MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ngpxms Unicode version

Theorem ngpxms 18139
Description: A normed group is a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
ngpxms  |-  ( G  e. NrmGrp  ->  G  e.  * MetSp )

Proof of Theorem ngpxms
StepHypRef Expression
1 ngpms 18138 . 2  |-  ( G  e. NrmGrp  ->  G  e.  MetSp )
2 msxms 18016 . 2  |-  ( G  e.  MetSp  ->  G  e.  *
MetSp )
31, 2syl 15 1  |-  ( G  e. NrmGrp  ->  G  e.  * MetSp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1696   * MetSpcxme 17898   MetSpcmt 17899  NrmGrpcngp 18116
This theorem is referenced by:  ngpdsr  18142  ngpds2r  18144  ngpds3  18145  ngpds3r  18146  nmge0  18154  nmeq0  18155  minveclem4a  18810  minveclem4  18812
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-xp 4711  df-co 4714  df-res 4717  df-iota 5235  df-fv 5279  df-ms 17902  df-ngp 18122
  Copyright terms: Public domain W3C validator