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Theorem nghmcn 18771
Description: A normed group homomorphism is a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nghmcn.j  |-  J  =  ( TopOpen `  S )
nghmcn.k  |-  K  =  ( TopOpen `  T )
Assertion
Ref Expression
nghmcn  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )

Proof of Theorem nghmcn
Dummy variables  s 
r  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nghmghm 18760 . . . 4  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )
2 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
3 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( Base `  T )  =  (
Base `  T )
42, 3ghmf 15002 . . . 4  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  F :
( Base `  S ) --> ( Base `  T )
)
51, 4syl 16 . . 3  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  F :
( Base `  S ) --> ( Base `  T )
)
6 simprr 734 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
r  e.  RR+ )
7 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  ( S
normOp T )  =  ( S normOp T )
87nghmcl 18753 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  ( ( S normOp T ) `  F )  e.  RR )
9 nghmrcl1 18758 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  S  e. NrmGrp )
10 nghmrcl2 18759 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  T  e. NrmGrp )
117nmoge0 18747 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  0  <_  (
( S normOp T ) `
 F ) )
129, 10, 1, 11syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  0  <_  ( ( S normOp T ) `
 F ) )
138, 12ge0p1rpd 10666 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  ( (
( S normOp T ) `
 F )  +  1 )  e.  RR+ )
1413adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( ( ( S
normOp T ) `  F
)  +  1 )  e.  RR+ )
156, 14rpdivcld 10657 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( r  /  (
( ( S normOp T ) `  F )  +  1 ) )  e.  RR+ )
16 ngpms 18639 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S  e. NrmGrp  ->  S  e.  MetSp )
179, 16syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  S  e.  MetSp
)
1817ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  S  e.  MetSp
)
19 simplrl 737 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  x  e.  ( Base `  S )
)
20 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  y  e.  ( Base `  S )
)
21 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( dist `  S )  =  (
dist `  S )
222, 21mscl 18483 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  MetSp  /\  x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( Base `  S )
)  ->  ( x
( dist `  S )
y )  e.  RR )
2318, 19, 20, 22syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( x
( dist `  S )
y )  e.  RR )
246adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  r  e.  RR+ )
2524rpred 10640 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  r  e.  RR )
2613ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( (
( S normOp T ) `
 F )  +  1 )  e.  RR+ )
2723, 25, 26ltmuldiv2d 10684 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( (
( ( ( S
normOp T ) `  F
)  +  1 )  x.  ( x (
dist `  S )
y ) )  < 
r  <->  ( x (
dist `  S )
y )  <  (
r  /  ( ( ( S normOp T ) `
 F )  +  1 ) ) ) )
28 ngpms 18639 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e. NrmGrp  ->  T  e.  MetSp )
2910, 28syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  T  e.  MetSp
)
3029ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  T  e.  MetSp
)
315ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  F :
( Base `  S ) --> ( Base `  T )
)
3231, 19ffvelrnd 5863 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( F `  x )  e.  (
Base `  T )
)
3331, 20ffvelrnd 5863 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( F `  y )  e.  (
Base `  T )
)
34 eqid 2435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( dist `  T )  =  (
dist `  T )
353, 34mscl 18483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  MetSp  /\  ( F `  x )  e.  ( Base `  T
)  /\  ( F `  y )  e.  (
Base `  T )
)  ->  ( ( F `  x )
( dist `  T )
( F `  y
) )  e.  RR )
3630, 32, 33, 35syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( ( F `  x )
( dist `  T )
( F `  y
) )  e.  RR )
378ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( ( S normOp T ) `  F )  e.  RR )
3837, 23remulcld 9108 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( (
( S normOp T ) `
 F )  x.  ( x ( dist `  S ) y ) )  e.  RR )
3926rpred 10640 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( (
( S normOp T ) `
 F )  +  1 )  e.  RR )
4039, 23remulcld 9108 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( (
( ( S normOp T ) `  F )  +  1 )  x.  ( x ( dist `  S ) y ) )  e.  RR )
417, 2, 21, 34nmods 18770 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( Base `  S )
)  ->  ( ( F `  x )
( dist `  T )
( F `  y
) )  <_  (
( ( S normOp T ) `  F )  x.  ( x (
dist `  S )
y ) ) )
42413expa 1153 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  x  e.  ( Base `  S ) )  /\  y  e.  ( Base `  S ) )  -> 
( ( F `  x ) ( dist `  T ) ( F `
 y ) )  <_  ( ( ( S normOp T ) `  F )  x.  (
x ( dist `  S
) y ) ) )
4342adantlrr 702 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( ( F `  x )
( dist `  T )
( F `  y
) )  <_  (
( ( S normOp T ) `  F )  x.  ( x (
dist `  S )
y ) ) )
44 msxms 18476 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  e.  MetSp  ->  S  e.  *
MetSp )
4518, 44syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  S  e.  *
MetSp )
462, 21xmsge0 18485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e.  * MetSp  /\  x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  0  <_  ( x ( dist `  S ) y ) )
4745, 19, 20, 46syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  0  <_  ( x ( dist `  S
) y ) )
4837lep1d 9934 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( ( S normOp T ) `  F )  <_  (
( ( S normOp T ) `  F )  +  1 ) )
4937, 39, 23, 47, 48lemul1ad 9942 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( (
( S normOp T ) `
 F )  x.  ( x ( dist `  S ) y ) )  <_  ( (
( ( S normOp T ) `  F )  +  1 )  x.  ( x ( dist `  S ) y ) ) )
5036, 38, 40, 43, 49letrd 9219 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( ( F `  x )
( dist `  T )
( F `  y
) )  <_  (
( ( ( S
normOp T ) `  F
)  +  1 )  x.  ( x (
dist `  S )
y ) ) )
51 lelttr 9157 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F `  x ) ( dist `  T ) ( F `
 y ) )  e.  RR  /\  (
( ( ( S
normOp T ) `  F
)  +  1 )  x.  ( x (
dist `  S )
y ) )  e.  RR  /\  r  e.  RR )  ->  (
( ( ( F `
 x ) (
dist `  T )
( F `  y
) )  <_  (
( ( ( S
normOp T ) `  F
)  +  1 )  x.  ( x (
dist `  S )
y ) )  /\  ( ( ( ( S normOp T ) `  F )  +  1 )  x.  ( x ( dist `  S
) y ) )  <  r )  -> 
( ( F `  x ) ( dist `  T ) ( F `
 y ) )  <  r ) )
5236, 40, 25, 51syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( (
( ( F `  x ) ( dist `  T ) ( F `
 y ) )  <_  ( ( ( ( S normOp T ) `
 F )  +  1 )  x.  (
x ( dist `  S
) y ) )  /\  ( ( ( ( S normOp T ) `
 F )  +  1 )  x.  (
x ( dist `  S
) y ) )  <  r )  -> 
( ( F `  x ) ( dist `  T ) ( F `
 y ) )  <  r ) )
5350, 52mpand 657 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( (
( ( ( S
normOp T ) `  F
)  +  1 )  x.  ( x (
dist `  S )
y ) )  < 
r  ->  ( ( F `  x )
( dist `  T )
( F `  y
) )  <  r
) )
5427, 53sylbird 227 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( (
x ( dist `  S
) y )  < 
( r  /  (
( ( S normOp T ) `  F )  +  1 ) )  ->  ( ( F `
 x ) (
dist `  T )
( F `  y
) )  <  r
) )
5519, 20ovresd 6206 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( x
( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) ) y )  =  ( x ( dist `  S ) y ) )
5655breq1d 4214 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( (
x ( ( dist `  S )  |`  (
( Base `  S )  X.  ( Base `  S
) ) ) y )  <  ( r  /  ( ( ( S normOp T ) `  F )  +  1 ) )  <->  ( x
( dist `  S )
y )  <  (
r  /  ( ( ( S normOp T ) `
 F )  +  1 ) ) ) )
5732, 33ovresd 6206 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( ( F `  x )
( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ( F `  y ) )  =  ( ( F `  x ) ( dist `  T ) ( F `
 y ) ) )
5857breq1d 4214 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( (
( F `  x
) ( ( dist `  T )  |`  (
( Base `  T )  X.  ( Base `  T
) ) ) ( F `  y ) )  <  r  <->  ( ( F `  x )
( dist `  T )
( F `  y
) )  <  r
) )
5954, 56, 583imtr4d 260 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  (
Base `  S )
)  ->  ( (
x ( ( dist `  S )  |`  (
( Base `  S )  X.  ( Base `  S
) ) ) y )  <  ( r  /  ( ( ( S normOp T ) `  F )  +  1 ) )  ->  (
( F `  x
) ( ( dist `  T )  |`  (
( Base `  T )  X.  ( Base `  T
) ) ) ( F `  y ) )  <  r ) )
6059ralrimiva 2781 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  A. y  e.  ( Base `  S ) ( ( x ( (
dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) y )  <  (
r  /  ( ( ( S normOp T ) `
 F )  +  1 ) )  -> 
( ( F `  x ) ( (
dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ( F `  y
) )  <  r
) )
61 breq2 4208 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  ( r  / 
( ( ( S
normOp T ) `  F
)  +  1 ) )  ->  ( (
x ( ( dist `  S )  |`  (
( Base `  S )  X.  ( Base `  S
) ) ) y )  <  s  <->  ( x
( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) ) y )  < 
( r  /  (
( ( S normOp T ) `  F )  +  1 ) ) ) )
6261imbi1d 309 . . . . . . 7  |-  ( s  =  ( r  / 
( ( ( S
normOp T ) `  F
)  +  1 ) )  ->  ( (
( x ( (
dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) y )  <  s  ->  ( ( F `  x ) ( (
dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ( F `  y
) )  <  r
)  <->  ( ( x ( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) ) y )  < 
( r  /  (
( ( S normOp T ) `  F )  +  1 ) )  ->  ( ( F `
 x ) ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ( F `  y ) )  < 
r ) ) )
6362ralbidv 2717 . . . . . 6  |-  ( s  =  ( r  / 
( ( ( S
normOp T ) `  F
)  +  1 ) )  ->  ( A. y  e.  ( Base `  S ) ( ( x ( ( dist `  S )  |`  (
( Base `  S )  X.  ( Base `  S
) ) ) y )  <  s  -> 
( ( F `  x ) ( (
dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ( F `  y
) )  <  r
)  <->  A. y  e.  (
Base `  S )
( ( x ( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) ) y )  < 
( r  /  (
( ( S normOp T ) `  F )  +  1 ) )  ->  ( ( F `
 x ) ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ( F `  y ) )  < 
r ) ) )
6463rspcev 3044 . . . . 5  |-  ( ( ( r  /  (
( ( S normOp T ) `  F )  +  1 ) )  e.  RR+  /\  A. y  e.  ( Base `  S
) ( ( x ( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) ) y )  < 
( r  /  (
( ( S normOp T ) `  F )  +  1 ) )  ->  ( ( F `
 x ) ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ( F `  y ) )  < 
r ) )  ->  E. s  e.  RR+  A. y  e.  ( Base `  S
) ( ( x ( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) ) y )  < 
s  ->  ( ( F `  x )
( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ( F `  y ) )  < 
r ) )
6515, 60, 64syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  E. s  e.  RR+  A. y  e.  ( Base `  S
) ( ( x ( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) ) y )  < 
s  ->  ( ( F `  x )
( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ( F `  y ) )  < 
r ) )
6665ralrimivva 2790 . . 3  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  A. x  e.  ( Base `  S
) A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. y  e.  ( Base `  S ) ( ( x ( ( dist `  S )  |`  (
( Base `  S )  X.  ( Base `  S
) ) ) y )  <  s  -> 
( ( F `  x ) ( (
dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ( F `  y
) )  <  r
) )
67 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( (
dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) )  =  ( ( dist `  S )  |`  (
( Base `  S )  X.  ( Base `  S
) ) )
682, 67xmsxmet 18478 . . . . 5  |-  ( S  e.  * MetSp  ->  (
( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  S
) ) )
6917, 44, 683syl 19 . . . 4  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  ( ( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  S
) ) )
70 msxms 18476 . . . . 5  |-  ( T  e.  MetSp  ->  T  e.  *
MetSp )
71 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( (
dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) )  =  ( ( dist `  T )  |`  (
( Base `  T )  X.  ( Base `  T
) ) )
723, 71xmsxmet 18478 . . . . 5  |-  ( T  e.  * MetSp  ->  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  T
) ) )
7329, 70, 723syl 19 . . . 4  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  ( ( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  T
) ) )
74 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( MetOpen `  ( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) ) )  =  (
MetOpen `  ( ( dist `  S )  |`  (
( Base `  S )  X.  ( Base `  S
) ) ) )
75 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( MetOpen `  ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) )  =  (
MetOpen `  ( ( dist `  T )  |`  (
( Base `  T )  X.  ( Base `  T
) ) ) )
7674, 75metcn 18565 . . . 4  |-  ( ( ( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  S ) )  /\  ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  T ) ) )  ->  ( F  e.  ( ( MetOpen `  (
( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) )  Cn  ( MetOpen `  ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ) )  <->  ( F : ( Base `  S
) --> ( Base `  T
)  /\  A. x  e.  ( Base `  S
) A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. y  e.  ( Base `  S ) ( ( x ( ( dist `  S )  |`  (
( Base `  S )  X.  ( Base `  S
) ) ) y )  <  s  -> 
( ( F `  x ) ( (
dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ( F `  y
) )  <  r
) ) ) )
7769, 73, 76syl2anc 643 . . 3  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  ( F  e.  ( ( MetOpen `  (
( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) )  Cn  ( MetOpen `  ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ) )  <->  ( F : ( Base `  S
) --> ( Base `  T
)  /\  A. x  e.  ( Base `  S
) A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. y  e.  ( Base `  S ) ( ( x ( ( dist `  S )  |`  (
( Base `  S )  X.  ( Base `  S
) ) ) y )  <  s  -> 
( ( F `  x ) ( (
dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ( F `  y
) )  <  r
) ) ) )
785, 66, 77mpbir2and 889 . 2  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  F  e.  ( ( MetOpen `  (
( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) )  Cn  ( MetOpen `  ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ) ) )
79 nghmcn.j . . . . 5  |-  J  =  ( TopOpen `  S )
8079, 2, 67mstopn 18474 . . . 4  |-  ( S  e.  MetSp  ->  J  =  ( MetOpen `  ( ( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) ) )
8117, 80syl 16 . . 3  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  J  =  ( MetOpen `  ( ( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) ) )
82 nghmcn.k . . . . 5  |-  K  =  ( TopOpen `  T )
8382, 3, 71mstopn 18474 . . . 4  |-  ( T  e.  MetSp  ->  K  =  ( MetOpen `  ( ( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) )
8429, 83syl 16 . . 3  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  K  =  ( MetOpen `  ( ( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) )
8581, 84oveq12d 6091 . 2  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  ( J  Cn  K )  =  ( ( MetOpen `  ( ( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) )  Cn  ( MetOpen `  ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ) ) )
8678, 85eleqtrrd 2512 1  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698   class class class wbr 4204    X. cxp 4868    |` cres 4872   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   RRcr 8981   0cc0 8982   1c1 8983    + caddc 8985    x. cmul 8987    < clt 9112    <_ cle 9113    / cdiv 9669   RR+crp 10604   Basecbs 13461   distcds 13530   TopOpenctopn 13641    GrpHom cghm 14995   * Metcxmt 16678   MetOpencmopn 16683    Cn ccn 17280   *
MetSpcxme 18339   MetSpcmt 18340  NrmGrpcngp 18617   normOpcnmo 18731   NGHom cnghm 18732
This theorem is referenced by:  nmhmcn  19120
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ico 10914  df-topgen 13659  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-ghm 14996  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-cn 17283  df-cnp 17284  df-xms 18342  df-ms 18343  df-nm 18622  df-ngp 18623  df-nmo 18734  df-nghm 18735
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