MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nfitg Structured version   Unicode version

Theorem nfitg 19669
Description: Bound-variable hypothesis builder for an integral: if  y is (effectively) not free in  A and  B, it is not free in  S. A B  _d x. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
nfitg.1  |-  F/_ y A
nfitg.2  |-  F/_ y B
Assertion
Ref Expression
nfitg  |-  F/_ y S. A B  _d x
Distinct variable group:    x, y
Allowed substitution hints:    A( x, y)    B( x, y)

Proof of Theorem nfitg
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . 3  |-  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) )  =  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )
21dfitg 19664 . 2  |-  S. A B  _d x  =  sum_ k  e.  ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )
3 nfcv 2574 . . 3  |-  F/_ y
( 0 ... 3
)
4 nfcv 2574 . . . 4  |-  F/_ y
( _i ^ k
)
5 nfcv 2574 . . . 4  |-  F/_ y  x.
6 nfcv 2574 . . . . 5  |-  F/_ y S.2
7 nfcv 2574 . . . . . 6  |-  F/_ y RR
8 nfitg.1 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y A
98nfcri 2568 . . . . . . . 8  |-  F/ y  x  e.  A
10 nfcv 2574 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y
0
11 nfcv 2574 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y  <_
12 nfcv 2574 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y
Re
13 nfitg.2 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ y B
14 nfcv 2574 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ y  /
1513, 14, 4nfov 6107 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y
( B  /  (
_i ^ k ) )
1612, 15nffv 5738 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )
1710, 11, 16nfbr 4259 . . . . . . . 8  |-  F/ y 0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) )
189, 17nfan 1847 . . . . . . 7  |-  F/ y ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) )
1918, 16, 10nfif 3765 . . . . . 6  |-  F/_ y if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 )
207, 19nfmpt 4300 . . . . 5  |-  F/_ y
( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )
216, 20nffv 5738 . . . 4  |-  F/_ y
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) )
224, 5, 21nfov 6107 . . 3  |-  F/_ y
( ( _i ^
k )  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) ) )
233, 22nfsum 12490 . 2  |-  F/_ y sum_ k  e.  ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )
242, 23nfcxfr 2571 1  |-  F/_ y S. A B  _d x
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 360    e. wcel 1726   F/_wnfc 2561   ifcif 3741   class class class wbr 4215    e. cmpt 4269   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   RRcr 8994   0cc0 8995   _ici 8997    x. cmul 9000    <_ cle 9126    / cdiv 9682   3c3 10055   ...cfz 11048   ^cexp 11387   Recre 11907   sum_csu 12484   S.2citg2 19513   S.citg 19515
This theorem is referenced by:  itgfsum  19721  itgulm2  20330
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049  df-seq 11329  df-sum 12485  df-itg 19520
  Copyright terms: Public domain W3C validator