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Theorem nfixp 7073
Description: Bound-variable hypothesis builder for indexed cross product. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
nfixp.1  |-  F/_ y A
nfixp.2  |-  F/_ y B
Assertion
Ref Expression
nfixp  |-  F/_ y X_ x  e.  A  B

Proof of Theorem nfixp
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ixp 7056 . 2  |-  X_ x  e.  A  B  =  { z  |  ( z  Fn  { x  |  x  e.  A }  /\  A. x  e.  A  ( z `  x )  e.  B
) }
2 nfcv 2571 . . . . 5  |-  F/_ y
z
3 nftru 1563 . . . . . . 7  |-  F/ x  T.
4 nfcvf 2593 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  F/_ y x )
54adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  -.  A. y  y  =  x
)  ->  F/_ y x )
6 nfixp.1 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y A
76a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  -.  A. y  y  =  x
)  ->  F/_ y A )
85, 7nfeld 2586 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  -.  A. y  y  =  x
)  ->  F/ y  x  e.  A )
93, 8nfabd2 2589 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  F/_ y { x  |  x  e.  A } )
109trud 1332 . . . . 5  |-  F/_ y { x  |  x  e.  A }
112, 10nffn 5533 . . . 4  |-  F/ y  z  Fn  { x  |  x  e.  A }
12 df-ral 2702 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  (
z `  x )  e.  B  <->  A. x ( x  e.  A  ->  (
z `  x )  e.  B ) )
132a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  -.  A. y  y  =  x
)  ->  F/_ y z )
1413, 5nffvd 5729 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  -.  A. y  y  =  x
)  ->  F/_ y ( z `  x ) )
15 nfixp.2 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y B
1615a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  -.  A. y  y  =  x
)  ->  F/_ y B )
1714, 16nfeld 2586 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  -.  A. y  y  =  x
)  ->  F/ y
( z `  x
)  e.  B )
188, 17nfimd 1827 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  -.  A. y  y  =  x
)  ->  F/ y
( x  e.  A  ->  ( z `  x
)  e.  B ) )
193, 18nfald2 2060 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  F/ y A. x
( x  e.  A  ->  ( z `  x
)  e.  B ) )
2019trud 1332 . . . . 5  |-  F/ y A. x ( x  e.  A  ->  (
z `  x )  e.  B )
2112, 20nfxfr 1579 . . . 4  |-  F/ y A. x  e.  A  ( z `  x
)  e.  B
2211, 21nfan 1846 . . 3  |-  F/ y ( z  Fn  {
x  |  x  e.  A }  /\  A. x  e.  A  (
z `  x )  e.  B )
2322nfab 2575 . 2  |-  F/_ y { z  |  ( z  Fn  { x  |  x  e.  A }  /\  A. x  e.  A  ( z `  x )  e.  B
) }
241, 23nfcxfr 2568 1  |-  F/_ y X_ x  e.  A  B
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    T. wtru 1325   A.wal 1549   F/wnf 1553    e. wcel 1725   {cab 2421   F/_wnfc 2558   A.wral 2697    Fn wfn 5441   ` cfv 5446   X_cixp 7055
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-fv 5454  df-ixp 7056
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