MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ngpms Unicode version

Theorem ngpms 18122
Description: A normed group is a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
ngpms  |-  ( G  e. NrmGrp  ->  G  e.  MetSp )

Proof of Theorem ngpms
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . . 3  |-  ( norm `  G )  =  (
norm `  G )
2 eqid 2283 . . 3  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
3 eqid 2283 . . 3  |-  ( dist `  G )  =  (
dist `  G )
41, 2, 3isngp 18118 . 2  |-  ( G  e. NrmGrp 
<->  ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp  /\  (
( norm `  G )  o.  ( -g `  G
) )  C_  ( dist `  G ) ) )
54simp2bi 971 1  |-  ( G  e. NrmGrp  ->  G  e.  MetSp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1684    C_ wss 3152    o. ccom 4693   ` cfv 5255   distcds 13217   Grpcgrp 14362   -gcsg 14365   MetSpcmt 17883   normcnm 18099  NrmGrpcngp 18100
This theorem is referenced by:  ngpxms  18123  ngptps  18124  isngp4  18133  nmf  18136  nmmtri  18143  nmrtri  18145  subgngp  18151  ngptgp  18152  tngngp2  18168  nlmvscnlem2  18196  nlmvscnlem1  18197  nlmvscn  18198  nrginvrcn  18202  nghmcn  18254  nmcn  18349  nmhmcn  18601  ipcnlem2  18671  ipcnlem1  18672  ipcn  18673  minveclem2  18790  minveclem3b  18792  minveclem3  18793  minveclem4  18796  minveclem7  18799
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-co 4698  df-iota 5219  df-fv 5263  df-ngp 18106
  Copyright terms: Public domain W3C validator