MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ngpgrp Structured version   Unicode version

Theorem ngpgrp 18651
Description: A normed group is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
ngpgrp  |-  ( G  e. NrmGrp  ->  G  e.  Grp )

Proof of Theorem ngpgrp
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . 3  |-  ( norm `  G )  =  (
norm `  G )
2 eqid 2438 . . 3  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
3 eqid 2438 . . 3  |-  ( dist `  G )  =  (
dist `  G )
41, 2, 3isngp 18648 . 2  |-  ( G  e. NrmGrp 
<->  ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp  /\  (
( norm `  G )  o.  ( -g `  G
) )  C_  ( dist `  G ) ) )
54simp1bi 973 1  |-  ( G  e. NrmGrp  ->  G  e.  Grp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1726    C_ wss 3322    o. ccom 4885   ` cfv 5457   distcds 13543   Grpcgrp 14690   -gcsg 14693   MetSpcmt 18353   normcnm 18629  NrmGrpcngp 18630
This theorem is referenced by:  ngpds  18655  ngpds2  18657  ngpds3  18659  ngprcan  18661  isngp4  18663  ngpinvds  18664  ngpsubcan  18665  nmf  18666  nmge0  18668  nmeq0  18669  nminv  18672  nmmtri  18673  nmsub  18674  nmrtri  18675  nm2dif  18676  nmtri  18677  nm0  18678  ngptgp  18682  tngngp2  18698  nlmdsdi  18722  nlmdsdir  18723  nrginvrcnlem  18731  nmo0  18774  nmotri  18778  0nghm  18780  nmoid  18781  idnghm  18782  nmods  18783  nmcn  18880  nmoleub2lem2  19129  nmhmcn  19133  ipcnlem2  19203  qqhcn  24380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4216  df-opab 4270  df-co 4890  df-iota 5421  df-fv 5465  df-ngp 18636
  Copyright terms: Public domain W3C validator