MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ngpinvds Unicode version

Theorem ngpinvds 18230
Description: Two elements are the same distance apart as their inverses. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ngpinvds.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
ngpinvds.i  |-  I  =  ( inv g `  G )
ngpinvds.d  |-  D  =  ( dist `  G
)
Assertion
Ref Expression
ngpinvds  |-  ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( (
I `  A ) D ( I `  B ) )  =  ( A D B ) )

Proof of Theorem ngpinvds
StepHypRef Expression
1 ngpinvds.x . . . 4  |-  X  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2358 . . . 4  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
3 ngpinvds.i . . . 4  |-  I  =  ( inv g `  G )
4 simplr 731 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  G  e.  Abel )
5 simprr 733 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  B  e.  X )
6 simprl 732 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  A  e.  X )
71, 2, 3, 4, 5, 6ablsub2inv 15205 . . 3  |-  ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( (
I `  B )
( -g `  G ) ( I `  A
) )  =  ( A ( -g `  G
) B ) )
87fveq2d 5609 . 2  |-  ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( ( norm `  G ) `  ( ( I `  B ) ( -g `  G ) ( I `
 A ) ) )  =  ( (
norm `  G ) `  ( A ( -g `  G ) B ) ) )
9 simpll 730 . . 3  |-  ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  G  e. NrmGrp )
10 ngpgrp 18217 . . . . 5  |-  ( G  e. NrmGrp  ->  G  e.  Grp )
119, 10syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  G  e.  Grp )
121, 3grpinvcl 14620 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( I `  A
)  e.  X )
1311, 6, 12syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( I `  A )  e.  X
)
141, 3grpinvcl 14620 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  B  e.  X )  ->  ( I `  B
)  e.  X )
1511, 5, 14syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( I `  B )  e.  X
)
16 eqid 2358 . . . 4  |-  ( norm `  G )  =  (
norm `  G )
17 ngpinvds.d . . . 4  |-  D  =  ( dist `  G
)
1816, 1, 2, 17ngpdsr 18222 . . 3  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  (
I `  A )  e.  X  /\  (
I `  B )  e.  X )  ->  (
( I `  A
) D ( I `
 B ) )  =  ( ( norm `  G ) `  (
( I `  B
) ( -g `  G
) ( I `  A ) ) ) )
199, 13, 15, 18syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( (
I `  A ) D ( I `  B ) )  =  ( ( norm `  G
) `  ( (
I `  B )
( -g `  G ) ( I `  A
) ) ) )
2016, 1, 2, 17ngpds 18221 . . 3  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A D B )  =  ( ( norm `  G
) `  ( A
( -g `  G ) B ) ) )
219, 6, 5, 20syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( A D B )  =  ( ( norm `  G
) `  ( A
( -g `  G ) B ) ) )
228, 19, 213eqtr4d 2400 1  |-  ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( (
I `  A ) D ( I `  B ) )  =  ( A D B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710   ` cfv 5334  (class class class)co 5942   Basecbs 13239   distcds 13308   Grpcgrp 14455   inv gcminusg 14456   -gcsg 14458   Abelcabel 15183   normcnm 18195  NrmGrpcngp 18196
This theorem is referenced by:  ngptgp  18248
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4210  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-cnex 8880  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901  ax-pre-sup 8902
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-1st 6206  df-2nd 6207  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-er 6744  df-map 6859  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-sup 7281  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-div 9511  df-nn 9834  df-2 9891  df-n0 10055  df-z 10114  df-uz 10320  df-q 10406  df-rp 10444  df-xneg 10541  df-xadd 10542  df-xmul 10543  df-topgen 13437  df-0g 13497  df-mnd 14460  df-grp 14582  df-minusg 14583  df-sbg 14584  df-cmn 15184  df-abl 15185  df-xmet 16469  df-met 16470  df-bl 16471  df-mopn 16472  df-top 16736  df-bases 16738  df-topon 16739  df-topsp 16740  df-xms 17981  df-ms 17982  df-nm 18201  df-ngp 18202
  Copyright terms: Public domain W3C validator