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Theorem nfixp 6851
Description: Bound-variable hypothesis builder for indexed cross product. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
nfixp.1  |-  F/_ y A
nfixp.2  |-  F/_ y B
Assertion
Ref Expression
nfixp  |-  F/_ y X_ x  e.  A  B

Proof of Theorem nfixp
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ixp 6834 . 2  |-  X_ x  e.  A  B  =  { z  |  ( z  Fn  { x  |  x  e.  A }  /\  A. x  e.  A  ( z `  x )  e.  B
) }
2 nfcv 2432 . . . . 5  |-  F/_ y
z
3 nftru 1544 . . . . . . 7  |-  F/ x  T.
4 nfcvf 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  F/_ y x )
54adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  -.  A. y  y  =  x
)  ->  F/_ y x )
6 nfixp.1 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y A
76a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  -.  A. y  y  =  x
)  ->  F/_ y A )
85, 7nfeld 2447 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  -.  A. y  y  =  x
)  ->  F/ y  x  e.  A )
93, 8nfabd2 2450 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  F/_ y { x  |  x  e.  A } )
109trud 1314 . . . . 5  |-  F/_ y { x  |  x  e.  A }
112, 10nffn 5356 . . . 4  |-  F/ y  z  Fn  { x  |  x  e.  A }
12 df-ral 2561 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  (
z `  x )  e.  B  <->  A. x ( x  e.  A  ->  (
z `  x )  e.  B ) )
132a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  -.  A. y  y  =  x
)  ->  F/_ y z )
1413, 5nffvd 5550 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  -.  A. y  y  =  x
)  ->  F/_ y ( z `  x ) )
15 nfixp.2 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y B
1615a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  -.  A. y  y  =  x
)  ->  F/_ y B )
1714, 16nfeld 2447 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  -.  A. y  y  =  x
)  ->  F/ y
( z `  x
)  e.  B )
188, 17nfimd 1773 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  -.  A. y  y  =  x
)  ->  F/ y
( x  e.  A  ->  ( z `  x
)  e.  B ) )
193, 18nfald2 1925 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  F/ y A. x
( x  e.  A  ->  ( z `  x
)  e.  B ) )
2019trud 1314 . . . . 5  |-  F/ y A. x ( x  e.  A  ->  (
z `  x )  e.  B )
2112, 20nfxfr 1560 . . . 4  |-  F/ y A. x  e.  A  ( z `  x
)  e.  B
2211, 21nfan 1783 . . 3  |-  F/ y ( z  Fn  {
x  |  x  e.  A }  /\  A. x  e.  A  (
z `  x )  e.  B )
2322nfab 2436 . 2  |-  F/_ y { z  |  ( z  Fn  { x  |  x  e.  A }  /\  A. x  e.  A  ( z `  x )  e.  B
) }
241, 23nfcxfr 2429 1  |-  F/_ y X_ x  e.  A  B
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    T. wtru 1307   A.wal 1530   F/wnf 1534    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282   F/_wnfc 2419   A.wral 2556    Fn wfn 5266   ` cfv 5271   X_cixp 6833
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-fv 5279  df-ixp 6834
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