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Theorem nlelshi 22656
Description: The null space of a linear functional is a subspace. (Contributed by NM, 11-Feb-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
nlelsh.1  |-  T  e. 
LinFn
Assertion
Ref Expression
nlelshi  |-  ( null `  T )  e.  SH

Proof of Theorem nlelshi
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-hv0cl 21599 . . 3  |-  0h  e.  ~H
2 nlelsh.1 . . . 4  |-  T  e. 
LinFn
32lnfn0i 22638 . . 3  |-  ( T `
 0h )  =  0
42lnfnfi 22637 . . . 4  |-  T : ~H
--> CC
5 elnlfn 22524 . . . 4  |-  ( T : ~H --> CC  ->  ( 0h  e.  ( null `  T )  <->  ( 0h  e.  ~H  /\  ( T `
 0h )  =  0 ) ) )
64, 5ax-mp 8 . . 3  |-  ( 0h  e.  ( null `  T
)  <->  ( 0h  e.  ~H  /\  ( T `  0h )  =  0
) )
71, 3, 6mpbir2an 886 . 2  |-  0h  e.  ( null `  T )
8 nlfnval 22477 . . . . . . . . . 10  |-  ( T : ~H --> CC  ->  (
null `  T )  =  ( `' T " { 0 } ) )
94, 8ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( null `  T )  =  ( `' T " { 0 } )
10 cnvimass 5049 . . . . . . . . 9  |-  ( `' T " { 0 } )  C_  dom  T
119, 10eqsstri 3221 . . . . . . . 8  |-  ( null `  T )  C_  dom  T
124fdmi 5410 . . . . . . . 8  |-  dom  T  =  ~H
1311, 12sseqtri 3223 . . . . . . 7  |-  ( null `  T )  C_  ~H
1413sseli 3189 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( null `  T
)  ->  x  e.  ~H )
1513sseli 3189 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( null `  T
)  ->  y  e.  ~H )
16 hvaddcl 21608 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  +h  y
)  e.  ~H )
1714, 15, 16syl2an 463 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( null `  T )  /\  y  e.  ( null `  T
) )  ->  (
x  +h  y )  e.  ~H )
182lnfnaddi 22639 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( T `  (
x  +h  y ) )  =  ( ( T `  x )  +  ( T `  y ) ) )
1914, 15, 18syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( null `  T )  /\  y  e.  ( null `  T
) )  ->  ( T `  ( x  +h  y ) )  =  ( ( T `  x )  +  ( T `  y ) ) )
20 elnlfn 22524 . . . . . . . . . 10  |-  ( T : ~H --> CC  ->  ( x  e.  ( null `  T )  <->  ( x  e.  ~H  /\  ( T `
 x )  =  0 ) ) )
214, 20ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( null `  T
)  <->  ( x  e. 
~H  /\  ( T `  x )  =  0 ) )
2221simprbi 450 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( null `  T
)  ->  ( T `  x )  =  0 )
23 elnlfn 22524 . . . . . . . . . 10  |-  ( T : ~H --> CC  ->  ( y  e.  ( null `  T )  <->  ( y  e.  ~H  /\  ( T `
 y )  =  0 ) ) )
244, 23ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( null `  T
)  <->  ( y  e. 
~H  /\  ( T `  y )  =  0 ) )
2524simprbi 450 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( null `  T
)  ->  ( T `  y )  =  0 )
2622, 25oveqan12d 5893 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( null `  T )  /\  y  e.  ( null `  T
) )  ->  (
( T `  x
)  +  ( T `
 y ) )  =  ( 0  +  0 ) )
2719, 26eqtrd 2328 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( null `  T )  /\  y  e.  ( null `  T
) )  ->  ( T `  ( x  +h  y ) )  =  ( 0  +  0 ) )
28 00id 9003 . . . . . 6  |-  ( 0  +  0 )  =  0
2927, 28syl6eq 2344 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( null `  T )  /\  y  e.  ( null `  T
) )  ->  ( T `  ( x  +h  y ) )  =  0 )
30 elnlfn 22524 . . . . . 6  |-  ( T : ~H --> CC  ->  ( ( x  +h  y
)  e.  ( null `  T )  <->  ( (
x  +h  y )  e.  ~H  /\  ( T `  ( x  +h  y ) )  =  0 ) ) )
314, 30ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( ( x  +h  y )  e.  ( null `  T
)  <->  ( ( x  +h  y )  e. 
~H  /\  ( T `  ( x  +h  y
) )  =  0 ) )
3217, 29, 31sylanbrc 645 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( null `  T )  /\  y  e.  ( null `  T
) )  ->  (
x  +h  y )  e.  ( null `  T
) )
3332rgen2 2652 . . 3  |-  A. x  e.  ( null `  T
) A. y  e.  ( null `  T
) ( x  +h  y )  e.  (
null `  T )
34 hvmulcl 21609 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  .h  y
)  e.  ~H )
3515, 34sylan2 460 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( null `  T ) )  -> 
( x  .h  y
)  e.  ~H )
362lnfnmuli 22640 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( T `  (
x  .h  y ) )  =  ( x  x.  ( T `  y ) ) )
3715, 36sylan2 460 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( null `  T ) )  -> 
( T `  (
x  .h  y ) )  =  ( x  x.  ( T `  y ) ) )
3825oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( null `  T
)  ->  ( x  x.  ( T `  y
) )  =  ( x  x.  0 ) )
39 mul01 9007 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x  x.  0 )  =  0 )
4038, 39sylan9eqr 2350 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( null `  T ) )  -> 
( x  x.  ( T `  y )
)  =  0 )
4137, 40eqtrd 2328 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( null `  T ) )  -> 
( T `  (
x  .h  y ) )  =  0 )
42 elnlfn 22524 . . . . . 6  |-  ( T : ~H --> CC  ->  ( ( x  .h  y
)  e.  ( null `  T )  <->  ( (
x  .h  y )  e.  ~H  /\  ( T `  ( x  .h  y ) )  =  0 ) ) )
434, 42ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( ( x  .h  y )  e.  ( null `  T
)  <->  ( ( x  .h  y )  e. 
~H  /\  ( T `  ( x  .h  y
) )  =  0 ) )
4435, 41, 43sylanbrc 645 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( null `  T ) )  -> 
( x  .h  y
)  e.  ( null `  T ) )
4544rgen2 2652 . . 3  |-  A. x  e.  CC  A. y  e.  ( null `  T
) ( x  .h  y )  e.  (
null `  T )
4633, 45pm3.2i 441 . 2  |-  ( A. x  e.  ( null `  T ) A. y  e.  ( null `  T
) ( x  +h  y )  e.  (
null `  T )  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  ( null `  T ) ( x  .h  y )  e.  ( null `  T
) )
47 issh3 21815 . . 3  |-  ( (
null `  T )  C_ 
~H  ->  ( ( null `  T )  e.  SH  <->  ( 0h  e.  ( null `  T )  /\  ( A. x  e.  ( null `  T ) A. y  e.  ( null `  T ) ( x  +h  y )  e.  ( null `  T
)  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  ( null `  T
) ( x  .h  y )  e.  (
null `  T )
) ) ) )
4813, 47ax-mp 8 . 2  |-  ( (
null `  T )  e.  SH  <->  ( 0h  e.  ( null `  T )  /\  ( A. x  e.  ( null `  T
) A. y  e.  ( null `  T
) ( x  +h  y )  e.  (
null `  T )  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  ( null `  T ) ( x  .h  y )  e.  ( null `  T
) ) ) )
497, 46, 48mpbir2an 886 1  |-  ( null `  T )  e.  SH
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556    C_ wss 3165   {csn 3653   `'ccnv 4704   dom cdm 4705   "cima 4708   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   0cc0 8753    + caddc 8756    x. cmul 8758   ~Hchil 21515    +h cva 21516    .h csm 21517   0hc0v 21520   SHcsh 21524   nullcnl 21548   LinFnclf 21550
This theorem is referenced by:  nlelchi  22657
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-hilex 21595  ax-hfvadd 21596  ax-hv0cl 21599  ax-hvaddid 21600  ax-hfvmul 21601  ax-hvmulid 21602
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-ltxr 8888  df-sub 9055  df-sh 21802  df-nlfn 22442  df-lnfn 22444
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