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Theorem nfnid 4220
Description: A set variable is not free from itself. The proof relies on dtru 4217, that is, it is not true in a one-element domain. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2016.)
Assertion
Ref Expression
nfnid  |-  -.  F/_ x x

Proof of Theorem nfnid
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dtru 4217 . . 3  |-  -.  A. z  z  =  w
2 ax-ext 2277 . . . . 5  |-  ( A. y ( y  e.  z  <->  y  e.  w
)  ->  z  =  w )
32sps 1751 . . . 4  |-  ( A. w A. y ( y  e.  z  <->  y  e.  w )  ->  z  =  w )
43alimi 1549 . . 3  |-  ( A. z A. w A. y
( y  e.  z  <-> 
y  e.  w )  ->  A. z  z  =  w )
51, 4mto 167 . 2  |-  -.  A. z A. w A. y
( y  e.  z  <-> 
y  e.  w )
6 df-nfc 2421 . . 3  |-  ( F/_ x x  <->  A. y F/ x  y  e.  x )
7 sbnf2 2060 . . . . 5  |-  ( F/ x  y  e.  x  <->  A. z A. w ( [ z  /  x ] y  e.  x  <->  [ w  /  x ]
y  e.  x ) )
8 elsb4 2056 . . . . . . 7  |-  ( [ z  /  x ]
y  e.  x  <->  y  e.  z )
9 elsb4 2056 . . . . . . 7  |-  ( [ w  /  x ]
y  e.  x  <->  y  e.  w )
108, 9bibi12i 306 . . . . . 6  |-  ( ( [ z  /  x ] y  e.  x  <->  [ w  /  x ]
y  e.  x )  <-> 
( y  e.  z  <-> 
y  e.  w ) )
11102albii 1557 . . . . 5  |-  ( A. z A. w ( [ z  /  x ]
y  e.  x  <->  [ w  /  x ] y  e.  x )  <->  A. z A. w ( y  e.  z  <->  y  e.  w
) )
127, 11bitri 240 . . . 4  |-  ( F/ x  y  e.  x  <->  A. z A. w ( y  e.  z  <->  y  e.  w ) )
1312albii 1556 . . 3  |-  ( A. y F/ x  y  e.  x  <->  A. y A. z A. w ( y  e.  z  <->  y  e.  w
) )
14 alrot3 1724 . . 3  |-  ( A. y A. z A. w
( y  e.  z  <-> 
y  e.  w )  <->  A. z A. w A. y ( y  e.  z  <->  y  e.  w
) )
156, 13, 143bitri 262 . 2  |-  ( F/_ x x  <->  A. z A. w A. y ( y  e.  z  <->  y  e.  w
) )
165, 15mtbir 290 1  |-  -.  F/_ x x
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 176   A.wal 1530   F/wnf 1534    = wceq 1632   [wsb 1638    e. wcel 1696   F/_wnfc 2419
This theorem is referenced by:  nfcvb  4221
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-nul 4165  ax-pow 4204
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-nfc 2421
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