MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nghmcn Unicode version

Theorem nghmcn 18650
Description: A normed group homomorphism is a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nghmcn.j  |-  J  =  ( TopOpen `  S )
nghmcn.k  |-  K  =  ( TopOpen `  T )
Assertion
Ref Expression
nghmcn  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )

Proof of Theorem nghmcn
Dummy variables  s 
r  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nghmghm 18639 . . . 4  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )
2 eqid 2387 . . . . 5  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
3 eqid 2387 . . . . 5  |-  ( Base `  T )  =  (
Base `  T )
42, 3ghmf 14937 . . . 4  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  F :
( Base `  S ) --> ( Base `  T )
)
51, 4syl 16 . . 3  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  F :
( Base `  S ) --> ( Base `  T )
)
6 simprr 734 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
r  e.  RR+ )
7 eqid 2387 . . . . . . . . 9  |-  ( S
normOp T )  =  ( S normOp T )
87nghmcl 18632 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  ( ( S normOp T ) `  F )  e.  RR )
9 nghmrcl1 18637 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  S  e. NrmGrp )
10 nghmrcl2 18638 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  T  e. NrmGrp )
117nmoge0 18626 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  0  <_  (
( S normOp T ) `
 F ) )
129, 10, 1, 11syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  0  <_  ( ( S normOp T ) `
 F ) )
138, 12ge0p1rpd 10606 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  ( (
( S normOp T ) `
 F )  +  1 )  e.  RR+ )
1413adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( ( ( S
normOp T ) `  F
)  +  1 )  e.  RR+ )
156, 14rpdivcld 10597 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( r  /  (
( ( S normOp T ) `  F )  +  1 ) )  e.  RR+ )
16 ngpms 18518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S  e. NrmGrp  ->  S  e.  MetSp )
179, 16syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  S  e.  MetSp
)
1817ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  S  e.  MetSp
)
19 simplrl 737 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  x  e.  ( Base `  S )
)
20 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  y  e.  ( Base `  S )
)
21 eqid 2387 . . . . . . . . . . 11  |-  ( dist `  S )  =  (
dist `  S )
222, 21mscl 18381 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  MetSp  /\  x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( Base `  S )
)  ->  ( x
( dist `  S )
y )  e.  RR )
2318, 19, 20, 22syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( x
( dist `  S )
y )  e.  RR )
246adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  r  e.  RR+ )
2524rpred 10580 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  r  e.  RR )
2613ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( (
( S normOp T ) `
 F )  +  1 )  e.  RR+ )
2723, 25, 26ltmuldiv2d 10624 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( (
( ( ( S
normOp T ) `  F
)  +  1 )  x.  ( x (
dist `  S )
y ) )  < 
r  <->  ( x (
dist `  S )
y )  <  (
r  /  ( ( ( S normOp T ) `
 F )  +  1 ) ) ) )
28 ngpms 18518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e. NrmGrp  ->  T  e.  MetSp )
2910, 28syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  T  e.  MetSp
)
3029ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  T  e.  MetSp
)
315ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  F :
( Base `  S ) --> ( Base `  T )
)
3231, 19ffvelrnd 5810 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( F `  x )  e.  (
Base `  T )
)
3331, 20ffvelrnd 5810 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( F `  y )  e.  (
Base `  T )
)
34 eqid 2387 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( dist `  T )  =  (
dist `  T )
353, 34mscl 18381 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  MetSp  /\  ( F `  x )  e.  ( Base `  T
)  /\  ( F `  y )  e.  (
Base `  T )
)  ->  ( ( F `  x )
( dist `  T )
( F `  y
) )  e.  RR )
3630, 32, 33, 35syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( ( F `  x )
( dist `  T )
( F `  y
) )  e.  RR )
378ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( ( S normOp T ) `  F )  e.  RR )
3837, 23remulcld 9049 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( (
( S normOp T ) `
 F )  x.  ( x ( dist `  S ) y ) )  e.  RR )
3926rpred 10580 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( (
( S normOp T ) `
 F )  +  1 )  e.  RR )
4039, 23remulcld 9049 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( (
( ( S normOp T ) `  F )  +  1 )  x.  ( x ( dist `  S ) y ) )  e.  RR )
417, 2, 21, 34nmods 18649 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( Base `  S )
)  ->  ( ( F `  x )
( dist `  T )
( F `  y
) )  <_  (
( ( S normOp T ) `  F )  x.  ( x (
dist `  S )
y ) ) )
42413expa 1153 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  x  e.  ( Base `  S ) )  /\  y  e.  ( Base `  S ) )  -> 
( ( F `  x ) ( dist `  T ) ( F `
 y ) )  <_  ( ( ( S normOp T ) `  F )  x.  (
x ( dist `  S
) y ) ) )
4342adantlrr 702 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( ( F `  x )
( dist `  T )
( F `  y
) )  <_  (
( ( S normOp T ) `  F )  x.  ( x (
dist `  S )
y ) ) )
44 msxms 18374 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  e.  MetSp  ->  S  e.  *
MetSp )
4518, 44syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  S  e.  *
MetSp )
462, 21xmsge0 18383 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e.  * MetSp  /\  x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  0  <_  ( x ( dist `  S ) y ) )
4745, 19, 20, 46syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  0  <_  ( x ( dist `  S
) y ) )
4837lep1d 9874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( ( S normOp T ) `  F )  <_  (
( ( S normOp T ) `  F )  +  1 ) )
4937, 39, 23, 47, 48lemul1ad 9882 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( (
( S normOp T ) `
 F )  x.  ( x ( dist `  S ) y ) )  <_  ( (
( ( S normOp T ) `  F )  +  1 )  x.  ( x ( dist `  S ) y ) ) )
5036, 38, 40, 43, 49letrd 9159 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( ( F `  x )
( dist `  T )
( F `  y
) )  <_  (
( ( ( S
normOp T ) `  F
)  +  1 )  x.  ( x (
dist `  S )
y ) ) )
51 lelttr 9098 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F `  x ) ( dist `  T ) ( F `
 y ) )  e.  RR  /\  (
( ( ( S
normOp T ) `  F
)  +  1 )  x.  ( x (
dist `  S )
y ) )  e.  RR  /\  r  e.  RR )  ->  (
( ( ( F `
 x ) (
dist `  T )
( F `  y
) )  <_  (
( ( ( S
normOp T ) `  F
)  +  1 )  x.  ( x (
dist `  S )
y ) )  /\  ( ( ( ( S normOp T ) `  F )  +  1 )  x.  ( x ( dist `  S
) y ) )  <  r )  -> 
( ( F `  x ) ( dist `  T ) ( F `
 y ) )  <  r ) )
5236, 40, 25, 51syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( (
( ( F `  x ) ( dist `  T ) ( F `
 y ) )  <_  ( ( ( ( S normOp T ) `
 F )  +  1 )  x.  (
x ( dist `  S
) y ) )  /\  ( ( ( ( S normOp T ) `
 F )  +  1 )  x.  (
x ( dist `  S
) y ) )  <  r )  -> 
( ( F `  x ) ( dist `  T ) ( F `
 y ) )  <  r ) )
5350, 52mpand 657 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( (
( ( ( S
normOp T ) `  F
)  +  1 )  x.  ( x (
dist `  S )
y ) )  < 
r  ->  ( ( F `  x )
( dist `  T )
( F `  y
) )  <  r
) )
5427, 53sylbird 227 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( (
x ( dist `  S
) y )  < 
( r  /  (
( ( S normOp T ) `  F )  +  1 ) )  ->  ( ( F `
 x ) (
dist `  T )
( F `  y
) )  <  r
) )
5519, 20ovresd 6153 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( x
( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) ) y )  =  ( x ( dist `  S ) y ) )
5655breq1d 4163 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( (
x ( ( dist `  S )  |`  (
( Base `  S )  X.  ( Base `  S
) ) ) y )  <  ( r  /  ( ( ( S normOp T ) `  F )  +  1 ) )  <->  ( x
( dist `  S )
y )  <  (
r  /  ( ( ( S normOp T ) `
 F )  +  1 ) ) ) )
5732, 33ovresd 6153 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( ( F `  x )
( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ( F `  y ) )  =  ( ( F `  x ) ( dist `  T ) ( F `
 y ) ) )
5857breq1d 4163 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( (
( F `  x
) ( ( dist `  T )  |`  (
( Base `  T )  X.  ( Base `  T
) ) ) ( F `  y ) )  <  r  <->  ( ( F `  x )
( dist `  T )
( F `  y
) )  <  r
) )
5954, 56, 583imtr4d 260 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( (
x ( ( dist `  S )  |`  (
( Base `  S )  X.  ( Base `  S
) ) ) y )  <  ( r  /  ( ( ( S normOp T ) `  F )  +  1 ) )  ->  (
( F `  x
) ( ( dist `  T )  |`  (
( Base `  T )  X.  ( Base `  T
) ) ) ( F `  y ) )  <  r ) )
6059ralrimiva 2732 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  A. y  e.  ( Base `  S ) ( ( x ( (
dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) y )  <  (
r  /  ( ( ( S normOp T ) `
 F )  +  1 ) )  -> 
( ( F `  x ) ( (
dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ( F `  y
) )  <  r
) )
61 breq2 4157 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  ( r  / 
( ( ( S
normOp T ) `  F
)  +  1 ) )  ->  ( (
x ( ( dist `  S )  |`  (
( Base `  S )  X.  ( Base `  S
) ) ) y )  <  s  <->  ( x
( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) ) y )  < 
( r  /  (
( ( S normOp T ) `  F )  +  1 ) ) ) )
6261imbi1d 309 . . . . . . 7  |-  ( s  =  ( r  / 
( ( ( S
normOp T ) `  F
)  +  1 ) )  ->  ( (
( x ( (
dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) y )  <  s  ->  ( ( F `  x ) ( (
dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ( F `  y
) )  <  r
)  <->  ( ( x ( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) ) y )  < 
( r  /  (
( ( S normOp T ) `  F )  +  1 ) )  ->  ( ( F `
 x ) ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ( F `  y ) )  < 
r ) ) )
6362ralbidv 2669 . . . . . 6  |-  ( s  =  ( r  / 
( ( ( S
normOp T ) `  F
)  +  1 ) )  ->  ( A. y  e.  ( Base `  S ) ( ( x ( ( dist `  S )  |`  (
( Base `  S )  X.  ( Base `  S
) ) ) y )  <  s  -> 
( ( F `  x ) ( (
dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ( F `  y
) )  <  r
)  <->  A. y  e.  (
Base `  S )
( ( x ( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) ) y )  < 
( r  /  (
( ( S normOp T ) `  F )  +  1 ) )  ->  ( ( F `
 x ) ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ( F `  y ) )  < 
r ) ) )
6463rspcev 2995 . . . . 5  |-  ( ( ( r  /  (
( ( S normOp T ) `  F )  +  1 ) )  e.  RR+  /\  A. y  e.  ( Base `  S
) ( ( x ( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) ) y )  < 
( r  /  (
( ( S normOp T ) `  F )  +  1 ) )  ->  ( ( F `
 x ) ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ( F `  y ) )  < 
r ) )  ->  E. s  e.  RR+  A. y  e.  ( Base `  S
) ( ( x ( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) ) y )  < 
s  ->  ( ( F `  x )
( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ( F `  y ) )  < 
r ) )
6515, 60, 64syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  E. s  e.  RR+  A. y  e.  ( Base `  S
) ( ( x ( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) ) y )  < 
s  ->  ( ( F `  x )
( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ( F `  y ) )  < 
r ) )
6665ralrimivva 2741 . . 3  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  A. x  e.  ( Base `  S
) A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. y  e.  ( Base `  S ) ( ( x ( ( dist `  S )  |`  (
( Base `  S )  X.  ( Base `  S
) ) ) y )  <  s  -> 
( ( F `  x ) ( (
dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ( F `  y
) )  <  r
) )
67 eqid 2387 . . . . . 6  |-  ( (
dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) )  =  ( ( dist `  S )  |`  (
( Base `  S )  X.  ( Base `  S
) ) )
682, 67xmsxmet 18376 . . . . 5  |-  ( S  e.  * MetSp  ->  (
( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  S
) ) )
6917, 44, 683syl 19 . . . 4  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  ( ( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  S
) ) )
70 msxms 18374 . . . . 5  |-  ( T  e.  MetSp  ->  T  e.  *
MetSp )
71 eqid 2387 . . . . . 6  |-  ( (
dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) )  =  ( ( dist `  T )  |`  (
( Base `  T )  X.  ( Base `  T
) ) )
723, 71xmsxmet 18376 . . . . 5  |-  ( T  e.  * MetSp  ->  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  T
) ) )
7329, 70, 723syl 19 . . . 4  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  ( ( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  T
) ) )
74 eqid 2387 . . . . 5  |-  ( MetOpen `  ( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) ) )  =  (
MetOpen `  ( ( dist `  S )  |`  (
( Base `  S )  X.  ( Base `  S
) ) ) )
75 eqid 2387 . . . . 5  |-  ( MetOpen `  ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) )  =  (
MetOpen `  ( ( dist `  T )  |`  (
( Base `  T )  X.  ( Base `  T
) ) ) )
7674, 75metcn 18463 . . . 4  |-  ( ( ( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  S ) )  /\  ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  T ) ) )  ->  ( F  e.  ( ( MetOpen `  (
( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) )  Cn  ( MetOpen `  ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ) )  <->  ( F : ( Base `  S
) --> ( Base `  T
)  /\  A. x  e.  ( Base `  S
) A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. y  e.  ( Base `  S ) ( ( x ( ( dist `  S )  |`  (
( Base `  S )  X.  ( Base `  S
) ) ) y )  <  s  -> 
( ( F `  x ) ( (
dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ( F `  y
) )  <  r
) ) ) )
7769, 73, 76syl2anc 643 . . 3  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  ( F  e.  ( ( MetOpen `  (
( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) )  Cn  ( MetOpen `  ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ) )  <->  ( F : ( Base `  S
) --> ( Base `  T
)  /\  A. x  e.  ( Base `  S
) A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. y  e.  ( Base `  S ) ( ( x ( ( dist `  S )  |`  (
( Base `  S )  X.  ( Base `  S
) ) ) y )  <  s  -> 
( ( F `  x ) ( (
dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ( F `  y
) )  <  r
) ) ) )
785, 66, 77mpbir2and 889 . 2  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  F  e.  ( ( MetOpen `  (
( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) )  Cn  ( MetOpen `  ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ) ) )
79 nghmcn.j . . . . 5  |-  J  =  ( TopOpen `  S )
8079, 2, 67mstopn 18372 . . . 4  |-  ( S  e.  MetSp  ->  J  =  ( MetOpen `  ( ( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) ) )
8117, 80syl 16 . . 3  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  J  =  ( MetOpen `  ( ( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) ) )
82 nghmcn.k . . . . 5  |-  K  =  ( TopOpen `  T )
8382, 3, 71mstopn 18372 . . . 4  |-  ( T  e.  MetSp  ->  K  =  ( MetOpen `  ( ( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) )
8429, 83syl 16 . . 3  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  K  =  ( MetOpen `  ( ( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) )
8581, 84oveq12d 6038 . 2  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  ( J  Cn  K )  =  ( ( MetOpen `  ( ( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) )  Cn  ( MetOpen `  ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ) ) )
8678, 85eleqtrrd 2464 1  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2649   E.wrex 2650   class class class wbr 4153    X. cxp 4816    |` cres 4820   -->wf 5390   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   RRcr 8922   0cc0 8923   1c1 8924    + caddc 8926    x. cmul 8928    < clt 9053    <_ cle 9054    / cdiv 9609   RR+crp 10544   Basecbs 13396   distcds 13465   TopOpenctopn 13576    GrpHom cghm 14930   * Metcxmt 16612   MetOpencmopn 16617    Cn ccn 17210   *
MetSpcxme 18256   MetSpcmt 18257  NrmGrpcngp 18496   normOpcnmo 18610   NGHom cnghm 18611
This theorem is referenced by:  nmhmcn  18999
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-er 6841  df-map 6956  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-sup 7381  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-q 10507  df-rp 10545  df-xneg 10642  df-xadd 10643  df-xmul 10644  df-ico 10854  df-topgen 13594  df-0g 13654  df-mnd 14617  df-grp 14739  df-minusg 14740  df-sbg 14741  df-ghm 14931  df-xmet 16619  df-met 16620  df-bl 16621  df-mopn 16622  df-top 16886  df-bases 16888  df-topon 16889  df-topsp 16890  df-cn 17213  df-cnp 17214  df-xms 18259  df-ms 18260  df-nm 18501  df-ngp 18502  df-nmo 18613  df-nghm 18614
  Copyright terms: Public domain W3C validator