Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ngptgp Structured version   Unicode version

Theorem ngptgp 18678
 Description: A normed abelian group is a topological group (with the topology induced by the metric induced by the norm). (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
ngptgp NrmGrp

Proof of Theorem ngptgp
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ngpgrp 18647 . . 3 NrmGrp
3 ngpms 18648 . . . 4 NrmGrp
43adantr 453 . . 3 NrmGrp
5 mstps 18486 . . 3
64, 5syl 16 . 2 NrmGrp
7 eqid 2437 . . . . . 6
8 eqid 2437 . . . . . 6
97, 8grpsubf 14869 . . . . 5
102, 9syl 16 . . . 4 NrmGrp
11 rphalfcl 10637 . . . . . . . 8
1211adantl 454 . . . . . . 7 NrmGrp
13 simplll 736 . . . . . . . . . . . . 13 NrmGrp NrmGrp
1413, 4syl 16 . . . . . . . . . . . 12 NrmGrp
15 simpllr 737 . . . . . . . . . . . . 13 NrmGrp
1615simpld 447 . . . . . . . . . . . 12 NrmGrp
17 simprl 734 . . . . . . . . . . . 12 NrmGrp
18 eqid 2437 . . . . . . . . . . . . 13
197, 18mscl 18492 . . . . . . . . . . . 12
2014, 16, 17, 19syl3anc 1185 . . . . . . . . . . 11 NrmGrp
2115simprd 451 . . . . . . . . . . . 12 NrmGrp
22 simprr 735 . . . . . . . . . . . 12 NrmGrp
237, 18mscl 18492 . . . . . . . . . . . 12
2414, 21, 22, 23syl3anc 1185 . . . . . . . . . . 11 NrmGrp
25 rpre 10619 . . . . . . . . . . . 12
2625ad2antlr 709 . . . . . . . . . . 11 NrmGrp
27 lt2halves 10203 . . . . . . . . . . 11
2820, 24, 26, 27syl3anc 1185 . . . . . . . . . 10 NrmGrp
2913, 2syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14 NrmGrp
307, 8grpsubcl 14870 . . . . . . . . . . . . . 14
3129, 16, 21, 30syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . 13 NrmGrp
327, 8grpsubcl 14870 . . . . . . . . . . . . . 14
3329, 17, 22, 32syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . 13 NrmGrp
347, 8grpsubcl 14870 . . . . . . . . . . . . . 14
3529, 17, 21, 34syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . 13 NrmGrp
367, 18mstri 18500 . . . . . . . . . . . . 13
3714, 31, 33, 35, 36syl13anc 1187 . . . . . . . . . . . 12 NrmGrp
3813simpld 447 . . . . . . . . . . . . . 14 NrmGrp NrmGrp
397, 8, 18ngpsubcan 18661 . . . . . . . . . . . . . 14 NrmGrp
4038, 16, 17, 21, 39syl13anc 1187 . . . . . . . . . . . . 13 NrmGrp
41 eqid 2437 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
42 eqid 2437 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
437, 41, 42, 8grpsubval 14849 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4417, 21, 43syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . 15 NrmGrp
457, 41, 42, 8grpsubval 14849 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4645adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . 15 NrmGrp
4744, 46oveq12d 6100 . . . . . . . . . . . . . 14 NrmGrp
487, 42grpinvcl 14851 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4929, 21, 48syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . 15 NrmGrp
507, 42grpinvcl 14851 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5129, 22, 50syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . 15 NrmGrp
527, 41, 18ngplcan 18658 . . . . . . . . . . . . . . 15 NrmGrp
5313, 49, 51, 17, 52syl13anc 1187 . . . . . . . . . . . . . 14 NrmGrp
547, 42, 18ngpinvds 18660 . . . . . . . . . . . . . . 15 NrmGrp
5513, 21, 22, 54syl12anc 1183 . . . . . . . . . . . . . 14 NrmGrp
5647, 53, 553eqtrd 2473 . . . . . . . . . . . . 13 NrmGrp
5740, 56oveq12d 6100 . . . . . . . . . . . 12 NrmGrp
5837, 57breqtrd 4237 . . . . . . . . . . 11 NrmGrp
597, 18mscl 18492 . . . . . . . . . . . . 13
6014, 31, 33, 59syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . 12 NrmGrp
6120, 24readdcld 9116 . . . . . . . . . . . 12 NrmGrp
62 lelttr 9166 . . . . . . . . . . . 12
6360, 61, 26, 62syl3anc 1185 . . . . . . . . . . 11 NrmGrp
6458, 63mpand 658 . . . . . . . . . 10 NrmGrp
6528, 64syld 43 . . . . . . . . 9 NrmGrp
6616, 17ovresd 6215 . . . . . . . . . . 11 NrmGrp
6766breq1d 4223 . . . . . . . . . 10 NrmGrp
6821, 22ovresd 6215 . . . . . . . . . . 11 NrmGrp
6968breq1d 4223 . . . . . . . . . 10 NrmGrp
7067, 69anbi12d 693 . . . . . . . . 9 NrmGrp
7131, 33ovresd 6215 . . . . . . . . . 10 NrmGrp
7271breq1d 4223 . . . . . . . . 9 NrmGrp
7365, 70, 723imtr4d 261 . . . . . . . 8 NrmGrp
7473ralrimivva 2799 . . . . . . 7 NrmGrp
75 breq2 4217 . . . . . . . . . . 11
76 breq2 4217 . . . . . . . . . . 11
7775, 76anbi12d 693 . . . . . . . . . 10
7877imbi1d 310 . . . . . . . . 9
79782ralbidv 2748 . . . . . . . 8
8079rspcev 3053 . . . . . . 7
8112, 74, 80syl2anc 644 . . . . . 6 NrmGrp
8281ralrimiva 2790 . . . . 5 NrmGrp
8382ralrimivva 2799 . . . 4 NrmGrp
84 msxms 18485 . . . . . 6
85 eqid 2437 . . . . . . 7
867, 85xmsxmet 18487 . . . . . 6
874, 84, 863syl 19 . . . . 5 NrmGrp
88 eqid 2437 . . . . . 6
8988, 88, 88txmetcn 18579 . . . . 5
9087, 87, 87, 89syl3anc 1185 . . . 4 NrmGrp
9110, 83, 90mpbir2and 890 . . 3 NrmGrp
92 eqid 2437 . . . . . . 7
9392, 7, 85mstopn 18483 . . . . . 6
944, 93syl 16 . . . . 5 NrmGrp
9594, 94oveq12d 6100 . . . 4 NrmGrp
9695, 94oveq12d 6100 . . 3 NrmGrp
9791, 96eleqtrrd 2514 . 2 NrmGrp
9892, 8istgp2 18122 . 2
992, 6, 97, 98syl3anbrc 1139 1 NrmGrp
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  wral 2706  wrex 2707   class class class wbr 4213   cxp 4877   cres 4881  wf 5451  cfv 5455  (class class class)co 6082  cr 8990   caddc 8994   clt 9121   cle 9122   cdiv 9678  c2 10050  crp 10613  cbs 13470   cplusg 13530  cds 13539  ctopn 13650  cgrp 14686  cminusg 14687  csg 14689  cabel 15414  cxmt 16687  cmopn 16692  ctps 16962   ccn 17289   ctx 17593  ctgp 18102  cxme 18348  cmt 18349  NrmGrpcngp 18626 This theorem is referenced by:  nrgtgp  18709  nlmtlm  18730 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-inf2 7597  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068  ax-pre-sup 9069 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-iin 4097  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-se 4543  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-isom 5464  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-of 6306  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-2o 6726  df-oadd 6729  df-er 6906  df-map 7021  df-ixp 7065  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-fi 7417  df-sup 7447  df-oi 7480  df-card 7827  df-cda 8049  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-div 9679  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-4 10061  df-5 10062  df-6 10063  df-7 10064  df-8 10065  df-9 10066  df-10 10067  df-n0 10223  df-z 10284  df-dec 10384  df-uz 10490  df-q 10576  df-rp 10614  df-xneg 10711  df-xadd 10712  df-xmul 10713  df-icc 10924  df-fz 11045  df-fzo 11137  df-seq 11325  df-hash 11620  df-struct 13472  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-sets 13476  df-ress 13477  df-plusg 13543  df-mulr 13544  df-sca 13546  df-vsca 13547  df-tset 13549  df-ple 13550  df-ds 13552  df-hom 13554  df-cco 13555  df-rest 13651  df-topn 13652  df-topgen 13668  df-pt 13669  df-prds 13672  df-xrs 13727  df-0g 13728  df-gsum 13729  df-qtop 13734  df-imas 13735  df-xps 13737  df-mre 13812  df-mrc 13813  df-acs 13815  df-mnd 14691  df-plusf 14692  df-submnd 14740  df-grp 14813  df-minusg 14814  df-sbg 14815  df-mulg 14816  df-cntz 15117  df-cmn 15415  df-abl 15416  df-psmet 16695  df-xmet 16696  df-met 16697  df-bl 16698  df-mopn 16699  df-top 16964  df-bases 16966  df-topon 16967  df-topsp 16968  df-cn 17292  df-cnp 17293  df-tx 17595  df-hmeo 17788  df-tmd 18103  df-tgp 18104  df-xms 18351  df-ms 18352  df-tms 18353  df-nm 18631  df-ngp 18632
 Copyright terms: Public domain W3C validator