MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ngplcan Structured version   Unicode version

Theorem ngplcan 18659
Description: Cancel left addition inside a distance calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ngprcan.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
ngprcan.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
ngprcan.d  |-  D  =  ( dist `  G
)
Assertion
Ref Expression
ngplcan  |-  ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( ( C  .+  A ) D ( C  .+  B
) )  =  ( A D B ) )

Proof of Theorem ngplcan
StepHypRef Expression
1 simplr 733 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  G  e.  Abel )
2 simpr3 966 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  C  e.  X )
3 simpr1 964 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  A  e.  X )
4 ngprcan.x . . . . 5  |-  X  =  ( Base `  G
)
5 ngprcan.p . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  G )
64, 5ablcom 15431 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  C  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( C  .+  A )  =  ( A  .+  C
) )
71, 2, 3, 6syl3anc 1185 . . 3  |-  ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( C  .+  A )  =  ( A  .+  C ) )
8 simpr2 965 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  B  e.  X )
94, 5ablcom 15431 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  C  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( C  .+  B )  =  ( B  .+  C
) )
101, 2, 8, 9syl3anc 1185 . . 3  |-  ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( C  .+  B )  =  ( B  .+  C ) )
117, 10oveq12d 6101 . 2  |-  ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( ( C  .+  A ) D ( C  .+  B
) )  =  ( ( A  .+  C
) D ( B 
.+  C ) ) )
12 ngprcan.d . . . 4  |-  D  =  ( dist `  G
)
134, 5, 12ngprcan 18658 . . 3  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( ( A  .+  C ) D ( B  .+  C
) )  =  ( A D B ) )
1413adantlr 697 . 2  |-  ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( ( A  .+  C ) D ( B  .+  C
) )  =  ( A D B ) )
1511, 14eqtrd 2470 1  |-  ( ( ( G  e. NrmGrp  /\  G  e.  Abel )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( ( C  .+  A ) D ( C  .+  B
) )  =  ( A D B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   Basecbs 13471   +g cplusg 13531   distcds 13540   Abelcabel 15415  NrmGrpcngp 18627
This theorem is referenced by:  ngptgp  18679
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-topgen 13669  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-sbg 14816  df-cmn 15416  df-abl 15417  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-xms 18352  df-ms 18353  df-nm 18632  df-ngp 18633
  Copyright terms: Public domain W3C validator