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Theorem nfnid 4204
Description: A set variable is not free from itself. The proof relies on dtru 4201, that is, it is not true in a one-element domain. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2016.)
Assertion
Ref Expression
nfnid  |-  -.  F/_ x x

Proof of Theorem nfnid
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dtru 4201 . . 3  |-  -.  A. z  z  =  w
2 ax-ext 2264 . . . . 5  |-  ( A. y ( y  e.  z  <->  y  e.  w
)  ->  z  =  w )
32sps 1739 . . . 4  |-  ( A. w A. y ( y  e.  z  <->  y  e.  w )  ->  z  =  w )
43alimi 1546 . . 3  |-  ( A. z A. w A. y
( y  e.  z  <-> 
y  e.  w )  ->  A. z  z  =  w )
51, 4mto 167 . 2  |-  -.  A. z A. w A. y
( y  e.  z  <-> 
y  e.  w )
6 df-nfc 2408 . . 3  |-  ( F/_ x x  <->  A. y F/ x  y  e.  x )
7 sbnf2 2047 . . . . 5  |-  ( F/ x  y  e.  x  <->  A. z A. w ( [ z  /  x ] y  e.  x  <->  [ w  /  x ]
y  e.  x ) )
8 elsb4 2043 . . . . . . 7  |-  ( [ z  /  x ]
y  e.  x  <->  y  e.  z )
9 elsb4 2043 . . . . . . 7  |-  ( [ w  /  x ]
y  e.  x  <->  y  e.  w )
108, 9bibi12i 306 . . . . . 6  |-  ( ( [ z  /  x ] y  e.  x  <->  [ w  /  x ]
y  e.  x )  <-> 
( y  e.  z  <-> 
y  e.  w ) )
11102albii 1554 . . . . 5  |-  ( A. z A. w ( [ z  /  x ]
y  e.  x  <->  [ w  /  x ] y  e.  x )  <->  A. z A. w ( y  e.  z  <->  y  e.  w
) )
127, 11bitri 240 . . . 4  |-  ( F/ x  y  e.  x  <->  A. z A. w ( y  e.  z  <->  y  e.  w ) )
1312albii 1553 . . 3  |-  ( A. y F/ x  y  e.  x  <->  A. y A. z A. w ( y  e.  z  <->  y  e.  w
) )
14 alrot3 1712 . . 3  |-  ( A. y A. z A. w
( y  e.  z  <-> 
y  e.  w )  <->  A. z A. w A. y ( y  e.  z  <->  y  e.  w
) )
156, 13, 143bitri 262 . 2  |-  ( F/_ x x  <->  A. z A. w A. y ( y  e.  z  <->  y  e.  w
) )
165, 15mtbir 290 1  |-  -.  F/_ x x
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 176   A.wal 1527   F/wnf 1531    = wceq 1623   [wsb 1629    e. wcel 1684   F/_wnfc 2406
This theorem is referenced by:  nfcvb  4205
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-nul 4149  ax-pow 4188
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-nfc 2408
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