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Theorem nghmcn 18270
Description: A normed group homomorphism is a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nghmcn.j  |-  J  =  ( TopOpen `  S )
nghmcn.k  |-  K  =  ( TopOpen `  T )
Assertion
Ref Expression
nghmcn  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )

Proof of Theorem nghmcn
Dummy variables  s 
r  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nghmghm 18259 . . . 4  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )
2 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
3 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( Base `  T )  =  (
Base `  T )
42, 3ghmf 14703 . . . 4  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  F :
( Base `  S ) --> ( Base `  T )
)
51, 4syl 15 . . 3  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  F :
( Base `  S ) --> ( Base `  T )
)
6 simprr 733 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
r  e.  RR+ )
7 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( S
normOp T )  =  ( S normOp T )
87nghmcl 18252 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  ( ( S normOp T ) `  F )  e.  RR )
9 nghmrcl1 18257 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  S  e. NrmGrp )
10 nghmrcl2 18258 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  T  e. NrmGrp )
117nmoge0 18246 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  0  <_  (
( S normOp T ) `
 F ) )
129, 10, 1, 11syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  0  <_  ( ( S normOp T ) `
 F ) )
138, 12ge0p1rpd 10432 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  ( (
( S normOp T ) `
 F )  +  1 )  e.  RR+ )
1413adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( ( ( S
normOp T ) `  F
)  +  1 )  e.  RR+ )
156, 14rpdivcld 10423 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( r  /  (
( ( S normOp T ) `  F )  +  1 ) )  e.  RR+ )
16 ngpms 18138 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S  e. NrmGrp  ->  S  e.  MetSp )
179, 16syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  S  e.  MetSp
)
1817ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  S  e.  MetSp
)
19 simplrl 736 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  x  e.  ( Base `  S )
)
20 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  y  e.  ( Base `  S )
)
21 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( dist `  S )  =  (
dist `  S )
222, 21mscl 18023 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  MetSp  /\  x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( Base `  S )
)  ->  ( x
( dist `  S )
y )  e.  RR )
2318, 19, 20, 22syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( x
( dist `  S )
y )  e.  RR )
246adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  r  e.  RR+ )
2524rpred 10406 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  r  e.  RR )
2613ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( (
( S normOp T ) `
 F )  +  1 )  e.  RR+ )
2723, 25, 26ltmuldiv2d 10450 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( (
( ( ( S
normOp T ) `  F
)  +  1 )  x.  ( x (
dist `  S )
y ) )  < 
r  <->  ( x (
dist `  S )
y )  <  (
r  /  ( ( ( S normOp T ) `
 F )  +  1 ) ) ) )
28 ngpms 18138 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e. NrmGrp  ->  T  e.  MetSp )
2910, 28syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  T  e.  MetSp
)
3029ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  T  e.  MetSp
)
315ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  F :
( Base `  S ) --> ( Base `  T )
)
32 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : ( Base `  S ) --> ( Base `  T )  /\  x  e.  ( Base `  S
) )  ->  ( F `  x )  e.  ( Base `  T
) )
3331, 19, 32syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( F `  x )  e.  (
Base `  T )
)
34 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : ( Base `  S ) --> ( Base `  T )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  ( F `  y )  e.  ( Base `  T
) )
3531, 20, 34syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( F `  y )  e.  (
Base `  T )
)
36 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( dist `  T )  =  (
dist `  T )
373, 36mscl 18023 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  MetSp  /\  ( F `  x )  e.  ( Base `  T
)  /\  ( F `  y )  e.  (
Base `  T )
)  ->  ( ( F `  x )
( dist `  T )
( F `  y
) )  e.  RR )
3830, 33, 35, 37syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( ( F `  x )
( dist `  T )
( F `  y
) )  e.  RR )
398ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( ( S normOp T ) `  F )  e.  RR )
4039, 23remulcld 8879 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( (
( S normOp T ) `
 F )  x.  ( x ( dist `  S ) y ) )  e.  RR )
4126rpred 10406 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( (
( S normOp T ) `
 F )  +  1 )  e.  RR )
4241, 23remulcld 8879 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( (
( ( S normOp T ) `  F )  +  1 )  x.  ( x ( dist `  S ) y ) )  e.  RR )
437, 2, 21, 36nmods 18269 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( Base `  S )
)  ->  ( ( F `  x )
( dist `  T )
( F `  y
) )  <_  (
( ( S normOp T ) `  F )  x.  ( x (
dist `  S )
y ) ) )
44433expa 1151 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  x  e.  ( Base `  S ) )  /\  y  e.  ( Base `  S ) )  -> 
( ( F `  x ) ( dist `  T ) ( F `
 y ) )  <_  ( ( ( S normOp T ) `  F )  x.  (
x ( dist `  S
) y ) ) )
4544adantlrr 701 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( ( F `  x )
( dist `  T )
( F `  y
) )  <_  (
( ( S normOp T ) `  F )  x.  ( x (
dist `  S )
y ) ) )
46 msxms 18016 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  e.  MetSp  ->  S  e.  *
MetSp )
4718, 46syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  S  e.  *
MetSp )
482, 21xmsge0 18025 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e.  * MetSp  /\  x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  0  <_  ( x ( dist `  S ) y ) )
4947, 19, 20, 48syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  0  <_  ( x ( dist `  S
) y ) )
5039lep1d 9704 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( ( S normOp T ) `  F )  <_  (
( ( S normOp T ) `  F )  +  1 ) )
5139, 41, 23, 49, 50lemul1ad 9712 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( (
( S normOp T ) `
 F )  x.  ( x ( dist `  S ) y ) )  <_  ( (
( ( S normOp T ) `  F )  +  1 )  x.  ( x ( dist `  S ) y ) ) )
5238, 40, 42, 45, 51letrd 8989 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( ( F `  x )
( dist `  T )
( F `  y
) )  <_  (
( ( ( S
normOp T ) `  F
)  +  1 )  x.  ( x (
dist `  S )
y ) ) )
53 lelttr 8928 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F `  x ) ( dist `  T ) ( F `
 y ) )  e.  RR  /\  (
( ( ( S
normOp T ) `  F
)  +  1 )  x.  ( x (
dist `  S )
y ) )  e.  RR  /\  r  e.  RR )  ->  (
( ( ( F `
 x ) (
dist `  T )
( F `  y
) )  <_  (
( ( ( S
normOp T ) `  F
)  +  1 )  x.  ( x (
dist `  S )
y ) )  /\  ( ( ( ( S normOp T ) `  F )  +  1 )  x.  ( x ( dist `  S
) y ) )  <  r )  -> 
( ( F `  x ) ( dist `  T ) ( F `
 y ) )  <  r ) )
5438, 42, 25, 53syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( (
( ( F `  x ) ( dist `  T ) ( F `
 y ) )  <_  ( ( ( ( S normOp T ) `
 F )  +  1 )  x.  (
x ( dist `  S
) y ) )  /\  ( ( ( ( S normOp T ) `
 F )  +  1 )  x.  (
x ( dist `  S
) y ) )  <  r )  -> 
( ( F `  x ) ( dist `  T ) ( F `
 y ) )  <  r ) )
5552, 54mpand 656 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( (
( ( ( S
normOp T ) `  F
)  +  1 )  x.  ( x (
dist `  S )
y ) )  < 
r  ->  ( ( F `  x )
( dist `  T )
( F `  y
) )  <  r
) )
5627, 55sylbird 226 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( (
x ( dist `  S
) y )  < 
( r  /  (
( ( S normOp T ) `  F )  +  1 ) )  ->  ( ( F `
 x ) (
dist `  T )
( F `  y
) )  <  r
) )
5719, 20ovresd 6004 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( x
( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) ) y )  =  ( x ( dist `  S ) y ) )
5857breq1d 4049 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( (
x ( ( dist `  S )  |`  (
( Base `  S )  X.  ( Base `  S
) ) ) y )  <  ( r  /  ( ( ( S normOp T ) `  F )  +  1 ) )  <->  ( x
( dist `  S )
y )  <  (
r  /  ( ( ( S normOp T ) `
 F )  +  1 ) ) ) )
5933, 35ovresd 6004 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( ( F `  x )
( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ( F `  y ) )  =  ( ( F `  x ) ( dist `  T ) ( F `
 y ) ) )
6059breq1d 4049 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( (
( F `  x
) ( ( dist `  T )  |`  (
( Base `  T )  X.  ( Base `  T
) ) ) ( F `  y ) )  <  r  <->  ( ( F `  x )
( dist `  T )
( F `  y
) )  <  r
) )
6156, 58, 603imtr4d 259 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( (
x ( ( dist `  S )  |`  (
( Base `  S )  X.  ( Base `  S
) ) ) y )  <  ( r  /  ( ( ( S normOp T ) `  F )  +  1 ) )  ->  (
( F `  x
) ( ( dist `  T )  |`  (
( Base `  T )  X.  ( Base `  T
) ) ) ( F `  y ) )  <  r ) )
6261ralrimiva 2639 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  A. y  e.  ( Base `  S ) ( ( x ( (
dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) y )  <  (
r  /  ( ( ( S normOp T ) `
 F )  +  1 ) )  -> 
( ( F `  x ) ( (
dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ( F `  y
) )  <  r
) )
63 breq2 4043 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  ( r  / 
( ( ( S
normOp T ) `  F
)  +  1 ) )  ->  ( (
x ( ( dist `  S )  |`  (
( Base `  S )  X.  ( Base `  S
) ) ) y )  <  s  <->  ( x
( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) ) y )  < 
( r  /  (
( ( S normOp T ) `  F )  +  1 ) ) ) )
6463imbi1d 308 . . . . . . 7  |-  ( s  =  ( r  / 
( ( ( S
normOp T ) `  F
)  +  1 ) )  ->  ( (
( x ( (
dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) y )  <  s  ->  ( ( F `  x ) ( (
dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ( F `  y
) )  <  r
)  <->  ( ( x ( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) ) y )  < 
( r  /  (
( ( S normOp T ) `  F )  +  1 ) )  ->  ( ( F `
 x ) ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ( F `  y ) )  < 
r ) ) )
6564ralbidv 2576 . . . . . 6  |-  ( s  =  ( r  / 
( ( ( S
normOp T ) `  F
)  +  1 ) )  ->  ( A. y  e.  ( Base `  S ) ( ( x ( ( dist `  S )  |`  (
( Base `  S )  X.  ( Base `  S
) ) ) y )  <  s  -> 
( ( F `  x ) ( (
dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ( F `  y
) )  <  r
)  <->  A. y  e.  (
Base `  S )
( ( x ( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) ) y )  < 
( r  /  (
( ( S normOp T ) `  F )  +  1 ) )  ->  ( ( F `
 x ) ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ( F `  y ) )  < 
r ) ) )
6665rspcev 2897 . . . . 5  |-  ( ( ( r  /  (
( ( S normOp T ) `  F )  +  1 ) )  e.  RR+  /\  A. y  e.  ( Base `  S
) ( ( x ( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) ) y )  < 
( r  /  (
( ( S normOp T ) `  F )  +  1 ) )  ->  ( ( F `
 x ) ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ( F `  y ) )  < 
r ) )  ->  E. s  e.  RR+  A. y  e.  ( Base `  S
) ( ( x ( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) ) y )  < 
s  ->  ( ( F `  x )
( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ( F `  y ) )  < 
r ) )
6715, 62, 66syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  E. s  e.  RR+  A. y  e.  ( Base `  S
) ( ( x ( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) ) y )  < 
s  ->  ( ( F `  x )
( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ( F `  y ) )  < 
r ) )
6867ralrimivva 2648 . . 3  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  A. x  e.  ( Base `  S
) A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. y  e.  ( Base `  S ) ( ( x ( ( dist `  S )  |`  (
( Base `  S )  X.  ( Base `  S
) ) ) y )  <  s  -> 
( ( F `  x ) ( (
dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ( F `  y
) )  <  r
) )
69 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( (
dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) )  =  ( ( dist `  S )  |`  (
( Base `  S )  X.  ( Base `  S
) ) )
702, 69xmsxmet 18018 . . . . 5  |-  ( S  e.  * MetSp  ->  (
( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  S
) ) )
7117, 46, 703syl 18 . . . 4  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  ( ( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  S
) ) )
72 msxms 18016 . . . . 5  |-  ( T  e.  MetSp  ->  T  e.  *
MetSp )
73 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( (
dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) )  =  ( ( dist `  T )  |`  (
( Base `  T )  X.  ( Base `  T
) ) )
743, 73xmsxmet 18018 . . . . 5  |-  ( T  e.  * MetSp  ->  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  T
) ) )
7529, 72, 743syl 18 . . . 4  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  ( ( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  T
) ) )
76 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( MetOpen `  ( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) ) )  =  (
MetOpen `  ( ( dist `  S )  |`  (
( Base `  S )  X.  ( Base `  S
) ) ) )
77 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( MetOpen `  ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) )  =  (
MetOpen `  ( ( dist `  T )  |`  (
( Base `  T )  X.  ( Base `  T
) ) ) )
7876, 77metcn 18105 . . . 4  |-  ( ( ( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  S ) )  /\  ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  T ) ) )  ->  ( F  e.  ( ( MetOpen `  (
( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) )  Cn  ( MetOpen `  ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ) )  <->  ( F : ( Base `  S
) --> ( Base `  T
)  /\  A. x  e.  ( Base `  S
) A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. y  e.  ( Base `  S ) ( ( x ( ( dist `  S )  |`  (
( Base `  S )  X.  ( Base `  S
) ) ) y )  <  s  -> 
( ( F `  x ) ( (
dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ( F `  y
) )  <  r
) ) ) )
7971, 75, 78syl2anc 642 . . 3  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  ( F  e.  ( ( MetOpen `  (
( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) )  Cn  ( MetOpen `  ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ) )  <->  ( F : ( Base `  S
) --> ( Base `  T
)  /\  A. x  e.  ( Base `  S
) A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. y  e.  ( Base `  S ) ( ( x ( ( dist `  S )  |`  (
( Base `  S )  X.  ( Base `  S
) ) ) y )  <  s  -> 
( ( F `  x ) ( (
dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ( F `  y
) )  <  r
) ) ) )
805, 68, 79mpbir2and 888 . 2  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  F  e.  ( ( MetOpen `  (
( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) )  Cn  ( MetOpen `  ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ) ) )
81 nghmcn.j . . . . 5  |-  J  =  ( TopOpen `  S )
8281, 2, 69mstopn 18014 . . . 4  |-  ( S  e.  MetSp  ->  J  =  ( MetOpen `  ( ( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) ) )
8317, 82syl 15 . . 3  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  J  =  ( MetOpen `  ( ( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) ) )
84 nghmcn.k . . . . 5  |-  K  =  ( TopOpen `  T )
8584, 3, 73mstopn 18014 . . . 4  |-  ( T  e.  MetSp  ->  K  =  ( MetOpen `  ( ( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) )
8629, 85syl 15 . . 3  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  K  =  ( MetOpen `  ( ( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) )
8783, 86oveq12d 5892 . 2  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  ( J  Cn  K )  =  ( ( MetOpen `  ( ( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) )  Cn  ( MetOpen `  ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ) ) )
8880, 87eleqtrrd 2373 1  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   class class class wbr 4039    X. cxp 4703    |` cres 4707   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    / cdiv 9439   RR+crp 10370   Basecbs 13164   distcds 13233   TopOpenctopn 13342    GrpHom cghm 14696   * Metcxmt 16385   MetOpencmopn 16388    Cn ccn 16970   *
MetSpcxme 17898   MetSpcmt 17899  NrmGrpcngp 18116   normOpcnmo 18230   NGHom cnghm 18231
This theorem is referenced by:  nmhmcn  18617
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ico 10678  df-topgen 13360  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-ghm 14697  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-xms 17901  df-ms 17902  df-nm 18121  df-ngp 18122  df-nmo 18233  df-nghm 18234
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