MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ngpinvds Structured version   Unicode version

Theorem ngpinvds 18690
Description: Two elements are the same distance apart as their inverses. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ngpinvds.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
ngpinvds.i  |-  I  =  ( inv g `  G )
ngpinvds.d  |-  D  =  ( dist `  G
)
Assertion
Ref Expression
ngpinvds  |-  ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( (
I `  A ) D ( I `  B ) )  =  ( A D B ) )

Proof of Theorem ngpinvds
StepHypRef Expression
1 ngpinvds.x . . . 4  |-  X  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2442 . . . 4  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
3 ngpinvds.i . . . 4  |-  I  =  ( inv g `  G )
4 simplr 733 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  G  e.  Abel )
5 simprr 735 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  B  e.  X )
6 simprl 734 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  A  e.  X )
71, 2, 3, 4, 5, 6ablsub2inv 15466 . . 3  |-  ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( (
I `  B )
( -g `  G ) ( I `  A
) )  =  ( A ( -g `  G
) B ) )
87fveq2d 5761 . 2  |-  ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( ( norm `  G ) `  ( ( I `  B ) ( -g `  G ) ( I `
 A ) ) )  =  ( (
norm `  G ) `  ( A ( -g `  G ) B ) ) )
9 simpll 732 . . 3  |-  ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  G  e. NrmGrp )
10 ngpgrp 18677 . . . . 5  |-  ( G  e. NrmGrp  ->  G  e.  Grp )
119, 10syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  G  e.  Grp )
121, 3grpinvcl 14881 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( I `  A
)  e.  X )
1311, 6, 12syl2anc 644 . . 3  |-  ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( I `  A )  e.  X
)
141, 3grpinvcl 14881 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  B  e.  X )  ->  ( I `  B
)  e.  X )
1511, 5, 14syl2anc 644 . . 3  |-  ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( I `  B )  e.  X
)
16 eqid 2442 . . . 4  |-  ( norm `  G )  =  (
norm `  G )
17 ngpinvds.d . . . 4  |-  D  =  ( dist `  G
)
1816, 1, 2, 17ngpdsr 18682 . . 3  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  (
I `  A )  e.  X  /\  (
I `  B )  e.  X )  ->  (
( I `  A
) D ( I `
 B ) )  =  ( ( norm `  G ) `  (
( I `  B
) ( -g `  G
) ( I `  A ) ) ) )
199, 13, 15, 18syl3anc 1185 . 2  |-  ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( (
I `  A ) D ( I `  B ) )  =  ( ( norm `  G
) `  ( (
I `  B )
( -g `  G ) ( I `  A
) ) ) )
2016, 1, 2, 17ngpds 18681 . . 3  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A D B )  =  ( ( norm `  G
) `  ( A
( -g `  G ) B ) ) )
219, 6, 5, 20syl3anc 1185 . 2  |-  ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( A D B )  =  ( ( norm `  G
) `  ( A
( -g `  G ) B ) ) )
228, 19, 213eqtr4d 2484 1  |-  ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( (
I `  A ) D ( I `  B ) )  =  ( A D B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1727   ` cfv 5483  (class class class)co 6110   Basecbs 13500   distcds 13569   Grpcgrp 14716   inv gcminusg 14717   -gcsg 14719   Abelcabel 15444   normcnm 18655  NrmGrpcngp 18656
This theorem is referenced by:  ngptgp  18708
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098  ax-pre-sup 9099
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-er 6934  df-map 7049  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-sup 7475  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-div 9709  df-nn 10032  df-2 10089  df-n0 10253  df-z 10314  df-uz 10520  df-q 10606  df-rp 10644  df-xneg 10741  df-xadd 10742  df-xmul 10743  df-topgen 13698  df-0g 13758  df-mnd 14721  df-grp 14843  df-minusg 14844  df-sbg 14845  df-cmn 15445  df-abl 15446  df-psmet 16725  df-xmet 16726  df-met 16727  df-bl 16728  df-mopn 16729  df-top 16994  df-bases 16996  df-topon 16997  df-topsp 16998  df-xms 18381  df-ms 18382  df-nm 18661  df-ngp 18662
  Copyright terms: Public domain W3C validator