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Theorem nfsb4twAUX7 29576
Description: Weak version of nfsb4t 2127 not requiring ax-7 1749. (Contributed by NM, 27-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
nfsb4twAUX7  |-  ( A. x F/ z ph  ->  ( -.  A. z  z  =  y  ->  F/ z [ y  /  x ] ph ) )
Distinct variable group:    x, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z)

Proof of Theorem nfsb4twAUX7
StepHypRef Expression
1 sbequ12 1944 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  [ y  /  x ] ph ) )
21sps 1770 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( ph  <->  [ y  /  x ] ph )
)
32drnf2wAUX7 29498 . . . . . . 7  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( F/ z ph  <->  F/ z [ y  /  x ] ph ) )
43biimpcd 216 . . . . . 6  |-  ( F/ z ph  ->  ( A. x  x  =  y  ->  F/ z [ y  /  x ] ph ) )
54sps 1770 . . . . 5  |-  ( A. x F/ z ph  ->  ( A. x  x  =  y  ->  F/ z [ y  /  x ] ph ) )
65a1dd 44 . . . 4  |-  ( A. x F/ z ph  ->  ( A. x  x  =  y  ->  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y
)  ->  F/ z [ y  /  x ] ph ) ) )
7 nfa1 1806 . . . . . . . 8  |-  F/ x A. x F/ z ph
8 nfnaewAUX7 29482 . . . . . . . . 9  |-  F/ x  -.  A. z  z  =  x
9 nfnaewAUX7 29482 . . . . . . . . 9  |-  F/ x  -.  A. z  z  =  y
108, 9nfan 1846 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( -.  A. z 
z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y )
117, 10nfan 1846 . . . . . . 7  |-  F/ x
( A. x F/ z ph  /\  ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y
) )
12 nfeqfNEW7 29486 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  F/ z  x  =  y )
1312adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x F/ z
ph  /\  ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z 
z  =  y ) )  ->  F/ z  x  =  y )
14 sp 1763 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x F/ z ph  ->  F/ z ph )
1514adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x F/ z
ph  /\  ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z 
z  =  y ) )  ->  F/ z ph )
1613, 15nfimd 1827 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x F/ z
ph  /\  ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z 
z  =  y ) )  ->  F/ z
( x  =  y  ->  ph ) )
1711, 16nfaldwAUX7 29452 . . . . . 6  |-  ( ( A. x F/ z
ph  /\  ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z 
z  =  y ) )  ->  F/ z A. x ( x  =  y  ->  ph ) )
1817ex 424 . . . . 5  |-  ( A. x F/ z ph  ->  ( ( -.  A. z 
z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  F/ z A. x ( x  =  y  ->  ph )
) )
19 nfnaewAUX7 29482 . . . . . . 7  |-  F/ z  -.  A. x  x  =  y
20 sb4bNEW7 29553 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( [
y  /  x ] ph 
<-> 
A. x ( x  =  y  ->  ph )
) )
2119, 20nfbidf 1790 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( F/ z [ y  /  x ] ph  <->  F/ z A. x
( x  =  y  ->  ph ) ) )
2221imbi2d 308 . . . . 5  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( (
( -.  A. z 
z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  F/ z [ y  /  x ] ph )  <->  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y
)  ->  F/ z A. x ( x  =  y  ->  ph ) ) ) )
2318, 22syl5ibrcom 214 . . . 4  |-  ( A. x F/ z ph  ->  ( -.  A. x  x  =  y  ->  (
( -.  A. z 
z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  F/ z [ y  /  x ] ph ) ) )
246, 23pm2.61d 152 . . 3  |-  ( A. x F/ z ph  ->  ( ( -.  A. z 
z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  F/ z [ y  /  x ] ph ) )
2524exp3a 426 . 2  |-  ( A. x F/ z ph  ->  ( -.  A. z  z  =  x  ->  ( -.  A. z  z  =  y  ->  F/ z [ y  /  x ] ph ) ) )
26 nfsb2NEW7 29561 . . 3  |-  ( -. 
A. z  z  =  y  ->  F/ z [ y  /  z ] ph )
27 drsb1NEW7 29506 . . . . . 6  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( [ y  /  x ] ph  <->  [ y  /  z ] ph ) )
2827drnf2wAUX7 29498 . . . . 5  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( F/ z [ y  /  x ] ph 
<->  F/ z [ y  /  z ] ph ) )
2928bicomd 193 . . . 4  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( F/ z [ y  /  z ]
ph 
<->  F/ z [ y  /  x ] ph ) )
3029aecomsNEW7 29475 . . 3  |-  ( A. z  z  =  x  ->  ( F/ z [ y  /  z ]
ph 
<->  F/ z [ y  /  x ] ph ) )
3126, 30syl5ib 211 . 2  |-  ( A. z  z  =  x  ->  ( -.  A. z 
z  =  y  ->  F/ z [ y  /  x ] ph ) )
3225, 31pm2.61d2 154 1  |-  ( A. x F/ z ph  ->  ( -.  A. z  z  =  y  ->  F/ z [ y  /  x ] ph ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1549   F/wnf 1553   [wsb 1658
This theorem is referenced by:  nfsb4wAUX7  29577  nfsbdwAUX7  29578
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-6 1744  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-7v 29442
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-an 361  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659
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