MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nfriotad Structured version   Unicode version

Theorem nfriotad 6558
Description: Deduction version of nfriota 6559. (Contributed by NM, 18-Feb-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
nfriotad.1  |-  F/ y
ph
nfriotad.2  |-  ( ph  ->  F/ x ps )
nfriotad.3  |-  ( ph  -> 
F/_ x A )
Assertion
Ref Expression
nfriotad  |-  ( ph  -> 
F/_ x ( iota_ y  e.  A ps )
)

Proof of Theorem nfriotad
StepHypRef Expression
1 df-riota 6549 . 2  |-  ( iota_ y  e.  A ps )  =  if ( E! y  e.  A  ps , 
( iota y ( y  e.  A  /\  ps ) ) ,  (
Undef `  { y  |  y  e.  A }
) )
2 nfriotad.1 . . . 4  |-  F/ y
ph
3 nfriotad.3 . . . 4  |-  ( ph  -> 
F/_ x A )
4 nfriotad.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  F/ x ps )
52, 3, 4nfreud 2880 . . 3  |-  ( ph  ->  F/ x E! y  e.  A  ps )
6 nfnae 2044 . . . . . . 7  |-  F/ y  -.  A. x  x  =  y
72, 6nfan 1846 . . . . . 6  |-  F/ y ( ph  /\  -.  A. x  x  =  y )
8 nfcvf 2594 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/_ x y )
98adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  A. x  x  =  y )  -> 
F/_ x y )
103adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  A. x  x  =  y )  -> 
F/_ x A )
119, 10nfeld 2587 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  A. x  x  =  y )  ->  F/ x  y  e.  A )
124adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  A. x  x  =  y )  ->  F/ x ps )
1311, 12nfand 1843 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  A. x  x  =  y )  ->  F/ x ( y  e.  A  /\  ps ) )
147, 13nfiotad 5421 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  A. x  x  =  y )  -> 
F/_ x ( iota y ( y  e.  A  /\  ps )
) )
1514ex 424 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( -.  A. x  x  =  y  ->  F/_ x ( iota y
( y  e.  A  /\  ps ) ) ) )
16 nfiota1 5420 . . . . 5  |-  F/_ y
( iota y ( y  e.  A  /\  ps ) )
17 eqidd 2437 . . . . . 6  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( iota y ( y  e.  A  /\  ps ) )  =  ( iota y ( y  e.  A  /\  ps ) ) )
1817drnfc1 2588 . . . . 5  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( F/_ x ( iota y ( y  e.  A  /\  ps ) )  <->  F/_ y ( iota y ( y  e.  A  /\  ps ) ) ) )
1916, 18mpbiri 225 . . . 4  |-  ( A. x  x  =  y  -> 
F/_ x ( iota y ( y  e.  A  /\  ps )
) )
2015, 19pm2.61d2 154 . . 3  |-  ( ph  -> 
F/_ x ( iota y ( y  e.  A  /\  ps )
) )
21 nfcvd 2573 . . . 4  |-  ( ph  -> 
F/_ x Undef )
222, 11nfabd2 2590 . . . 4  |-  ( ph  -> 
F/_ x { y  |  y  e.  A } )
2321, 22nffvd 5737 . . 3  |-  ( ph  -> 
F/_ x ( Undef `  { y  |  y  e.  A } ) )
245, 20, 23nfifd 3762 . 2  |-  ( ph  -> 
F/_ x if ( E! y  e.  A  ps ,  ( iota y ( y  e.  A  /\  ps )
) ,  ( Undef `  { y  |  y  e.  A } ) ) )
251, 24nfcxfrd 2570 1  |-  ( ph  -> 
F/_ x ( iota_ y  e.  A ps )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359   A.wal 1549   F/wnf 1553    e. wcel 1725   {cab 2422   F/_wnfc 2559   E!wreu 2707   ifcif 3739   iotacio 5416   ` cfv 5454   Undefcund 6541   iota_crio 6542
This theorem is referenced by:  nfriota  6559
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-iota 5418  df-fv 5462  df-riota 6549
  Copyright terms: Public domain W3C validator