MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ngpms Unicode version

Theorem ngpms 18511
Description: A normed group is a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
ngpms  |-  ( G  e. NrmGrp  ->  G  e.  MetSp )

Proof of Theorem ngpms
StepHypRef Expression
1 eqid 2380 . . 3  |-  ( norm `  G )  =  (
norm `  G )
2 eqid 2380 . . 3  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
3 eqid 2380 . . 3  |-  ( dist `  G )  =  (
dist `  G )
41, 2, 3isngp 18507 . 2  |-  ( G  e. NrmGrp 
<->  ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp  /\  (
( norm `  G )  o.  ( -g `  G
) )  C_  ( dist `  G ) ) )
54simp2bi 973 1  |-  ( G  e. NrmGrp  ->  G  e.  MetSp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1717    C_ wss 3256    o. ccom 4815   ` cfv 5387   distcds 13458   Grpcgrp 14605   -gcsg 14608   MetSpcmt 18250   normcnm 18488  NrmGrpcngp 18489
This theorem is referenced by:  ngpxms  18512  ngptps  18513  isngp4  18522  nmf  18525  nmmtri  18532  nmrtri  18534  subgngp  18540  ngptgp  18541  tngngp2  18557  nlmvscnlem2  18585  nlmvscnlem1  18586  nlmvscn  18587  nrginvrcn  18591  nghmcn  18643  nmcn  18739  nmhmcn  18992  ipcnlem2  19062  ipcnlem1  19063  ipcn  19064  minveclem2  19187  minveclem3b  19189  minveclem3  19190  minveclem4  19193  minveclem7  19196
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-rex 2648  df-rab 2651  df-v 2894  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-nul 3565  df-if 3676  df-sn 3756  df-pr 3757  df-op 3759  df-uni 3951  df-br 4147  df-opab 4201  df-co 4820  df-iota 5351  df-fv 5395  df-ngp 18495
  Copyright terms: Public domain W3C validator