MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ngpds3 Unicode version

Theorem ngpds3 18615
Description: Write the distance between two points in terms of distance from zero. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ngpds2.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
ngpds2.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
ngpds2.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
ngpds2.d  |-  D  =  ( dist `  G
)
Assertion
Ref Expression
ngpds3  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A D B )  =  (  .0.  D ( A  .-  B ) ) )

Proof of Theorem ngpds3
StepHypRef Expression
1 ngpds2.x . . 3  |-  X  =  ( Base `  G
)
2 ngpds2.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
3 ngpds2.m . . 3  |-  .-  =  ( -g `  G )
4 ngpds2.d . . 3  |-  D  =  ( dist `  G
)
51, 2, 3, 4ngpds2 18613 . 2  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A D B )  =  ( ( A  .-  B ) D  .0.  ) )
6 ngpxms 18609 . . . 4  |-  ( G  e. NrmGrp  ->  G  e.  * MetSp )
763ad2ant1 978 . . 3  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  G  e.  * MetSp )
8 ngpgrp 18607 . . . 4  |-  ( G  e. NrmGrp  ->  G  e.  Grp )
91, 3grpsubcl 14832 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A  .-  B
)  e.  X )
108, 9syl3an1 1217 . . 3  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A  .-  B )  e.  X )
1183ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  G  e.  Grp )
121, 2grpidcl 14796 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  .0.  e.  X )
1311, 12syl 16 . . 3  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  .0.  e.  X )
141, 4xmssym 18456 . . 3  |-  ( ( G  e.  * MetSp  /\  ( A  .-  B
)  e.  X  /\  .0.  e.  X )  -> 
( ( A  .-  B ) D  .0.  )  =  (  .0. 
D ( A  .-  B ) ) )
157, 10, 13, 14syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( A  .-  B
) D  .0.  )  =  (  .0.  D
( A  .-  B
) ) )
165, 15eqtrd 2444 1  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A D B )  =  (  .0.  D ( A  .-  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   Basecbs 13432   distcds 13501   0gc0g 13686   Grpcgrp 14648   -gcsg 14651   *
MetSpcxme 18308  NrmGrpcngp 18586
This theorem is referenced by:  ngpds3r  18616
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-er 6872  df-map 6987  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-sup 7412  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-q 10539  df-rp 10577  df-xneg 10674  df-xadd 10675  df-xmul 10676  df-topgen 13630  df-0g 13690  df-mnd 14653  df-grp 14775  df-minusg 14776  df-sbg 14777  df-psmet 16657  df-xmet 16658  df-met 16659  df-bl 16660  df-mopn 16661  df-top 16926  df-bases 16928  df-topon 16929  df-topsp 16930  df-xms 18311  df-ms 18312  df-nm 18591  df-ngp 18592
  Copyright terms: Public domain W3C validator