MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ngtmnft Unicode version

Theorem ngtmnft 10496
Description: An extended real is not greater than minus infinity iff they are equal. (Contributed by NM, 2-Feb-2006.)
Assertion
Ref Expression
ngtmnft  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A  =  -oo  <->  -.  -oo  <  A ) )

Proof of Theorem ngtmnft
StepHypRef Expression
1 mnfxr 10456 . . . 4  |-  -oo  e.  RR*
2 xrltnr 10462 . . . 4  |-  (  -oo  e.  RR*  ->  -.  -oo  <  -oo )
31, 2ax-mp 8 . . 3  |-  -.  -oo  <  -oo
4 breq2 4027 . . 3  |-  ( A  =  -oo  ->  (  -oo  <  A  <->  -oo  <  -oo ) )
53, 4mtbiri 294 . 2  |-  ( A  =  -oo  ->  -.  -oo 
<  A )
6 mnfle 10470 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR*  ->  -oo  <_  A )
7 xrleloe 10478 . . . . . 6  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  (  -oo  <_  A  <->  (  -oo  <  A  \/  -oo  =  A ) ) )
81, 7mpan 651 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR*  ->  (  -oo  <_  A  <->  (  -oo  <  A  \/  -oo  =  A
) ) )
96, 8mpbid 201 . . . 4  |-  ( A  e.  RR*  ->  (  -oo  <  A  \/  -oo  =  A ) )
109ord 366 . . 3  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( -. 
-oo  <  A  ->  -oo  =  A ) )
11 eqcom 2285 . . 3  |-  (  -oo  =  A  <->  A  =  -oo )
1210, 11syl6ib 217 . 2  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( -. 
-oo  <  A  ->  A  =  -oo ) )
135, 12impbid2 195 1  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A  =  -oo  <->  -.  -oo  <  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    = wceq 1623    e. wcel 1684   class class class wbr 4023    -oocmnf 8865   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868
This theorem is referenced by:  xrrebnd  10497  ge0nemnf  10502  xlt2add  10580  xrsdsreclblem  16417  xblpnf  17953  supxrnemnf  23256
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873
  Copyright terms: Public domain W3C validator