MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  neq0 Unicode version

Theorem neq0 3478
Description: A nonempty class has at least one element. Proposition 5.17(1) of [TakeutiZaring] p. 20. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)
Assertion
Ref Expression
neq0  |-  ( -.  A  =  (/)  <->  E. x  x  e.  A )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem neq0
StepHypRef Expression
1 df-ne 2461 . 2  |-  ( A  =/=  (/)  <->  -.  A  =  (/) )
2 n0 3477 . 2  |-  ( A  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  A )
31, 2bitr3i 242 1  |-  ( -.  A  =  (/)  <->  E. x  x  e.  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 176   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   (/)c0 3468
This theorem is referenced by:  eq0  3482  ralidm  3570  snprc  3708  pwpw0  3779  sssn  3788  pwsnALT  3838  uni0b  3868  disjor  4023  isomin  5850  erdisj  6723  ixpprc  6853  domunsn  7027  sucdom2  7073  isinf  7092  enp1i  7109  xpfi  7144  scottex  7571  acndom  7694  axcclem  8099  axpowndlem3  8237  canthp1lem1  8290  isumltss  12323  ppttop  16760  ntreq0  16830  txindis  17344  txcon  17399  fmfnfm  17669  ptcmplem2  17763  ptcmplem3  17764  bddmulibl  19209  pf1rcl  19448  strlem1  22846  disjorf  23371  hpd  26272  fnchoice  27803  mpt2xopynvov0g  28196  mpt2xopxnop0  28197  bnj1143  29138
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-v 2803  df-dif 3168  df-nul 3469
  Copyright terms: Public domain W3C validator