Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nlelshi Structured version   Unicode version

Theorem nlelshi 23555
 Description: The null space of a linear functional is a subspace. (Contributed by NM, 11-Feb-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
nlelsh.1
Assertion
Ref Expression
nlelshi

Proof of Theorem nlelshi
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-hv0cl 22498 . . 3
2 nlelsh.1 . . . 4
32lnfn0i 23537 . . 3
42lnfnfi 23536 . . . 4
5 elnlfn 23423 . . . 4
64, 5ax-mp 8 . . 3
71, 3, 6mpbir2an 887 . 2
8 nlfnval 23376 . . . . . . . . . 10
94, 8ax-mp 8 . . . . . . . . 9
10 cnvimass 5216 . . . . . . . . 9
119, 10eqsstri 3370 . . . . . . . 8
124fdmi 5588 . . . . . . . 8
1311, 12sseqtri 3372 . . . . . . 7
1413sseli 3336 . . . . . 6
1513sseli 3336 . . . . . 6
16 hvaddcl 22507 . . . . . 6
1714, 15, 16syl2an 464 . . . . 5
182lnfnaddi 23538 . . . . . . . 8
1914, 15, 18syl2an 464 . . . . . . 7
20 elnlfn 23423 . . . . . . . . . 10
214, 20ax-mp 8 . . . . . . . . 9
2221simprbi 451 . . . . . . . 8
23 elnlfn 23423 . . . . . . . . . 10
244, 23ax-mp 8 . . . . . . . . 9
2524simprbi 451 . . . . . . . 8
2622, 25oveqan12d 6092 . . . . . . 7
2719, 26eqtrd 2467 . . . . . 6
28 00id 9233 . . . . . 6
2927, 28syl6eq 2483 . . . . 5
30 elnlfn 23423 . . . . . 6
314, 30ax-mp 8 . . . . 5
3217, 29, 31sylanbrc 646 . . . 4
3332rgen2 2794 . . 3
34 hvmulcl 22508 . . . . . 6
3515, 34sylan2 461 . . . . 5
362lnfnmuli 23539 . . . . . . 7
3715, 36sylan2 461 . . . . . 6
3825oveq2d 6089 . . . . . . 7
39 mul01 9237 . . . . . . 7
4038, 39sylan9eqr 2489 . . . . . 6
4137, 40eqtrd 2467 . . . . 5
42 elnlfn 23423 . . . . . 6
434, 42ax-mp 8 . . . . 5
4435, 41, 43sylanbrc 646 . . . 4
4544rgen2 2794 . . 3
4633, 45pm3.2i 442 . 2
47 issh3 22714 . . 3
4813, 47ax-mp 8 . 2
497, 46, 48mpbir2an 887 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697   wss 3312  csn 3806  ccnv 4869   cdm 4870  cima 4873  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073  cc 8980  cc0 8982   caddc 8985   cmul 8987  chil 22414   cva 22415   csm 22416  c0v 22419  csh 22423  cnl 22447  clf 22449 This theorem is referenced by:  nlelchi  23556 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-hilex 22494  ax-hfvadd 22495  ax-hv0cl 22498  ax-hvaddid 22499  ax-hfvmul 22500  ax-hvmulid 22501 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-ltxr 9117  df-sub 9285  df-sh 22701  df-nlfn 23341  df-lnfn 23343
 Copyright terms: Public domain W3C validator