MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ngpds Unicode version

Theorem ngpds 18141
Description: Value of the distance function in terms of the norm of a normed group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ngpds.n  |-  N  =  ( norm `  G
)
ngpds.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
ngpds.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
ngpds.d  |-  D  =  ( dist `  G
)
Assertion
Ref Expression
ngpds  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A D B )  =  ( N `  ( A  .-  B ) ) )

Proof of Theorem ngpds
StepHypRef Expression
1 ngpds.n . . . . . 6  |-  N  =  ( norm `  G
)
2 ngpds.m . . . . . 6  |-  .-  =  ( -g `  G )
3 ngpds.d . . . . . 6  |-  D  =  ( dist `  G
)
4 ngpds.x . . . . . 6  |-  X  =  ( Base `  G
)
5 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( D  |`  ( X  X.  X
) )  =  ( D  |`  ( X  X.  X ) )
61, 2, 3, 4, 5isngp2 18135 . . . . 5  |-  ( G  e. NrmGrp 
<->  ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp  /\  ( N  o.  .-  )  =  ( D  |`  ( X  X.  X ) ) ) )
76simp3bi 972 . . . 4  |-  ( G  e. NrmGrp  ->  ( N  o.  .-  )  =  ( D  |`  ( X  X.  X
) ) )
873ad2ant1 976 . . 3  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N  o.  .-  )  =  ( D  |`  ( X  X.  X ) ) )
98oveqd 5891 . 2  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A ( N  o.  .-  ) B )  =  ( A ( D  |`  ( X  X.  X
) ) B ) )
10 ngpgrp 18137 . . . . . 6  |-  ( G  e. NrmGrp  ->  G  e.  Grp )
114, 2grpsubf 14561 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Grp  ->  .-  :
( X  X.  X
) --> X )
1210, 11syl 15 . . . . 5  |-  ( G  e. NrmGrp  ->  .-  : ( X  X.  X ) --> X )
13123ad2ant1 976 . . . 4  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  .-  :
( X  X.  X
) --> X )
14 opelxpi 4737 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  -> 
<. A ,  B >.  e.  ( X  X.  X
) )
15143adant1 973 . . . 4  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  <. A ,  B >.  e.  ( X  X.  X ) )
16 fvco3 5612 . . . 4  |-  ( ( 
.-  : ( X  X.  X ) --> X  /\  <. A ,  B >.  e.  ( X  X.  X ) )  -> 
( ( N  o.  .-  ) `  <. A ,  B >. )  =  ( N `  (  .-  ` 
<. A ,  B >. ) ) )
1713, 15, 16syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( N  o.  .-  ) `  <. A ,  B >. )  =  ( N `  (  .-  ` 
<. A ,  B >. ) ) )
18 df-ov 5877 . . 3  |-  ( A ( N  o.  .-  ) B )  =  ( ( N  o.  .-  ) `  <. A ,  B >. )
19 df-ov 5877 . . . 4  |-  ( A 
.-  B )  =  (  .-  `  <. A ,  B >. )
2019fveq2i 5544 . . 3  |-  ( N `
 ( A  .-  B ) )  =  ( N `  (  .-  `  <. A ,  B >. ) )
2117, 18, 203eqtr4g 2353 . 2  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A ( N  o.  .-  ) B )  =  ( N `  ( A  .-  B ) ) )
22 ovres 6003 . . 3  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A ( D  |`  ( X  X.  X
) ) B )  =  ( A D B ) )
23223adant1 973 . 2  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A ( D  |`  ( X  X.  X
) ) B )  =  ( A D B ) )
249, 21, 233eqtr3rd 2337 1  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A D B )  =  ( N `  ( A  .-  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   <.cop 3656    X. cxp 4703    |` cres 4707    o. ccom 4709   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   distcds 13233   Grpcgrp 14378   -gcsg 14381   MetSpcmt 17899   normcnm 18115  NrmGrpcngp 18116
This theorem is referenced by:  ngpdsr  18142  ngpds2  18143  ngprcan  18147  ngpinvds  18150  nmmtri  18159  nmrtri  18161  subgngp  18167  nrgdsdi  18192  nrgdsdir  18193  nlmdsdi  18208  nlmdsdir  18209  nrginvrcnlem  18217  nmods  18269  ipcnlem2  18687  minveclem2  18806  minveclem3b  18808  minveclem4  18812  minveclem6  18814
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-topgen 13360  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-xms 17901  df-ms 17902  df-nm 18121  df-ngp 18122
  Copyright terms: Public domain W3C validator