Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nghmfval Structured version   Unicode version

Theorem nghmfval 18756
 Description: A normed group homomorphism is a group homomorphism with bounded norm. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
nmofval.1
Assertion
Ref Expression
nghmfval NGHom

Proof of Theorem nghmfval
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq12 6090 . . . . . 6
2 nmofval.1 . . . . . 6
31, 2syl6eqr 2486 . . . . 5
43cnveqd 5048 . . . 4
54imaeq1d 5202 . . 3
6 df-nghm 18743 . . 3 NGHom NrmGrp NrmGrp
7 ovex 6106 . . . . . 6
82, 7eqeltri 2506 . . . . 5
98cnvex 5406 . . . 4
10 imaexg 5217 . . . 4
119, 10ax-mp 8 . . 3
125, 6, 11ovmpt2a 6204 . 2 NrmGrp NrmGrp NGHom
136mpt2ndm0 6473 . . 3 NrmGrp NrmGrp NGHom
14 nmoffn 18745 . . . . . . . . . 10 NrmGrp NrmGrp
15 fndm 5544 . . . . . . . . . 10 NrmGrp NrmGrp NrmGrp NrmGrp
1614, 15ax-mp 8 . . . . . . . . 9 NrmGrp NrmGrp
1716ndmov 6231 . . . . . . . 8 NrmGrp NrmGrp
182, 17syl5eq 2480 . . . . . . 7 NrmGrp NrmGrp
1918cnveqd 5048 . . . . . 6 NrmGrp NrmGrp
20 cnv0 5275 . . . . . 6
2119, 20syl6eq 2484 . . . . 5 NrmGrp NrmGrp
2221imaeq1d 5202 . . . 4 NrmGrp NrmGrp
23 0ima 5222 . . . 4
2422, 23syl6eq 2484 . . 3 NrmGrp NrmGrp
2513, 24eqtr4d 2471 . 2 NrmGrp NrmGrp NGHom
2612, 25pm2.61i 158 1 NGHom
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  cvv 2956  c0 3628   cxp 4876  ccnv 4877   cdm 4878  cima 4881   wfn 5449  (class class class)co 6081  cr 8989  NrmGrpcngp 18625  cnmo 18739   NGHom cnghm 18740 This theorem is referenced by:  isnghm  18757 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-ico 10922  df-nmo 18742  df-nghm 18743
 Copyright terms: Public domain W3C validator