MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ngpms Unicode version

Theorem ngpms 18138
Description: A normed group is a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
ngpms  |-  ( G  e. NrmGrp  ->  G  e.  MetSp )

Proof of Theorem ngpms
StepHypRef Expression
1 eqid 2296 . . 3  |-  ( norm `  G )  =  (
norm `  G )
2 eqid 2296 . . 3  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
3 eqid 2296 . . 3  |-  ( dist `  G )  =  (
dist `  G )
41, 2, 3isngp 18134 . 2  |-  ( G  e. NrmGrp 
<->  ( G  e.  Grp  /\  G  e.  MetSp  /\  (
( norm `  G )  o.  ( -g `  G
) )  C_  ( dist `  G ) ) )
54simp2bi 971 1  |-  ( G  e. NrmGrp  ->  G  e.  MetSp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1696    C_ wss 3165    o. ccom 4709   ` cfv 5271   distcds 13233   Grpcgrp 14378   -gcsg 14381   MetSpcmt 17899   normcnm 18115  NrmGrpcngp 18116
This theorem is referenced by:  ngpxms  18139  ngptps  18140  isngp4  18149  nmf  18152  nmmtri  18159  nmrtri  18161  subgngp  18167  ngptgp  18168  tngngp2  18184  nlmvscnlem2  18212  nlmvscnlem1  18213  nlmvscn  18214  nrginvrcn  18218  nghmcn  18270  nmcn  18365  nmhmcn  18617  ipcnlem2  18687  ipcnlem1  18688  ipcn  18689  minveclem2  18806  minveclem3b  18808  minveclem3  18809  minveclem4  18812  minveclem7  18815
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-co 4714  df-iota 5235  df-fv 5279  df-ngp 18122
  Copyright terms: Public domain W3C validator