MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nghmplusg Unicode version

Theorem nghmplusg 18265
Description: The sum of two bounded linear operators is bounded linear. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
nghmplusg.p  |-  .+  =  ( +g  `  T )
Assertion
Ref Expression
nghmplusg  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom  T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  ( F  o F  .+  G )  e.  ( S NGHom  T ) )

Proof of Theorem nghmplusg
StepHypRef Expression
1 nghmrcl1 18257 . . 3  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  S  e. NrmGrp )
213ad2ant2 977 . 2  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom  T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  S  e. NrmGrp )
3 nghmrcl2 18258 . . 3  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  T  e. NrmGrp )
433ad2ant2 977 . 2  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom  T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  T  e. NrmGrp )
5 id 19 . . 3  |-  ( T  e.  Abel  ->  T  e. 
Abel )
6 nghmghm 18259 . . 3  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )
7 nghmghm 18259 . . 3  |-  ( G  e.  ( S NGHom  T
)  ->  G  e.  ( S  GrpHom  T ) )
8 nghmplusg.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  T )
98ghmplusg 15154 . . 3  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  G  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  ( F  o F  .+  G )  e.  ( S  GrpHom  T ) )
105, 6, 7, 9syl3an 1224 . 2  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom  T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  ( F  o F  .+  G )  e.  ( S  GrpHom  T ) )
11 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( S
normOp T )  =  ( S normOp T )
1211nghmcl 18252 . . . 4  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  ( ( S normOp T ) `  F )  e.  RR )
13123ad2ant2 977 . . 3  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom  T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  ( ( S
normOp T ) `  F
)  e.  RR )
1411nghmcl 18252 . . . 4  |-  ( G  e.  ( S NGHom  T
)  ->  ( ( S normOp T ) `  G )  e.  RR )
15143ad2ant3 978 . . 3  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom  T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  ( ( S
normOp T ) `  G
)  e.  RR )
1613, 15readdcld 8878 . 2  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom  T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  ( ( ( S normOp T ) `  F )  +  ( ( S normOp T ) `
 G ) )  e.  RR )
1711, 8nmotri 18264 . 2  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom  T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  ( ( S
normOp T ) `  ( F  o F  .+  G
) )  <_  (
( ( S normOp T ) `  F )  +  ( ( S
normOp T ) `  G
) ) )
1811bddnghm 18251 . 2  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  ( F  o F  .+  G )  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  ( ( ( ( S normOp T ) `  F )  +  ( ( S
normOp T ) `  G
) )  e.  RR  /\  ( ( S normOp T ) `  ( F  o F  .+  G
) )  <_  (
( ( S normOp T ) `  F )  +  ( ( S
normOp T ) `  G
) ) ) )  ->  ( F  o F  .+  G )  e.  ( S NGHom  T ) )
192, 4, 10, 16, 17, 18syl32anc 1190 1  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom  T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  ( F  o F  .+  G )  e.  ( S NGHom  T ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    o Fcof 6092   RRcr 8752    + caddc 8756    <_ cle 8884   +g cplusg 13224    GrpHom cghm 14696   Abelcabel 15106  NrmGrpcngp 18116   normOpcnmo 18230   NGHom cnghm 18231
This theorem is referenced by:  nmhmplusg  18282
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ico 10678  df-topgen 13360  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-ghm 14697  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-xms 17901  df-ms 17902  df-nm 18121  df-ngp 18122  df-nmo 18233  df-nghm 18234
  Copyright terms: Public domain W3C validator