MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ngpinvds Unicode version

Theorem ngpinvds 18134
Description: Two elements are the same distance apart as their inverses. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ngpinvds.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
ngpinvds.i  |-  I  =  ( inv g `  G )
ngpinvds.d  |-  D  =  ( dist `  G
)
Assertion
Ref Expression
ngpinvds  |-  ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( (
I `  A ) D ( I `  B ) )  =  ( A D B ) )

Proof of Theorem ngpinvds
StepHypRef Expression
1 ngpinvds.x . . . 4  |-  X  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2283 . . . 4  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
3 ngpinvds.i . . . 4  |-  I  =  ( inv g `  G )
4 simplr 731 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  G  e.  Abel )
5 simprr 733 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  B  e.  X )
6 simprl 732 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  A  e.  X )
71, 2, 3, 4, 5, 6ablsub2inv 15112 . . 3  |-  ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( (
I `  B )
( -g `  G ) ( I `  A
) )  =  ( A ( -g `  G
) B ) )
87fveq2d 5529 . 2  |-  ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( ( norm `  G ) `  ( ( I `  B ) ( -g `  G ) ( I `
 A ) ) )  =  ( (
norm `  G ) `  ( A ( -g `  G ) B ) ) )
9 simpll 730 . . 3  |-  ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  G  e. NrmGrp )
10 ngpgrp 18121 . . . . 5  |-  ( G  e. NrmGrp  ->  G  e.  Grp )
119, 10syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  G  e.  Grp )
121, 3grpinvcl 14527 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( I `  A
)  e.  X )
1311, 6, 12syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( I `  A )  e.  X
)
141, 3grpinvcl 14527 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  B  e.  X )  ->  ( I `  B
)  e.  X )
1511, 5, 14syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( I `  B )  e.  X
)
16 eqid 2283 . . . 4  |-  ( norm `  G )  =  (
norm `  G )
17 ngpinvds.d . . . 4  |-  D  =  ( dist `  G
)
1816, 1, 2, 17ngpdsr 18126 . . 3  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  (
I `  A )  e.  X  /\  (
I `  B )  e.  X )  ->  (
( I `  A
) D ( I `
 B ) )  =  ( ( norm `  G ) `  (
( I `  B
) ( -g `  G
) ( I `  A ) ) ) )
199, 13, 15, 18syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( (
I `  A ) D ( I `  B ) )  =  ( ( norm `  G
) `  ( (
I `  B )
( -g `  G ) ( I `  A
) ) ) )
2016, 1, 2, 17ngpds 18125 . . 3  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A D B )  =  ( ( norm `  G
) `  ( A
( -g `  G ) B ) ) )
219, 6, 5, 20syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( A D B )  =  ( ( norm `  G
) `  ( A
( -g `  G ) B ) ) )
228, 19, 213eqtr4d 2325 1  |-  ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( (
I `  A ) D ( I `  B ) )  =  ( A D B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   distcds 13217   Grpcgrp 14362   inv gcminusg 14363   -gcsg 14365   Abelcabel 15090   normcnm 18099  NrmGrpcngp 18100
This theorem is referenced by:  ngptgp  18152
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-topgen 13344  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-xms 17885  df-ms 17886  df-nm 18105  df-ngp 18106
  Copyright terms: Public domain W3C validator