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Theorem nfriotad 6329
Description: Deduction version of nfriota 6330. (Contributed by NM, 18-Feb-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
nfriotad.1  |-  F/ y
ph
nfriotad.2  |-  ( ph  ->  F/ x ps )
nfriotad.3  |-  ( ph  -> 
F/_ x A )
Assertion
Ref Expression
nfriotad  |-  ( ph  -> 
F/_ x ( iota_ y  e.  A ps )
)

Proof of Theorem nfriotad
StepHypRef Expression
1 df-riota 6320 . 2  |-  ( iota_ y  e.  A ps )  =  if ( E! y  e.  A  ps , 
( iota y ( y  e.  A  /\  ps ) ) ,  (
Undef `  { y  |  y  e.  A }
) )
2 nfriotad.1 . . . 4  |-  F/ y
ph
3 nfriotad.3 . . . 4  |-  ( ph  -> 
F/_ x A )
4 nfriotad.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  F/ x ps )
52, 3, 4nfreud 2725 . . 3  |-  ( ph  ->  F/ x E! y  e.  A  ps )
6 nfnae 1909 . . . . . . 7  |-  F/ y  -.  A. x  x  =  y
72, 6nfan 1783 . . . . . 6  |-  F/ y ( ph  /\  -.  A. x  x  =  y )
8 nfcvf 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/_ x y )
98adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  A. x  x  =  y )  -> 
F/_ x y )
103adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  A. x  x  =  y )  -> 
F/_ x A )
119, 10nfeld 2447 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  A. x  x  =  y )  ->  F/ x  y  e.  A )
124adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  A. x  x  =  y )  ->  F/ x ps )
1311, 12nfand 1775 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  A. x  x  =  y )  ->  F/ x ( y  e.  A  /\  ps ) )
147, 13nfiotad 5238 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  A. x  x  =  y )  -> 
F/_ x ( iota y ( y  e.  A  /\  ps )
) )
1514ex 423 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( -.  A. x  x  =  y  ->  F/_ x ( iota y
( y  e.  A  /\  ps ) ) ) )
16 nfiota1 5237 . . . . 5  |-  F/_ y
( iota y ( y  e.  A  /\  ps ) )
17 eqidd 2297 . . . . . 6  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( iota y ( y  e.  A  /\  ps ) )  =  ( iota y ( y  e.  A  /\  ps ) ) )
1817drnfc1 2448 . . . . 5  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( F/_ x ( iota y ( y  e.  A  /\  ps ) )  <->  F/_ y ( iota y ( y  e.  A  /\  ps ) ) ) )
1916, 18mpbiri 224 . . . 4  |-  ( A. x  x  =  y  -> 
F/_ x ( iota y ( y  e.  A  /\  ps )
) )
2015, 19pm2.61d2 152 . . 3  |-  ( ph  -> 
F/_ x ( iota y ( y  e.  A  /\  ps )
) )
21 nfcvd 2433 . . . 4  |-  ( ph  -> 
F/_ x Undef )
222, 11nfabd2 2450 . . . 4  |-  ( ph  -> 
F/_ x { y  |  y  e.  A } )
2321, 22nffvd 5550 . . 3  |-  ( ph  -> 
F/_ x ( Undef `  { y  |  y  e.  A } ) )
245, 20, 23nfifd 3601 . 2  |-  ( ph  -> 
F/_ x if ( E! y  e.  A  ps ,  ( iota y ( y  e.  A  /\  ps )
) ,  ( Undef `  { y  |  y  e.  A } ) ) )
251, 24nfcxfrd 2430 1  |-  ( ph  -> 
F/_ x ( iota_ y  e.  A ps )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358   A.wal 1530   F/wnf 1534    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282   F/_wnfc 2419   E!wreu 2558   ifcif 3578   iotacio 5233   ` cfv 5271   Undefcund 6312   iota_crio 6313
This theorem is referenced by:  nfriota  6330
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-iota 5235  df-fv 5279  df-riota 6320
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