Theorem neissex 7738

Description: For any neighborhood N of S, there is a neighborhood x of S such that N is a neighborhood of all subsets of x. Based on Bourbaki TG I.3 Viv. (Contributed by FL, 2-Oct-2006.)

Assertion

Ref	Expression
neissex	|- ((J e. Top /\ N e. ((nei` J)` S)) -> E.x e. ((nei` J)` S)A.y(y (_ x -> N e. ((nei` J)` y)))

Distinct variable groups:   x,y,J   x,N,y   x,S,y

Proof of Theorem neissex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neii2 7722	. 2 |- ((J e. Top /\ N e. ((nei` J)` S)) -> E.x e. J (S (_ x /\ x (_ N))
2		opnneiss 7732	. . . . . . . 8 |- ((J e. Top /\ x e. J /\ S (_ x) -> x e. ((nei` J)` S))
3	2	3expb 834	. . . . . . 7 |- ((J e. Top /\ (x e. J /\ S (_ x)) -> x e. ((nei` J)` S))
4	3	adantrrr 403	. . . . . 6 |- ((J e. Top /\ (x e. J /\ (S (_ x /\ x (_ N))) -> x e. ((nei` J)` S))
5	4	adantlr 393	. . . . 5 |- (((J e. Top /\ N e. ((nei` J)` S)) /\ (x e. J /\ (S (_ x /\ x (_ N))) -> x e. ((nei` J)` S))
6		neiss 7723	. . . . . . . . 9 |- ((J e. Top /\ N e. ((nei` J)` x) /\ y (_ x) -> N e. ((nei` J)` y))
7		pm3.26 319	. . . . . . . . . 10 |- ((J e. Top /\ N e. ((nei` J)` S)) -> J e. Top)
8	7	ad2antrr 404	. . . . . . . . 9 |- ((((J e. Top /\ N e. ((nei` J)` S)) /\ (x e. J /\ x (_ N)) /\ y (_ x) -> J e. Top)
9		eqid 1475	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U.J = U.J
10	9	opnssneib 7729	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((J e. Top /\ x e. J /\ N (_ U.J) -> (x (_ N <-> N e. ((nei` J)` x)))
11		simpll 412	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((J e. Top /\ N e. ((nei` J)` S)) /\ x e. J) -> J e. Top)
12		pm3.27 323	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((J e. Top /\ N e. ((nei` J)` S)) /\ x e. J) -> x e. J)
13	9	neii1 7721	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((J e. Top /\ N e. ((nei` J)` S)) -> N (_ U.J)
14	13	adantr 389	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((J e. Top /\ N e. ((nei` J)` S)) /\ x e. J) -> N (_ U.J)
15	10, 11, 12, 14	syl3anc 858	. . . . . . . . . . . 12 |- (((J e. Top /\ N e. ((nei` J)` S)) /\ x e. J) -> (x (_ N <-> N e. ((nei` J)` x)))
16	15	biimpa 416	. . . . . . . . . . 11 |- ((((J e. Top /\ N e. ((nei` J)` S)) /\ x e. J) /\ x (_ N) -> N e. ((nei` J)` x))
17	16	anasss 440	. . . . . . . . . 10 |- (((J e. Top /\ N e. ((nei` J)` S)) /\ (x e. J /\ x (_ N)) -> N e. ((nei` J)` x))
18	17	adantr 389	. . . . . . . . 9 |- ((((J e. Top /\ N e. ((nei` J)` S)) /\ (x e. J /\ x (_ N)) /\ y (_ x) -> N e. ((nei` J)` x))
19		pm3.27 323	. . . . . . . . 9 |- ((((J e. Top /\ N e. ((nei` J)` S)) /\ (x e. J /\ x (_ N)) /\ y (_ x) -> y (_ x)
20	6, 8, 18, 19	syl3anc 858	. . . . . . . 8 |- ((((J e. Top /\ N e. ((nei` J)` S)) /\ (x e. J /\ x (_ N)) /\ y (_ x) -> N e. ((nei` J)` y))
21	20	ex 373	. . . . . . 7 |- (((J e. Top /\ N e. ((nei` J)` S)) /\ (x e. J /\ x (_ N)) -> (y (_ x -> N e. ((nei` J)` y)))
22	21	adantrrl 402	. . . . . 6 |- (((J e. Top /\ N e. ((nei` J)` S)) /\ (x e. J /\ (S (_ x /\ x (_ N))) -> (y (_ x -> N e. ((nei` J)` y)))
23	22	19.21aiv 1286	. . . . 5 |- (((J e. Top /\ N e. ((nei` J)` S)) /\ (x e. J /\ (S (_ x /\ x (_ N))) -> A.y(y (_ x -> N e. ((nei` J)` y)))
24	5, 23	jca 288	. . . 4 |- (((J e. Top /\ N e. ((nei` J)` S)) /\ (x e. J /\ (S (_ x /\ x (_ N))) -> (x e. ((nei` J)` S) /\ A.y(y (_ x -> N e. ((nei` J)` y))))
25	24	ex 373	. . 3 |- ((J e. Top /\ N e. ((nei` J)` S)) -> ((x e. J /\ (S (_ x /\ x (_ N)) -> (x e. ((nei` J)` S) /\ A.y(y (_ x -> N e. ((nei` J)` y)))))
26	25	r19.22dv2 1736	. 2 |- ((J e. Top /\ N e. ((nei` J)` S)) -> (E.x e. J (S (_ x /\ x (_ N) -> E.x e. ((nei` J)` S)A.y(y (_ x -> N e. ((nei` J)` y))))
27	1, 26	mpd 26	1 |- ((J e. Top /\ N e. ((nei` J)` S)) -> E.x e. ((nei` J)` S)A.y(y (_ x -> N e. ((nei` J)` y)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 954   e. wcel 958  E.wrex 1646   (_ wss 2047  U.cuni 2503  ` cfv 3182  Topctop 7588  neicnei 7712

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-fv 3198  df-nei 7713

Copyright terms: Public domain