Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nghmcn Unicode version

Theorem nghmcn 18270
 Description: A normed group homomorphism is a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nghmcn.j
nghmcn.k
Assertion
Ref Expression
nghmcn NGHom

Proof of Theorem nghmcn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nghmghm 18259 . . . 4 NGHom
2 eqid 2296 . . . . 5
3 eqid 2296 . . . . 5
42, 3ghmf 14703 . . . 4
51, 4syl 15 . . 3 NGHom
6 simprr 733 . . . . . 6 NGHom
7 eqid 2296 . . . . . . . . 9
87nghmcl 18252 . . . . . . . 8 NGHom
9 nghmrcl1 18257 . . . . . . . . 9 NGHom NrmGrp
10 nghmrcl2 18258 . . . . . . . . 9 NGHom NrmGrp
117nmoge0 18246 . . . . . . . . 9 NrmGrp NrmGrp
129, 10, 1, 11syl3anc 1182 . . . . . . . 8 NGHom
138, 12ge0p1rpd 10432 . . . . . . 7 NGHom
1413adantr 451 . . . . . 6 NGHom
156, 14rpdivcld 10423 . . . . 5 NGHom
16 ngpms 18138 . . . . . . . . . . . 12 NrmGrp
179, 16syl 15 . . . . . . . . . . 11 NGHom
1817ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10 NGHom
19 simplrl 736 . . . . . . . . . 10 NGHom
20 simpr 447 . . . . . . . . . 10 NGHom
21 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11
222, 21mscl 18023 . . . . . . . . . 10
2318, 19, 20, 22syl3anc 1182 . . . . . . . . 9 NGHom
246adantr 451 . . . . . . . . . 10 NGHom
2524rpred 10406 . . . . . . . . 9 NGHom
2613ad2antrr 706 . . . . . . . . 9 NGHom
2723, 25, 26ltmuldiv2d 10450 . . . . . . . 8 NGHom
28 ngpms 18138 . . . . . . . . . . . . 13 NrmGrp
2910, 28syl 15 . . . . . . . . . . . 12 NGHom
3029ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11 NGHom
315ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12 NGHom
32 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . 12
3331, 19, 32syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11 NGHom
34 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . 12
3531, 20, 34syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11 NGHom
36 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12
373, 36mscl 18023 . . . . . . . . . . 11
3830, 33, 35, 37syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10 NGHom
398ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11 NGHom
4039, 23remulcld 8879 . . . . . . . . . 10 NGHom
4126rpred 10406 . . . . . . . . . . 11 NGHom
4241, 23remulcld 8879 . . . . . . . . . 10 NGHom
437, 2, 21, 36nmods 18269 . . . . . . . . . . . 12 NGHom
44433expa 1151 . . . . . . . . . . 11 NGHom
4544adantlrr 701 . . . . . . . . . 10 NGHom
46 msxms 18016 . . . . . . . . . . . . 13
4718, 46syl 15 . . . . . . . . . . . 12 NGHom
482, 21xmsge0 18025 . . . . . . . . . . . 12
4947, 19, 20, 48syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11 NGHom
5039lep1d 9704 . . . . . . . . . . 11 NGHom
5139, 41, 23, 49, 50lemul1ad 9712 . . . . . . . . . 10 NGHom
5238, 40, 42, 45, 51letrd 8989 . . . . . . . . 9 NGHom
53 lelttr 8928 . . . . . . . . . 10
5438, 42, 25, 53syl3anc 1182 . . . . . . . . 9 NGHom
5552, 54mpand 656 . . . . . . . 8 NGHom
5627, 55sylbird 226 . . . . . . 7 NGHom
5719, 20ovresd 6004 . . . . . . . 8 NGHom
5857breq1d 4049 . . . . . . 7 NGHom
5933, 35ovresd 6004 . . . . . . . 8 NGHom
6059breq1d 4049 . . . . . . 7 NGHom
6156, 58, 603imtr4d 259 . . . . . 6 NGHom
6261ralrimiva 2639 . . . . 5 NGHom
63 breq2 4043 . . . . . . . 8
6463imbi1d 308 . . . . . . 7
6564ralbidv 2576 . . . . . 6
6665rspcev 2897 . . . . 5
6715, 62, 66syl2anc 642 . . . 4 NGHom
6867ralrimivva 2648 . . 3 NGHom
69 eqid 2296 . . . . . 6
702, 69xmsxmet 18018 . . . . 5
7117, 46, 703syl 18 . . . 4 NGHom
72 msxms 18016 . . . . 5
73 eqid 2296 . . . . . 6
743, 73xmsxmet 18018 . . . . 5
7529, 72, 743syl 18 . . . 4 NGHom
76 eqid 2296 . . . . 5
77 eqid 2296 . . . . 5
7876, 77metcn 18105 . . . 4
7971, 75, 78syl2anc 642 . . 3 NGHom
805, 68, 79mpbir2and 888 . 2 NGHom
81 nghmcn.j . . . . 5
8281, 2, 69mstopn 18014 . . . 4
8317, 82syl 15 . . 3 NGHom
84 nghmcn.k . . . . 5
8584, 3, 73mstopn 18014 . . . 4
8629, 85syl 15 . . 3 NGHom
8783, 86oveq12d 5892 . 2 NGHom
8880, 87eleqtrrd 2373 1 NGHom
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1632   wcel 1696  wral 2556  wrex 2557   class class class wbr 4039   cxp 4703   cres 4707  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874  cr 8752  cc0 8753  c1 8754   caddc 8756   cmul 8758   clt 8883   cle 8884   cdiv 9439  crp 10370  cbs 13164  cds 13233  ctopn 13342   cghm 14696  cxmt 16385  cmopn 16388   ccn 16970  cxme 17898  cmt 17899  NrmGrpcngp 18116  cnmo 18230   NGHom cnghm 18231 This theorem is referenced by:  nmhmcn  18617 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ico 10678  df-topgen 13360  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-ghm 14697  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-xms 17901  df-ms 17902  df-nm 18121  df-ngp 18122  df-nmo 18233  df-nghm 18234
 Copyright terms: Public domain W3C validator