904 . . . 4 TopOn
115, 7, 9, 10syl3anc 1184 . . 3 UnifSp
12 filfbas 17872 . . 3
1311, 12syl 16 . 2 UnifSp
14 eqid 2435 . . . . . . . . . 10
15 imaeq1 5190 . . . . . . . . . . . 12
1615eqeq2d 2446 . . . . . . . . . . 11
1716rspcev 3044 . . . . . . . . . 10
1814, 17mpan2 653 . . . . . . . . 9
19 vex 2951 . . . . . . . . . 10
20 imaexg 5209 . . . . . . . . . 10
21 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11
2221elrnmpt 5109 . . . . . . . . . 10
2319, 20, 22mp2b 10 . . . . . . . . 9
2418, 23sylibr 204 . . . . . . . 8
2524ad2antlr 708 . . . . . . 7 UnifSp
26 neipcfilu.u . . . . . . . . . . . . 13 UnifSt
272, 26, 3isusp 18283 . . . . . . . . . . . 12 UnifSp UnifOn unifTop
2827simplbi 447 . . . . . . . . . . 11 UnifSp UnifOn
29283ad2ant1 978 . . . . . . . . . 10 UnifSp UnifOn
30 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11 unifTop unifTop
3130utopsnneip 18270 . . . . . . . . . 10 UnifOn unifTop
3229, 6, 31syl2anc 643 . . . . . . . . 9 UnifSp unifTop
3332eleq2d 2502 . . . . . . . 8 UnifSp unifTop
3433ad3antrrr 711 . . . . . . 7 UnifSp unifTop
3525, 34mpbird 224 . . . . . 6 UnifSp unifTop
36 simpl1 960 . . . . . . . . . 10 UnifSp UnifSp
37363anassrs 1175 . . . . . . . . 9 UnifSp UnifSp
3827simprbi 451 . . . . . . . . 9 UnifSp unifTop
3937, 38syl 16 . . . . . . . 8 UnifSp unifTop
4039fveq2d 5724 . . . . . . 7 UnifSp unifTop
4140fveq1d 5722 . . . . . 6 UnifSp unifTop
4235, 41eleqtrrd 2512 . . . . 5 UnifSp
43 simpr 448 . . . . 5 UnifSp
44 id 20 . . . . . . . 8
4544, 44xpeq12d 4895 . . . . . . 7
4645sseq1d 3367 . . . . . 6
4746rspcev 3044 . . . . 5
4842, 43, 47syl2anc 643 . . . 4 UnifSp
4929adantr 452 . . . . 5 UnifSp UnifOn
506adantr 452 . . . . 5 UnifSp
51 simpr 448 . . . . 5 UnifSp
52 simpll1 996 . . . . . . . 8 UnifOn UnifOn
53 simplr 732 . . . . . . . 8 UnifOn
54 ustexsym 18237 . . . . . . . 8 UnifOn
5552, 53, 54syl2anc 643 . . . . . . 7 UnifOn
5652ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12 UnifOn UnifOn
57 simplr 732 . . . . . . . . . . . 12 UnifOn
58 ustssxp 18226 . . . . . . . . . . . 12 UnifOn
5956, 57, 58syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11 UnifOn
60 simpll2 997 . . . . . . . . . . . 12 UnifOn
61603anassrs 1175 . . . . . . . . . . 11 UnifOn
62 ustneism 18245 . . . . . . . . . . 11
6359, 61, 62syl2anc 643 . . . . . . . . . 10 UnifOn
64 simprl 733 . . . . . . . . . . . 12 UnifOn
6564coeq2d 5027 . . . . . . . . . . 11 UnifOn
66 coss1 5020 . . . . . . . . . . . . . 14
67 coss2 5021 . . . . . . . . . . . . . 14
6866, 67sstrd 3350 . . . . . . . . . . . . 13
6968ad2antll 710 . . . . . . . . . . . 12 UnifOn
70 simpllr 736 . . . . . . . . . . . 12 UnifOn
7169, 70sstrd 3350 . . . . . . . . . . 11 UnifOn
7265, 71eqsstrd 3374 . . . . . . . . . 10 UnifOn
7363, 72sstrd 3350 . . . . . . . . 9 UnifOn
7473ex 424 . . . . . . . 8 UnifOn
7574reximdva 2810 . . . . . . 7 UnifOn
7655, 75mpd 15 . . . . . 6 UnifOn
77 ustexhalf 18232 . . . . . . 7 UnifOn
78773adant2 976 . . . . . 6 UnifOn
7976, 78r19.29a 2842 . . . . 5 UnifOn
8049, 50, 51, 79syl3anc 1184 . . . 4 UnifSp
8148, 80r19.29a 2842 . . 3 UnifSp
8281ralrimiva 2781 . 2 UnifSp
83 iscfilu 18310 . . 3 UnifOn CauFilu
8429, 83syl 16 . 2 UnifSp CauFilu
8513, 82, 84mpbir2and 889 1 UnifSp CauFilu
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  wral 2697  wrex 2698  cvv 2948   wss 3312  c0 3620  csn 3806   cmpt 4258   cxp 4868  ccnv 4869   crn 4871  cima 4873   ccom 4874  cfv 5446  cbs 13461  ctopn 13641  cfbas 16681  TopOnctopon 16951  ctps 16953  cnei 17153  cfil 17869  UnifOncust 18221  unifTopcutop 18252  UnifStcuss 18275  UnifSpcusp 18276  CauFiluccfilu 18308 This theorem is referenced by:  ucnextcn  18326 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-fin 7105  df-fi 7408  df-fbas 16691  df-top 16955  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-nei 17154  df-fil 17870  df-ust 18222  df-utop 18253  df-usp 18279  df-cfilu 18309
 Copyright terms: Public domain W3C validator