MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nfsb4t Unicode version

Theorem nfsb4t 2020
Description: A variable not free remains so after substitution with a distinct variable (closed form of nfsb4 2021). (Contributed by NM, 7-Apr-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Oct-2016.)
Assertion
Ref Expression
nfsb4t  |-  ( A. x F/ z ph  ->  ( -.  A. z  z  =  y  ->  F/ z [ y  /  x ] ph ) )

Proof of Theorem nfsb4t
StepHypRef Expression
1 sbequ12 1860 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  [ y  /  x ] ph ) )
21sps 1739 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( ph  <->  [ y  /  x ] ph )
)
32drnf2 1910 . . . . . . 7  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( F/ z ph  <->  F/ z [ y  /  x ] ph ) )
43biimpcd 215 . . . . . 6  |-  ( F/ z ph  ->  ( A. x  x  =  y  ->  F/ z [ y  /  x ] ph ) )
54sps 1739 . . . . 5  |-  ( A. x F/ z ph  ->  ( A. x  x  =  y  ->  F/ z [ y  /  x ] ph ) )
65a1dd 42 . . . 4  |-  ( A. x F/ z ph  ->  ( A. x  x  =  y  ->  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y
)  ->  F/ z [ y  /  x ] ph ) ) )
7 nfa1 1756 . . . . . . . 8  |-  F/ x A. x F/ z ph
8 nfnae 1896 . . . . . . . . 9  |-  F/ x  -.  A. z  z  =  x
9 nfnae 1896 . . . . . . . . 9  |-  F/ x  -.  A. z  z  =  y
108, 9nfan 1771 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( -.  A. z 
z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y )
117, 10nfan 1771 . . . . . . 7  |-  F/ x
( A. x F/ z ph  /\  ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y
) )
12 nfeqf 1898 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  F/ z  x  =  y )
1312adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x F/ z
ph  /\  ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z 
z  =  y ) )  ->  F/ z  x  =  y )
14 sp 1716 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x F/ z ph  ->  F/ z ph )
1514adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x F/ z
ph  /\  ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z 
z  =  y ) )  ->  F/ z ph )
1613, 15nfimd 1761 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x F/ z
ph  /\  ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z 
z  =  y ) )  ->  F/ z
( x  =  y  ->  ph ) )
1711, 16nfald 1775 . . . . . 6  |-  ( ( A. x F/ z
ph  /\  ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z 
z  =  y ) )  ->  F/ z A. x ( x  =  y  ->  ph ) )
1817ex 423 . . . . 5  |-  ( A. x F/ z ph  ->  ( ( -.  A. z 
z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  F/ z A. x ( x  =  y  ->  ph )
) )
19 nfnae 1896 . . . . . . 7  |-  F/ z  -.  A. x  x  =  y
20 sb4b 1994 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( [
y  /  x ] ph 
<-> 
A. x ( x  =  y  ->  ph )
) )
2119, 20nfbidf 1754 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( F/ z [ y  /  x ] ph  <->  F/ z A. x
( x  =  y  ->  ph ) ) )
2221imbi2d 307 . . . . 5  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( (
( -.  A. z 
z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  F/ z [ y  /  x ] ph )  <->  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y
)  ->  F/ z A. x ( x  =  y  ->  ph ) ) ) )
2318, 22syl5ibrcom 213 . . . 4  |-  ( A. x F/ z ph  ->  ( -.  A. x  x  =  y  ->  (
( -.  A. z 
z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  F/ z [ y  /  x ] ph ) ) )
246, 23pm2.61d 150 . . 3  |-  ( A. x F/ z ph  ->  ( ( -.  A. z 
z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  F/ z [ y  /  x ] ph ) )
2524exp3a 425 . 2  |-  ( A. x F/ z ph  ->  ( -.  A. z  z  =  x  ->  ( -.  A. z  z  =  y  ->  F/ z [ y  /  x ] ph ) ) )
26 nfsb2 1998 . . 3  |-  ( -. 
A. z  z  =  y  ->  F/ z [ y  /  z ] ph )
27 drsb1 1962 . . . 4  |-  ( A. z  z  =  x  ->  ( [ y  / 
z ] ph  <->  [ y  /  x ] ph )
)
2827drnf2 1910 . . 3  |-  ( A. z  z  =  x  ->  ( F/ z [ y  /  z ]
ph 
<->  F/ z [ y  /  x ] ph ) )
2926, 28syl5ib 210 . 2  |-  ( A. z  z  =  x  ->  ( -.  A. z 
z  =  y  ->  F/ z [ y  /  x ] ph ) )
3025, 29pm2.61d2 152 1  |-  ( A. x F/ z ph  ->  ( -.  A. z  z  =  y  ->  F/ z [ y  /  x ] ph ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1527   F/wnf 1531   [wsb 1629
This theorem is referenced by:  nfsb4  2021  dvelimdf  2022  nfsbd  2050
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630
  Copyright terms: Public domain W3C validator