MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nghmco Unicode version

Theorem nghmco 18247
Description: The composition of normed group homomorphisms is a normed group homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
nghmco  |-  ( ( F  e.  ( T NGHom 
U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  ( F  o.  G )  e.  ( S NGHom  U ) )

Proof of Theorem nghmco
StepHypRef Expression
1 nghmrcl1 18241 . . 3  |-  ( G  e.  ( S NGHom  T
)  ->  S  e. NrmGrp )
21adantl 452 . 2  |-  ( ( F  e.  ( T NGHom 
U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  S  e. NrmGrp )
3 nghmrcl2 18242 . . 3  |-  ( F  e.  ( T NGHom  U
)  ->  U  e. NrmGrp )
43adantr 451 . 2  |-  ( ( F  e.  ( T NGHom 
U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  U  e. NrmGrp )
5 nghmghm 18243 . . 3  |-  ( F  e.  ( T NGHom  U
)  ->  F  e.  ( T  GrpHom  U ) )
6 nghmghm 18243 . . 3  |-  ( G  e.  ( S NGHom  T
)  ->  G  e.  ( S  GrpHom  T ) )
7 ghmco 14702 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( T 
GrpHom  U )  /\  G  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  ( F  o.  G )  e.  ( S  GrpHom  U ) )
85, 6, 7syl2an 463 . 2  |-  ( ( F  e.  ( T NGHom 
U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  ( F  o.  G )  e.  ( S  GrpHom  U ) )
9 eqid 2283 . . . 4  |-  ( T
normOp U )  =  ( T normOp U )
109nghmcl 18236 . . 3  |-  ( F  e.  ( T NGHom  U
)  ->  ( ( T normOp U ) `  F )  e.  RR )
11 eqid 2283 . . . 4  |-  ( S
normOp T )  =  ( S normOp T )
1211nghmcl 18236 . . 3  |-  ( G  e.  ( S NGHom  T
)  ->  ( ( S normOp T ) `  G )  e.  RR )
13 remulcl 8822 . . 3  |-  ( ( ( ( T normOp U ) `  F )  e.  RR  /\  (
( S normOp T ) `
 G )  e.  RR )  ->  (
( ( T normOp U ) `  F )  x.  ( ( S
normOp T ) `  G
) )  e.  RR )
1410, 12, 13syl2an 463 . 2  |-  ( ( F  e.  ( T NGHom 
U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  ( (
( T normOp U ) `
 F )  x.  ( ( S normOp T ) `  G ) )  e.  RR )
15 eqid 2283 . . 3  |-  ( S
normOp U )  =  ( S normOp U )
1615, 9, 11nmoco 18246 . 2  |-  ( ( F  e.  ( T NGHom 
U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  ( ( S normOp U ) `  ( F  o.  G
) )  <_  (
( ( T normOp U ) `  F )  x.  ( ( S
normOp T ) `  G
) ) )
1715bddnghm 18235 . 2  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  U  e. NrmGrp  /\  ( F  o.  G )  e.  ( S  GrpHom  U ) )  /\  ( ( ( ( T normOp U ) `
 F )  x.  ( ( S normOp T ) `  G ) )  e.  RR  /\  ( ( S normOp U ) `  ( F  o.  G ) )  <_  ( ( ( T normOp U ) `  F )  x.  (
( S normOp T ) `
 G ) ) ) )  ->  ( F  o.  G )  e.  ( S NGHom  U ) )
182, 4, 8, 14, 16, 17syl32anc 1190 1  |-  ( ( F  e.  ( T NGHom 
U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  ( F  o.  G )  e.  ( S NGHom  U ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1684   class class class wbr 4023    o. ccom 4693   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736    x. cmul 8742    <_ cle 8868    GrpHom cghm 14680  NrmGrpcngp 18100   normOpcnmo 18214   NGHom cnghm 18215
This theorem is referenced by:  nmhmco  18265
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ico 10662  df-topgen 13344  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-grp 14489  df-ghm 14681  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-xms 17885  df-ms 17886  df-nm 18105  df-ngp 18106  df-nmo 18217  df-nghm 18218
  Copyright terms: Public domain W3C validator