MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nfitg Unicode version

Theorem nfitg 19233
Description: Bound-variable hypothesis builder for an integral: if  y is (effectively) not free in  A and  B, it is not free in  S. A B  _d x. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
nfitg.1  |-  F/_ y A
nfitg.2  |-  F/_ y B
Assertion
Ref Expression
nfitg  |-  F/_ y S. A B  _d x
Distinct variable group:    x, y
Allowed substitution hints:    A( x, y)    B( x, y)

Proof of Theorem nfitg
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2358 . . 3  |-  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) )  =  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )
21dfitg 19228 . 2  |-  S. A B  _d x  =  sum_ k  e.  ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )
3 nfcv 2494 . . 3  |-  F/_ y
( 0 ... 3
)
4 nfcv 2494 . . . 4  |-  F/_ y
( _i ^ k
)
5 nfcv 2494 . . . 4  |-  F/_ y  x.
6 nfcv 2494 . . . . 5  |-  F/_ y S.2
7 nfcv 2494 . . . . . 6  |-  F/_ y RR
8 nfitg.1 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y A
98nfcri 2488 . . . . . . . 8  |-  F/ y  x  e.  A
10 nfcv 2494 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y
0
11 nfcv 2494 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y  <_
12 nfcv 2494 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y
Re
13 nfitg.2 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ y B
14 nfcv 2494 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ y  /
1513, 14, 4nfov 5968 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y
( B  /  (
_i ^ k ) )
1612, 15nffv 5615 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )
1710, 11, 16nfbr 4148 . . . . . . . 8  |-  F/ y 0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) )
189, 17nfan 1829 . . . . . . 7  |-  F/ y ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) )
1918, 16, 10nfif 3665 . . . . . 6  |-  F/_ y if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 )
207, 19nfmpt 4189 . . . . 5  |-  F/_ y
( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )
216, 20nffv 5615 . . . 4  |-  F/_ y
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) )
224, 5, 21nfov 5968 . . 3  |-  F/_ y
( ( _i ^
k )  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) ) )
233, 22nfsum 12261 . 2  |-  F/_ y sum_ k  e.  ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )
242, 23nfcxfr 2491 1  |-  F/_ y S. A B  _d x
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358    e. wcel 1710   F/_wnfc 2481   ifcif 3641   class class class wbr 4104    e. cmpt 4158   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   RRcr 8826   0cc0 8827   _ici 8829    x. cmul 8832    <_ cle 8958    / cdiv 9513   3c3 9886   ...cfz 10874   ^cexp 11197   Recre 11678   sum_csu 12255   S.2citg2 19075   S.citg 19077
This theorem is referenced by:  itgfsum  19285  itgulm2  19892
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-nn 9837  df-n0 10058  df-z 10117  df-uz 10323  df-fz 10875  df-seq 11139  df-sum 12256  df-itg 19083
  Copyright terms: Public domain W3C validator