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Theorem nfixp 6835
Description: Bound-variable hypothesis builder for indexed cross product. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
nfixp.1  |-  F/_ y A
nfixp.2  |-  F/_ y B
Assertion
Ref Expression
nfixp  |-  F/_ y X_ x  e.  A  B

Proof of Theorem nfixp
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ixp 6818 . 2  |-  X_ x  e.  A  B  =  { z  |  ( z  Fn  { x  |  x  e.  A }  /\  A. x  e.  A  ( z `  x )  e.  B
) }
2 nfcv 2419 . . . . 5  |-  F/_ y
z
3 nftru 1541 . . . . . . 7  |-  F/ x  T.
4 nfcvf 2441 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  F/_ y x )
54adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  -.  A. y  y  =  x
)  ->  F/_ y x )
6 nfixp.1 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y A
76a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  -.  A. y  y  =  x
)  ->  F/_ y A )
85, 7nfeld 2434 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  -.  A. y  y  =  x
)  ->  F/ y  x  e.  A )
93, 8nfabd2 2437 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  F/_ y { x  |  x  e.  A } )
109trud 1314 . . . . 5  |-  F/_ y { x  |  x  e.  A }
112, 10nffn 5340 . . . 4  |-  F/ y  z  Fn  { x  |  x  e.  A }
12 df-ral 2548 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  (
z `  x )  e.  B  <->  A. x ( x  e.  A  ->  (
z `  x )  e.  B ) )
132a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  -.  A. y  y  =  x
)  ->  F/_ y z )
1413, 5nffvd 5534 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  -.  A. y  y  =  x
)  ->  F/_ y ( z `  x ) )
15 nfixp.2 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y B
1615a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  -.  A. y  y  =  x
)  ->  F/_ y B )
1714, 16nfeld 2434 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  -.  A. y  y  =  x
)  ->  F/ y
( z `  x
)  e.  B )
188, 17nfimd 1761 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  -.  A. y  y  =  x
)  ->  F/ y
( x  e.  A  ->  ( z `  x
)  e.  B ) )
193, 18nfald2 1912 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  F/ y A. x
( x  e.  A  ->  ( z `  x
)  e.  B ) )
2019trud 1314 . . . . 5  |-  F/ y A. x ( x  e.  A  ->  (
z `  x )  e.  B )
2112, 20nfxfr 1557 . . . 4  |-  F/ y A. x  e.  A  ( z `  x
)  e.  B
2211, 21nfan 1771 . . 3  |-  F/ y ( z  Fn  {
x  |  x  e.  A }  /\  A. x  e.  A  (
z `  x )  e.  B )
2322nfab 2423 . 2  |-  F/_ y { z  |  ( z  Fn  { x  |  x  e.  A }  /\  A. x  e.  A  ( z `  x )  e.  B
) }
241, 23nfcxfr 2416 1  |-  F/_ y X_ x  e.  A  B
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    T. wtru 1307   A.wal 1527   F/wnf 1531    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   F/_wnfc 2406   A.wral 2543    Fn wfn 5250   ` cfv 5255   X_cixp 6817
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-fv 5263  df-ixp 6818
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