MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nghmco Unicode version

Theorem nghmco 18263
Description: The composition of normed group homomorphisms is a normed group homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
nghmco  |-  ( ( F  e.  ( T NGHom 
U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  ( F  o.  G )  e.  ( S NGHom  U ) )

Proof of Theorem nghmco
StepHypRef Expression
1 nghmrcl1 18257 . . 3  |-  ( G  e.  ( S NGHom  T
)  ->  S  e. NrmGrp )
21adantl 452 . 2  |-  ( ( F  e.  ( T NGHom 
U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  S  e. NrmGrp )
3 nghmrcl2 18258 . . 3  |-  ( F  e.  ( T NGHom  U
)  ->  U  e. NrmGrp )
43adantr 451 . 2  |-  ( ( F  e.  ( T NGHom 
U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  U  e. NrmGrp )
5 nghmghm 18259 . . 3  |-  ( F  e.  ( T NGHom  U
)  ->  F  e.  ( T  GrpHom  U ) )
6 nghmghm 18259 . . 3  |-  ( G  e.  ( S NGHom  T
)  ->  G  e.  ( S  GrpHom  T ) )
7 ghmco 14718 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( T 
GrpHom  U )  /\  G  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  ( F  o.  G )  e.  ( S  GrpHom  U ) )
85, 6, 7syl2an 463 . 2  |-  ( ( F  e.  ( T NGHom 
U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  ( F  o.  G )  e.  ( S  GrpHom  U ) )
9 eqid 2296 . . . 4  |-  ( T
normOp U )  =  ( T normOp U )
109nghmcl 18252 . . 3  |-  ( F  e.  ( T NGHom  U
)  ->  ( ( T normOp U ) `  F )  e.  RR )
11 eqid 2296 . . . 4  |-  ( S
normOp T )  =  ( S normOp T )
1211nghmcl 18252 . . 3  |-  ( G  e.  ( S NGHom  T
)  ->  ( ( S normOp T ) `  G )  e.  RR )
13 remulcl 8838 . . 3  |-  ( ( ( ( T normOp U ) `  F )  e.  RR  /\  (
( S normOp T ) `
 G )  e.  RR )  ->  (
( ( T normOp U ) `  F )  x.  ( ( S
normOp T ) `  G
) )  e.  RR )
1410, 12, 13syl2an 463 . 2  |-  ( ( F  e.  ( T NGHom 
U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  ( (
( T normOp U ) `
 F )  x.  ( ( S normOp T ) `  G ) )  e.  RR )
15 eqid 2296 . . 3  |-  ( S
normOp U )  =  ( S normOp U )
1615, 9, 11nmoco 18262 . 2  |-  ( ( F  e.  ( T NGHom 
U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  ( ( S normOp U ) `  ( F  o.  G
) )  <_  (
( ( T normOp U ) `  F )  x.  ( ( S
normOp T ) `  G
) ) )
1715bddnghm 18251 . 2  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  U  e. NrmGrp  /\  ( F  o.  G )  e.  ( S  GrpHom  U ) )  /\  ( ( ( ( T normOp U ) `
 F )  x.  ( ( S normOp T ) `  G ) )  e.  RR  /\  ( ( S normOp U ) `  ( F  o.  G ) )  <_  ( ( ( T normOp U ) `  F )  x.  (
( S normOp T ) `
 G ) ) ) )  ->  ( F  o.  G )  e.  ( S NGHom  U ) )
182, 4, 8, 14, 16, 17syl32anc 1190 1  |-  ( ( F  e.  ( T NGHom 
U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  ( F  o.  G )  e.  ( S NGHom  U ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1696   class class class wbr 4039    o. ccom 4709   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   RRcr 8752    x. cmul 8758    <_ cle 8884    GrpHom cghm 14696  NrmGrpcngp 18116   normOpcnmo 18230   NGHom cnghm 18231
This theorem is referenced by:  nmhmco  18281
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ico 10678  df-topgen 13360  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-mhm 14431  df-grp 14505  df-ghm 14697  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-xms 17901  df-ms 17902  df-nm 18121  df-ngp 18122  df-nmo 18233  df-nghm 18234
  Copyright terms: Public domain W3C validator