MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ngpgrp Unicode version

Theorem ngpgrp 18607
Description: A normed group is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
ngpgrp  |-  ( G  e. NrmGrp  ->  G  e.  Grp )

Proof of Theorem ngpgrp
StepHypRef Expression
1 eqid 2412 . . 3  |-  ( norm `  G )  =  (
norm `  G )
2 eqid 2412 . . 3  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
3 eqid 2412 . . 3  |-  ( dist `  G )  =  (
dist `  G )
41, 2, 3isngp 18604 . 2  |-  ( G  e. NrmGrp 
<->  ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp  /\  (
( norm `  G )  o.  ( -g `  G
) )  C_  ( dist `  G ) ) )
54simp1bi 972 1  |-  ( G  e. NrmGrp  ->  G  e.  Grp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1721    C_ wss 3288    o. ccom 4849   ` cfv 5421   distcds 13501   Grpcgrp 14648   -gcsg 14651   MetSpcmt 18309   normcnm 18585  NrmGrpcngp 18586
This theorem is referenced by:  ngpds  18611  ngpds2  18613  ngpds3  18615  ngprcan  18617  isngp4  18619  ngpinvds  18620  ngpsubcan  18621  nmf  18622  nmge0  18624  nmeq0  18625  nminv  18628  nmmtri  18629  nmsub  18630  nmrtri  18631  nm2dif  18632  nmtri  18633  nm0  18634  ngptgp  18638  tngngp2  18654  nlmdsdi  18678  nlmdsdir  18679  nrginvrcnlem  18687  nmo0  18730  nmotri  18734  0nghm  18736  nmoid  18737  idnghm  18738  nmods  18739  nmcn  18836  nmoleub2lem2  19085  nmhmcn  19089  ipcnlem2  19159  qqhcn  24336
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-rex 2680  df-rab 2683  df-v 2926  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-br 4181  df-opab 4235  df-co 4854  df-iota 5385  df-fv 5429  df-ngp 18592
  Copyright terms: Public domain W3C validator