MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nfixp Unicode version

Theorem nfixp 7017
Description: Bound-variable hypothesis builder for indexed cross product. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
nfixp.1  |-  F/_ y A
nfixp.2  |-  F/_ y B
Assertion
Ref Expression
nfixp  |-  F/_ y X_ x  e.  A  B

Proof of Theorem nfixp
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ixp 7000 . 2  |-  X_ x  e.  A  B  =  { z  |  ( z  Fn  { x  |  x  e.  A }  /\  A. x  e.  A  ( z `  x )  e.  B
) }
2 nfcv 2523 . . . . 5  |-  F/_ y
z
3 nftru 1560 . . . . . . 7  |-  F/ x  T.
4 nfcvf 2545 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  F/_ y x )
54adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  -.  A. y  y  =  x
)  ->  F/_ y x )
6 nfixp.1 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y A
76a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  -.  A. y  y  =  x
)  ->  F/_ y A )
85, 7nfeld 2538 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  -.  A. y  y  =  x
)  ->  F/ y  x  e.  A )
93, 8nfabd2 2541 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  F/_ y { x  |  x  e.  A } )
109trud 1329 . . . . 5  |-  F/_ y { x  |  x  e.  A }
112, 10nffn 5481 . . . 4  |-  F/ y  z  Fn  { x  |  x  e.  A }
12 df-ral 2654 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  (
z `  x )  e.  B  <->  A. x ( x  e.  A  ->  (
z `  x )  e.  B ) )
132a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  -.  A. y  y  =  x
)  ->  F/_ y z )
1413, 5nffvd 5677 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  -.  A. y  y  =  x
)  ->  F/_ y ( z `  x ) )
15 nfixp.2 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y B
1615a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  -.  A. y  y  =  x
)  ->  F/_ y B )
1714, 16nfeld 2538 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  -.  A. y  y  =  x
)  ->  F/ y
( z `  x
)  e.  B )
188, 17nfimd 1817 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  -.  A. y  y  =  x
)  ->  F/ y
( x  e.  A  ->  ( z `  x
)  e.  B ) )
193, 18nfald2 2011 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  F/ y A. x
( x  e.  A  ->  ( z `  x
)  e.  B ) )
2019trud 1329 . . . . 5  |-  F/ y A. x ( x  e.  A  ->  (
z `  x )  e.  B )
2112, 20nfxfr 1576 . . . 4  |-  F/ y A. x  e.  A  ( z `  x
)  e.  B
2211, 21nfan 1836 . . 3  |-  F/ y ( z  Fn  {
x  |  x  e.  A }  /\  A. x  e.  A  (
z `  x )  e.  B )
2322nfab 2527 . 2  |-  F/_ y { z  |  ( z  Fn  { x  |  x  e.  A }  /\  A. x  e.  A  ( z `  x )  e.  B
) }
241, 23nfcxfr 2520 1  |-  F/_ y X_ x  e.  A  B
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    T. wtru 1322   A.wal 1546   F/wnf 1550    e. wcel 1717   {cab 2373   F/_wnfc 2510   A.wral 2649    Fn wfn 5389   ` cfv 5394   X_cixp 6999
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ral 2654  df-rex 2655  df-rab 2658  df-v 2901  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-br 4154  df-opab 4208  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-fv 5402  df-ixp 7000
  Copyright terms: Public domain W3C validator