MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nfitg Unicode version

Theorem nfitg 19129
Description: Bound-variable hypothesis builder for an integral: if  y is (effectively) not free in  A and  B, it is not free in  S. A B  _d x. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
nfitg.1  |-  F/_ y A
nfitg.2  |-  F/_ y B
Assertion
Ref Expression
nfitg  |-  F/_ y S. A B  _d x
Distinct variable group:    x, y
Allowed substitution hints:    A( x, y)    B( x, y)

Proof of Theorem nfitg
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . . 3  |-  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) )  =  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )
21dfitg 19124 . 2  |-  S. A B  _d x  =  sum_ k  e.  ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )
3 nfcv 2419 . . 3  |-  F/_ y
( 0 ... 3
)
4 nfcv 2419 . . . 4  |-  F/_ y
( _i ^ k
)
5 nfcv 2419 . . . 4  |-  F/_ y  x.
6 nfcv 2419 . . . . 5  |-  F/_ y S.2
7 nfcv 2419 . . . . . 6  |-  F/_ y RR
8 nfitg.1 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y A
98nfcri 2413 . . . . . . . 8  |-  F/ y  x  e.  A
10 nfcv 2419 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y
0
11 nfcv 2419 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y  <_
12 nfcv 2419 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y
Re
13 nfitg.2 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ y B
14 nfcv 2419 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ y  /
1513, 14, 4nfov 5881 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y
( B  /  (
_i ^ k ) )
1612, 15nffv 5532 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )
1710, 11, 16nfbr 4067 . . . . . . . 8  |-  F/ y 0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) )
189, 17nfan 1771 . . . . . . 7  |-  F/ y ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) )
1918, 16, 10nfif 3589 . . . . . 6  |-  F/_ y if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 )
207, 19nfmpt 4108 . . . . 5  |-  F/_ y
( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )
216, 20nffv 5532 . . . 4  |-  F/_ y
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) )
224, 5, 21nfov 5881 . . 3  |-  F/_ y
( ( _i ^
k )  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) ) )
233, 22nfsum 12164 . 2  |-  F/_ y sum_ k  e.  ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )
242, 23nfcxfr 2416 1  |-  F/_ y S. A B  _d x
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358    e. wcel 1684   F/_wnfc 2406   ifcif 3565   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736   0cc0 8737   _ici 8739    x. cmul 8742    <_ cle 8868    / cdiv 9423   3c3 9796   ...cfz 10782   ^cexp 11104   Recre 11582   sum_csu 12158   S.2citg2 18971   S.citg 18973
This theorem is referenced by:  itgfsum  19181  itgulm2  19785
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-seq 11047  df-sum 12159  df-itg 18979
  Copyright terms: Public domain W3C validator