MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ngpds Structured version   Unicode version

Theorem ngpds 18650
Description: Value of the distance function in terms of the norm of a normed group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ngpds.n  |-  N  =  ( norm `  G
)
ngpds.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
ngpds.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
ngpds.d  |-  D  =  ( dist `  G
)
Assertion
Ref Expression
ngpds  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A D B )  =  ( N `  ( A  .-  B ) ) )

Proof of Theorem ngpds
StepHypRef Expression
1 ngpds.n . . . . . 6  |-  N  =  ( norm `  G
)
2 ngpds.m . . . . . 6  |-  .-  =  ( -g `  G )
3 ngpds.d . . . . . 6  |-  D  =  ( dist `  G
)
4 ngpds.x . . . . . 6  |-  X  =  ( Base `  G
)
5 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( D  |`  ( X  X.  X
) )  =  ( D  |`  ( X  X.  X ) )
61, 2, 3, 4, 5isngp2 18644 . . . . 5  |-  ( G  e. NrmGrp 
<->  ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp  /\  ( N  o.  .-  )  =  ( D  |`  ( X  X.  X ) ) ) )
76simp3bi 974 . . . 4  |-  ( G  e. NrmGrp  ->  ( N  o.  .-  )  =  ( D  |`  ( X  X.  X
) ) )
873ad2ant1 978 . . 3  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N  o.  .-  )  =  ( D  |`  ( X  X.  X ) ) )
98oveqd 6098 . 2  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A ( N  o.  .-  ) B )  =  ( A ( D  |`  ( X  X.  X
) ) B ) )
10 ngpgrp 18646 . . . . . 6  |-  ( G  e. NrmGrp  ->  G  e.  Grp )
114, 2grpsubf 14868 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Grp  ->  .-  :
( X  X.  X
) --> X )
1210, 11syl 16 . . . . 5  |-  ( G  e. NrmGrp  ->  .-  : ( X  X.  X ) --> X )
13123ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  .-  :
( X  X.  X
) --> X )
14 opelxpi 4910 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  -> 
<. A ,  B >.  e.  ( X  X.  X
) )
15143adant1 975 . . . 4  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  <. A ,  B >.  e.  ( X  X.  X ) )
16 fvco3 5800 . . . 4  |-  ( ( 
.-  : ( X  X.  X ) --> X  /\  <. A ,  B >.  e.  ( X  X.  X ) )  -> 
( ( N  o.  .-  ) `  <. A ,  B >. )  =  ( N `  (  .-  ` 
<. A ,  B >. ) ) )
1713, 15, 16syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( N  o.  .-  ) `  <. A ,  B >. )  =  ( N `  (  .-  ` 
<. A ,  B >. ) ) )
18 df-ov 6084 . . 3  |-  ( A ( N  o.  .-  ) B )  =  ( ( N  o.  .-  ) `  <. A ,  B >. )
19 df-ov 6084 . . . 4  |-  ( A 
.-  B )  =  (  .-  `  <. A ,  B >. )
2019fveq2i 5731 . . 3  |-  ( N `
 ( A  .-  B ) )  =  ( N `  (  .-  `  <. A ,  B >. ) )
2117, 18, 203eqtr4g 2493 . 2  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A ( N  o.  .-  ) B )  =  ( N `  ( A  .-  B ) ) )
22 ovres 6213 . . 3  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A ( D  |`  ( X  X.  X
) ) B )  =  ( A D B ) )
23223adant1 975 . 2  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A ( D  |`  ( X  X.  X
) ) B )  =  ( A D B ) )
249, 21, 233eqtr3rd 2477 1  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A D B )  =  ( N `  ( A  .-  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   <.cop 3817    X. cxp 4876    |` cres 4880    o. ccom 4882   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Basecbs 13469   distcds 13538   Grpcgrp 14685   -gcsg 14688   MetSpcmt 18348   normcnm 18624  NrmGrpcngp 18625
This theorem is referenced by:  ngpdsr  18651  ngpds2  18652  ngprcan  18656  ngpinvds  18659  nmmtri  18668  nmrtri  18670  subgngp  18676  nrgdsdi  18701  nrgdsdir  18702  nlmdsdi  18717  nlmdsdir  18718  nrginvrcnlem  18726  nmods  18778  ipcnlem2  19198  minveclem2  19327  minveclem3b  19329  minveclem4  19333  minveclem6  19335
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-topgen 13667  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-xms 18350  df-ms 18351  df-nm 18630  df-ngp 18631
  Copyright terms: Public domain W3C validator