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Theorem nlelshi 22640
Description: The null space of a linear functional is a subspace. (Contributed by NM, 11-Feb-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
nlelsh.1  |-  T  e. 
LinFn
Assertion
Ref Expression
nlelshi  |-  ( null `  T )  e.  SH

Proof of Theorem nlelshi
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-hv0cl 21583 . . 3  |-  0h  e.  ~H
2 nlelsh.1 . . . 4  |-  T  e. 
LinFn
32lnfn0i 22622 . . 3  |-  ( T `
 0h )  =  0
42lnfnfi 22621 . . . 4  |-  T : ~H
--> CC
5 elnlfn 22508 . . . 4  |-  ( T : ~H --> CC  ->  ( 0h  e.  ( null `  T )  <->  ( 0h  e.  ~H  /\  ( T `
 0h )  =  0 ) ) )
64, 5ax-mp 8 . . 3  |-  ( 0h  e.  ( null `  T
)  <->  ( 0h  e.  ~H  /\  ( T `  0h )  =  0
) )
71, 3, 6mpbir2an 886 . 2  |-  0h  e.  ( null `  T )
8 nlfnval 22461 . . . . . . . . . 10  |-  ( T : ~H --> CC  ->  (
null `  T )  =  ( `' T " { 0 } ) )
94, 8ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( null `  T )  =  ( `' T " { 0 } )
10 cnvimass 5033 . . . . . . . . 9  |-  ( `' T " { 0 } )  C_  dom  T
119, 10eqsstri 3208 . . . . . . . 8  |-  ( null `  T )  C_  dom  T
124fdmi 5394 . . . . . . . 8  |-  dom  T  =  ~H
1311, 12sseqtri 3210 . . . . . . 7  |-  ( null `  T )  C_  ~H
1413sseli 3176 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( null `  T
)  ->  x  e.  ~H )
1513sseli 3176 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( null `  T
)  ->  y  e.  ~H )
16 hvaddcl 21592 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  +h  y
)  e.  ~H )
1714, 15, 16syl2an 463 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( null `  T )  /\  y  e.  ( null `  T
) )  ->  (
x  +h  y )  e.  ~H )
182lnfnaddi 22623 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( T `  (
x  +h  y ) )  =  ( ( T `  x )  +  ( T `  y ) ) )
1914, 15, 18syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( null `  T )  /\  y  e.  ( null `  T
) )  ->  ( T `  ( x  +h  y ) )  =  ( ( T `  x )  +  ( T `  y ) ) )
20 elnlfn 22508 . . . . . . . . . 10  |-  ( T : ~H --> CC  ->  ( x  e.  ( null `  T )  <->  ( x  e.  ~H  /\  ( T `
 x )  =  0 ) ) )
214, 20ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( null `  T
)  <->  ( x  e. 
~H  /\  ( T `  x )  =  0 ) )
2221simprbi 450 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( null `  T
)  ->  ( T `  x )  =  0 )
23 elnlfn 22508 . . . . . . . . . 10  |-  ( T : ~H --> CC  ->  ( y  e.  ( null `  T )  <->  ( y  e.  ~H  /\  ( T `
 y )  =  0 ) ) )
244, 23ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( null `  T
)  <->  ( y  e. 
~H  /\  ( T `  y )  =  0 ) )
2524simprbi 450 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( null `  T
)  ->  ( T `  y )  =  0 )
2622, 25oveqan12d 5877 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( null `  T )  /\  y  e.  ( null `  T
) )  ->  (
( T `  x
)  +  ( T `
 y ) )  =  ( 0  +  0 ) )
2719, 26eqtrd 2315 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( null `  T )  /\  y  e.  ( null `  T
) )  ->  ( T `  ( x  +h  y ) )  =  ( 0  +  0 ) )
28 00id 8987 . . . . . 6  |-  ( 0  +  0 )  =  0
2927, 28syl6eq 2331 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( null `  T )  /\  y  e.  ( null `  T
) )  ->  ( T `  ( x  +h  y ) )  =  0 )
30 elnlfn 22508 . . . . . 6  |-  ( T : ~H --> CC  ->  ( ( x  +h  y
)  e.  ( null `  T )  <->  ( (
x  +h  y )  e.  ~H  /\  ( T `  ( x  +h  y ) )  =  0 ) ) )
314, 30ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( ( x  +h  y )  e.  ( null `  T
)  <->  ( ( x  +h  y )  e. 
~H  /\  ( T `  ( x  +h  y
) )  =  0 ) )
3217, 29, 31sylanbrc 645 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( null `  T )  /\  y  e.  ( null `  T
) )  ->  (
x  +h  y )  e.  ( null `  T
) )
3332rgen2 2639 . . 3  |-  A. x  e.  ( null `  T
) A. y  e.  ( null `  T
) ( x  +h  y )  e.  (
null `  T )
34 hvmulcl 21593 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  .h  y
)  e.  ~H )
3515, 34sylan2 460 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( null `  T ) )  -> 
( x  .h  y
)  e.  ~H )
362lnfnmuli 22624 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( T `  (
x  .h  y ) )  =  ( x  x.  ( T `  y ) ) )
3715, 36sylan2 460 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( null `  T ) )  -> 
( T `  (
x  .h  y ) )  =  ( x  x.  ( T `  y ) ) )
3825oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( null `  T
)  ->  ( x  x.  ( T `  y
) )  =  ( x  x.  0 ) )
39 mul01 8991 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x  x.  0 )  =  0 )
4038, 39sylan9eqr 2337 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( null `  T ) )  -> 
( x  x.  ( T `  y )
)  =  0 )
4137, 40eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( null `  T ) )  -> 
( T `  (
x  .h  y ) )  =  0 )
42 elnlfn 22508 . . . . . 6  |-  ( T : ~H --> CC  ->  ( ( x  .h  y
)  e.  ( null `  T )  <->  ( (
x  .h  y )  e.  ~H  /\  ( T `  ( x  .h  y ) )  =  0 ) ) )
434, 42ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( ( x  .h  y )  e.  ( null `  T
)  <->  ( ( x  .h  y )  e. 
~H  /\  ( T `  ( x  .h  y
) )  =  0 ) )
4435, 41, 43sylanbrc 645 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( null `  T ) )  -> 
( x  .h  y
)  e.  ( null `  T ) )
4544rgen2 2639 . . 3  |-  A. x  e.  CC  A. y  e.  ( null `  T
) ( x  .h  y )  e.  (
null `  T )
4633, 45pm3.2i 441 . 2  |-  ( A. x  e.  ( null `  T ) A. y  e.  ( null `  T
) ( x  +h  y )  e.  (
null `  T )  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  ( null `  T ) ( x  .h  y )  e.  ( null `  T
) )
47 issh3 21799 . . 3  |-  ( (
null `  T )  C_ 
~H  ->  ( ( null `  T )  e.  SH  <->  ( 0h  e.  ( null `  T )  /\  ( A. x  e.  ( null `  T ) A. y  e.  ( null `  T ) ( x  +h  y )  e.  ( null `  T
)  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  ( null `  T
) ( x  .h  y )  e.  (
null `  T )
) ) ) )
4813, 47ax-mp 8 . 2  |-  ( (
null `  T )  e.  SH  <->  ( 0h  e.  ( null `  T )  /\  ( A. x  e.  ( null `  T
) A. y  e.  ( null `  T
) ( x  +h  y )  e.  (
null `  T )  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  ( null `  T ) ( x  .h  y )  e.  ( null `  T
) ) ) )
497, 46, 48mpbir2an 886 1  |-  ( null `  T )  e.  SH
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543    C_ wss 3152   {csn 3640   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   "cima 4692   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   0cc0 8737    + caddc 8740    x. cmul 8742   ~Hchil 21499    +h cva 21500    .h csm 21501   0hc0v 21504   SHcsh 21508   nullcnl 21532   LinFnclf 21534
This theorem is referenced by:  nlelchi  22641
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-hilex 21579  ax-hfvadd 21580  ax-hv0cl 21583  ax-hvaddid 21584  ax-hfvmul 21585  ax-hvmulid 21586
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-ltxr 8872  df-sub 9039  df-sh 21786  df-nlfn 22426  df-lnfn 22428
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