HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nlelshi Unicode version

Theorem nlelshi 23411
Description: The null space of a linear functional is a subspace. (Contributed by NM, 11-Feb-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
nlelsh.1  |-  T  e. 
LinFn
Assertion
Ref Expression
nlelshi  |-  ( null `  T )  e.  SH

Proof of Theorem nlelshi
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-hv0cl 22354 . . 3  |-  0h  e.  ~H
2 nlelsh.1 . . . 4  |-  T  e. 
LinFn
32lnfn0i 23393 . . 3  |-  ( T `
 0h )  =  0
42lnfnfi 23392 . . . 4  |-  T : ~H
--> CC
5 elnlfn 23279 . . . 4  |-  ( T : ~H --> CC  ->  ( 0h  e.  ( null `  T )  <->  ( 0h  e.  ~H  /\  ( T `
 0h )  =  0 ) ) )
64, 5ax-mp 8 . . 3  |-  ( 0h  e.  ( null `  T
)  <->  ( 0h  e.  ~H  /\  ( T `  0h )  =  0
) )
71, 3, 6mpbir2an 887 . 2  |-  0h  e.  ( null `  T )
8 nlfnval 23232 . . . . . . . . . 10  |-  ( T : ~H --> CC  ->  (
null `  T )  =  ( `' T " { 0 } ) )
94, 8ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( null `  T )  =  ( `' T " { 0 } )
10 cnvimass 5164 . . . . . . . . 9  |-  ( `' T " { 0 } )  C_  dom  T
119, 10eqsstri 3321 . . . . . . . 8  |-  ( null `  T )  C_  dom  T
124fdmi 5536 . . . . . . . 8  |-  dom  T  =  ~H
1311, 12sseqtri 3323 . . . . . . 7  |-  ( null `  T )  C_  ~H
1413sseli 3287 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( null `  T
)  ->  x  e.  ~H )
1513sseli 3287 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( null `  T
)  ->  y  e.  ~H )
16 hvaddcl 22363 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  +h  y
)  e.  ~H )
1714, 15, 16syl2an 464 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( null `  T )  /\  y  e.  ( null `  T
) )  ->  (
x  +h  y )  e.  ~H )
182lnfnaddi 23394 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( T `  (
x  +h  y ) )  =  ( ( T `  x )  +  ( T `  y ) ) )
1914, 15, 18syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( null `  T )  /\  y  e.  ( null `  T
) )  ->  ( T `  ( x  +h  y ) )  =  ( ( T `  x )  +  ( T `  y ) ) )
20 elnlfn 23279 . . . . . . . . . 10  |-  ( T : ~H --> CC  ->  ( x  e.  ( null `  T )  <->  ( x  e.  ~H  /\  ( T `
 x )  =  0 ) ) )
214, 20ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( null `  T
)  <->  ( x  e. 
~H  /\  ( T `  x )  =  0 ) )
2221simprbi 451 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( null `  T
)  ->  ( T `  x )  =  0 )
23 elnlfn 23279 . . . . . . . . . 10  |-  ( T : ~H --> CC  ->  ( y  e.  ( null `  T )  <->  ( y  e.  ~H  /\  ( T `
 y )  =  0 ) ) )
244, 23ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( null `  T
)  <->  ( y  e. 
~H  /\  ( T `  y )  =  0 ) )
2524simprbi 451 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( null `  T
)  ->  ( T `  y )  =  0 )
2622, 25oveqan12d 6039 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( null `  T )  /\  y  e.  ( null `  T
) )  ->  (
( T `  x
)  +  ( T `
 y ) )  =  ( 0  +  0 ) )
2719, 26eqtrd 2419 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( null `  T )  /\  y  e.  ( null `  T
) )  ->  ( T `  ( x  +h  y ) )  =  ( 0  +  0 ) )
28 00id 9173 . . . . . 6  |-  ( 0  +  0 )  =  0
2927, 28syl6eq 2435 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( null `  T )  /\  y  e.  ( null `  T
) )  ->  ( T `  ( x  +h  y ) )  =  0 )
30 elnlfn 23279 . . . . . 6  |-  ( T : ~H --> CC  ->  ( ( x  +h  y
)  e.  ( null `  T )  <->  ( (
x  +h  y )  e.  ~H  /\  ( T `  ( x  +h  y ) )  =  0 ) ) )
314, 30ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( ( x  +h  y )  e.  ( null `  T
)  <->  ( ( x  +h  y )  e. 
~H  /\  ( T `  ( x  +h  y
) )  =  0 ) )
3217, 29, 31sylanbrc 646 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( null `  T )  /\  y  e.  ( null `  T
) )  ->  (
x  +h  y )  e.  ( null `  T
) )
3332rgen2 2745 . . 3  |-  A. x  e.  ( null `  T
) A. y  e.  ( null `  T
) ( x  +h  y )  e.  (
null `  T )
34 hvmulcl 22364 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  .h  y
)  e.  ~H )
3515, 34sylan2 461 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( null `  T ) )  -> 
( x  .h  y
)  e.  ~H )
362lnfnmuli 23395 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( T `  (
x  .h  y ) )  =  ( x  x.  ( T `  y ) ) )
3715, 36sylan2 461 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( null `  T ) )  -> 
( T `  (
x  .h  y ) )  =  ( x  x.  ( T `  y ) ) )
3825oveq2d 6036 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( null `  T
)  ->  ( x  x.  ( T `  y
) )  =  ( x  x.  0 ) )
39 mul01 9177 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x  x.  0 )  =  0 )
4038, 39sylan9eqr 2441 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( null `  T ) )  -> 
( x  x.  ( T `  y )
)  =  0 )
4137, 40eqtrd 2419 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( null `  T ) )  -> 
( T `  (
x  .h  y ) )  =  0 )
42 elnlfn 23279 . . . . . 6  |-  ( T : ~H --> CC  ->  ( ( x  .h  y
)  e.  ( null `  T )  <->  ( (
x  .h  y )  e.  ~H  /\  ( T `  ( x  .h  y ) )  =  0 ) ) )
434, 42ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( ( x  .h  y )  e.  ( null `  T
)  <->  ( ( x  .h  y )  e. 
~H  /\  ( T `  ( x  .h  y
) )  =  0 ) )
4435, 41, 43sylanbrc 646 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( null `  T ) )  -> 
( x  .h  y
)  e.  ( null `  T ) )
4544rgen2 2745 . . 3  |-  A. x  e.  CC  A. y  e.  ( null `  T
) ( x  .h  y )  e.  (
null `  T )
4633, 45pm3.2i 442 . 2  |-  ( A. x  e.  ( null `  T ) A. y  e.  ( null `  T
) ( x  +h  y )  e.  (
null `  T )  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  ( null `  T ) ( x  .h  y )  e.  ( null `  T
) )
47 issh3 22570 . . 3  |-  ( (
null `  T )  C_ 
~H  ->  ( ( null `  T )  e.  SH  <->  ( 0h  e.  ( null `  T )  /\  ( A. x  e.  ( null `  T ) A. y  e.  ( null `  T ) ( x  +h  y )  e.  ( null `  T
)  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  ( null `  T
) ( x  .h  y )  e.  (
null `  T )
) ) ) )
4813, 47ax-mp 8 . 2  |-  ( (
null `  T )  e.  SH  <->  ( 0h  e.  ( null `  T )  /\  ( A. x  e.  ( null `  T
) A. y  e.  ( null `  T
) ( x  +h  y )  e.  (
null `  T )  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  ( null `  T ) ( x  .h  y )  e.  ( null `  T
) ) ) )
497, 46, 48mpbir2an 887 1  |-  ( null `  T )  e.  SH
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2649    C_ wss 3263   {csn 3757   `'ccnv 4817   dom cdm 4818   "cima 4821   -->wf 5390   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   CCcc 8921   0cc0 8923    + caddc 8926    x. cmul 8928   ~Hchil 22270    +h cva 22271    .h csm 22272   0hc0v 22275   SHcsh 22279   nullcnl 22303   LinFnclf 22305
This theorem is referenced by:  nlelchi  23412
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-hilex 22350  ax-hfvadd 22351  ax-hv0cl 22354  ax-hvaddid 22355  ax-hfvmul 22356  ax-hvmulid 22357
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-riota 6485  df-er 6841  df-map 6956  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-ltxr 9058  df-sub 9225  df-sh 22557  df-nlfn 23197  df-lnfn 23199
  Copyright terms: Public domain W3C validator