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Theorem nfsb4tw2AUXOLD7 29442
Description: Weak version of nfsb4t 2137. Still uses ax-7OLD7 29374 via nfaldOLD7 29386. (Contributed by NM, 25-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
nfsb4tw2AUXOLD7  |-  ( A. x F/ z ph  ->  ( -.  A. z  z  =  y  ->  F/ z [ y  /  x ] ph ) )
Distinct variable group:    y, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z)

Proof of Theorem nfsb4tw2AUXOLD7
StepHypRef Expression
1 sbequ12 1940 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  [ y  /  x ] ph ) )
21sps 1766 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( ph  <->  [ y  /  x ] ph )
)
32drnf2w2AUX7 29219 . . . . . . 7  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( F/ z ph  <->  F/ z [ y  /  x ] ph ) )
43biimpcd 216 . . . . . 6  |-  ( F/ z ph  ->  ( A. x  x  =  y  ->  F/ z [ y  /  x ] ph ) )
54sps 1766 . . . . 5  |-  ( A. x F/ z ph  ->  ( A. x  x  =  y  ->  F/ z [ y  /  x ] ph ) )
65a1dd 44 . . . 4  |-  ( A. x F/ z ph  ->  ( A. x  x  =  y  ->  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y
)  ->  F/ z [ y  /  x ] ph ) ) )
7 nfa1 1802 . . . . . . . 8  |-  F/ x A. x F/ z ph
8 nfa1 1802 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x A. x  x  =  z
9 aecomNEW7 29192 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. z  z  =  x  ->  A. x  x  =  z )
10 aecomNEW7 29192 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  x  =  z  ->  A. z  z  =  x )
119, 10impbii 181 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. z  z  =  x  <->  A. x  x  =  z )
1211nfbii 1575 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F/ x A. z  z  =  x  <->  F/ x A. x  x  =  z )
138, 12mpbir 201 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x A. z  z  =  x
1413nfn 1807 . . . . . . . . 9  |-  F/ x  -.  A. z  z  =  x
15 nfnaew3AUX7 29242 . . . . . . . . 9  |-  F/ x  -.  A. z  z  =  y
1614, 15nfan 1842 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( -.  A. z 
z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y )
177, 16nfan 1842 . . . . . . 7  |-  F/ x
( A. x F/ z ph  /\  ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y
) )
18 nfeqfNEW7 29204 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  F/ z  x  =  y )
1918adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x F/ z
ph  /\  ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z 
z  =  y ) )  ->  F/ z  x  =  y )
20 sp 1759 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x F/ z ph  ->  F/ z ph )
2120adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x F/ z
ph  /\  ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z 
z  =  y ) )  ->  F/ z ph )
2219, 21nfimd 1823 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x F/ z
ph  /\  ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z 
z  =  y ) )  ->  F/ z
( x  =  y  ->  ph ) )
2317, 22nfaldOLD7 29386 . . . . . 6  |-  ( ( A. x F/ z
ph  /\  ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z 
z  =  y ) )  ->  F/ z A. x ( x  =  y  ->  ph ) )
2423ex 424 . . . . 5  |-  ( A. x F/ z ph  ->  ( ( -.  A. z 
z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  F/ z A. x ( x  =  y  ->  ph )
) )
25 nfnaew2AUX7 29203 . . . . . . 7  |-  F/ z  -.  A. x  x  =  y
26 sb4bNEW7 29269 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( [
y  /  x ] ph 
<-> 
A. x ( x  =  y  ->  ph )
) )
2725, 26nfbidf 1786 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( F/ z [ y  /  x ] ph  <->  F/ z A. x
( x  =  y  ->  ph ) ) )
2827imbi2d 308 . . . . 5  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( (
( -.  A. z 
z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  F/ z [ y  /  x ] ph )  <->  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y
)  ->  F/ z A. x ( x  =  y  ->  ph ) ) ) )
2924, 28syl5ibrcom 214 . . . 4  |-  ( A. x F/ z ph  ->  ( -.  A. x  x  =  y  ->  (
( -.  A. z 
z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  F/ z [ y  /  x ] ph ) ) )
306, 29pm2.61d 152 . . 3  |-  ( A. x F/ z ph  ->  ( ( -.  A. z 
z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  F/ z [ y  /  x ] ph ) )
3130exp3a 426 . 2  |-  ( A. x F/ z ph  ->  ( -.  A. z  z  =  x  ->  ( -.  A. z  z  =  y  ->  F/ z [ y  /  x ] ph ) ) )
32 nfsb2NEW7 29277 . . 3  |-  ( -. 
A. z  z  =  y  ->  F/ z [ y  /  z ] ph )
33 drsb1NEW7 29224 . . . 4  |-  ( A. z  z  =  x  ->  ( [ y  / 
z ] ph  <->  [ y  /  x ] ph )
)
3433drnf2w3AUX7 29222 . . 3  |-  ( A. z  z  =  x  ->  ( F/ z [ y  /  z ]
ph 
<->  F/ z [ y  /  x ] ph ) )
3532, 34syl5ib 211 . 2  |-  ( A. z  z  =  x  ->  ( -.  A. z 
z  =  y  ->  F/ z [ y  /  x ] ph ) )
3631, 35pm2.61d2 154 1  |-  ( A. x F/ z ph  ->  ( -.  A. z  z  =  y  ->  F/ z [ y  /  x ] ph ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1546   F/wnf 1550   [wsb 1655
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-6 1740  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-7v 29160  ax-7OLD7 29374
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-an 361  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656
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