Theorem neival 7714

Description: The set of neighborhoods of a subset of the base set of a topology.

Hypothesis

Ref	Expression
neifval.1	|- X = U.J

Assertion

Ref	Expression
neival	|- ((J e. Top /\ S (_ X) -> ((nei` J)` S) = {v | (v (_ X /\ E.g e. J (S (_ g /\ g (_ v))})

Distinct variable groups:   v,g,J   S,g,v   g,X,v

Proof of Theorem neival

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neifval.1	. . . . . 6 |- X = U.J
2	1	neifval 7711	. . . . 5 |- (J e. Top -> (nei` J) = {<.z, w>. | (z (_ X /\ w = {v | (v (_ X /\ E.g e. J (z (_ g /\ g (_ v))})})
3	2	adantr 391	. . . 4 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> (nei` J) = {<.z, w>. | (z (_ X /\ w = {v | (v (_ X /\ E.g e. J (z (_ g /\ g (_ v))})})
4		visset 1816	. . . . . . 7 |- z e. V
5	4	elpw 2408	. . . . . 6 |- (z e. P~X <-> z (_ X)
6	5	anbi1i 483	. . . . 5 |- ((z e. P~X /\ w = {v | (v (_ X /\ E.g e. J (z (_ g /\ g (_ v))}) <-> (z (_ X /\ w = {v | (v (_ X /\ E.g e. J (z (_ g /\ g (_ v))}))
7	6	opabbii 2676	. . . 4 |- {<.z, w>. | (z e. P~X /\ w = {v | (v (_ X /\ E.g e. J (z (_ g /\ g (_ v))})} = {<.z, w>. | (z (_ X /\ w = {v | (v (_ X /\ E.g e. J (z (_ g /\ g (_ v))})}
8	3, 7	syl6eqr 1528	. . 3 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> (nei` J) = {<.z, w>. | (z e. P~X /\ w = {v | (v (_ X /\ E.g e. J (z (_ g /\ g (_ v))})})
9	8	fveq1d 3732	. 2 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> ((nei` J)` S) = ({<.z, w>. | (z e. P~X /\ w = {v | (v (_ X /\ E.g e. J (z (_ g /\ g (_ v))})}` S))
10		sseq1 2085	. . . . . . . 8 |- (z = S -> (z (_ g <-> S (_ g))
11	10	anbi1d 619	. . . . . . 7 |- (z = S -> ((z (_ g /\ g (_ v) <-> (S (_ g /\ g (_ v)))
12	11	rexbidv 1667	. . . . . 6 |- (z = S -> (E.g e. J (z (_ g /\ g (_ v) <-> E.g e. J (S (_ g /\ g (_ v)))
13	12	anbi2d 618	. . . . 5 |- (z = S -> ((v (_ X /\ E.g e. J (z (_ g /\ g (_ v)) <-> (v (_ X /\ E.g e. J (S (_ g /\ g (_ v))))
14	13	abbidv 1580	. . . 4 |- (z = S -> {v | (v (_ X /\ E.g e. J (z (_ g /\ g (_ v))} = {v | (v (_ X /\ E.g e. J (S (_ g /\ g (_ v))})
15		eqid 1478	. . . 4 |- {<.z, w>. | (z e. P~X /\ w = {v | (v (_ X /\ E.g e. J (z (_ g /\ g (_ v))})} = {<.z, w>. | (z e. P~X /\ w = {v | (v (_ X /\ E.g e. J (z (_ g /\ g (_ v))})}
16	14, 15	fvopab4g 3785	. . 3 |- ((S e. P~X /\ {v | (v (_ X /\ E.g e. J (S (_ g /\ g (_ v))} e. V) -> ({<.z, w>. | (z e. P~X /\ w = {v | (v (_ X /\ E.g e. J (z (_ g /\ g (_ v))})}` S) = {v | (v (_ X /\ E.g e. J (S (_ g /\ g (_ v))})
17		elpw2g 2732	. . . . 5 |- (X e. V -> (S e. P~X <-> S (_ X))
18	17	biimpar 419	. . . 4 |- ((X e. V /\ S (_ X) -> S e. P~X)
19		uniexg 2877	. . . . 5 |- (J e. Top -> U.J e. V)
20	19, 1	syl5eqel 1555	. . . 4 |- (J e. Top -> X e. V)
21	18, 20	sylan 450	. . 3 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> S e. P~X)
22		abssexg 2753	. . . . 5 |- (X e. V -> {v | (v (_ X /\ E.g e. J (S (_ g /\ g (_ v))} e. V)
23	20, 22	syl 10	. . . 4 |- (J e. Top -> {v | (v (_ X /\ E.g e. J (S (_ g /\ g (_ v))} e. V)
24	23	adantr 391	. . 3 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> {v | (v (_ X /\ E.g e. J (S (_ g /\ g (_ v))} e. V)
25	16, 21, 24	sylanc 473	. 2 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> ({<.z, w>. | (z e. P~X /\ w = {v | (v (_ X /\ E.g e. J (z (_ g /\ g (_ v))})}` S) = {v | (v (_ X /\ E.g e. J (S (_ g /\ g (_ v))})
26	9, 25	eqtrd 1510	1 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> ((nei` J)` S) = {v | (v (_ X /\ E.g e. J (S (_ g /\ g (_ v))})

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  {cab 1466  E.wrex 1649  Vcvv 1814   (_ wss 2050  P~cpw 2405  U.cuni 2507  {copab 2671  ` cfv 3188  Topctop 7590  neicnei 7709

This theorem is referenced by:  isnei 7715

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-rex 1653  df-rab 1655  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-fv 3204  df-nei 7710

Copyright terms: Public domain