Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nlelshi Unicode version

Theorem nlelshi 23411
 Description: The null space of a linear functional is a subspace. (Contributed by NM, 11-Feb-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
nlelsh.1
Assertion
Ref Expression
nlelshi

Proof of Theorem nlelshi
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-hv0cl 22354 . . 3
2 nlelsh.1 . . . 4
32lnfn0i 23393 . . 3
42lnfnfi 23392 . . . 4
5 elnlfn 23279 . . . 4
64, 5ax-mp 8 . . 3
71, 3, 6mpbir2an 887 . 2
8 nlfnval 23232 . . . . . . . . . 10
94, 8ax-mp 8 . . . . . . . . 9
10 cnvimass 5164 . . . . . . . . 9
119, 10eqsstri 3321 . . . . . . . 8
124fdmi 5536 . . . . . . . 8
1311, 12sseqtri 3323 . . . . . . 7
1413sseli 3287 . . . . . 6
1513sseli 3287 . . . . . 6
16 hvaddcl 22363 . . . . . 6
1714, 15, 16syl2an 464 . . . . 5
182lnfnaddi 23394 . . . . . . . 8
1914, 15, 18syl2an 464 . . . . . . 7
20 elnlfn 23279 . . . . . . . . . 10
214, 20ax-mp 8 . . . . . . . . 9
2221simprbi 451 . . . . . . . 8
23 elnlfn 23279 . . . . . . . . . 10
244, 23ax-mp 8 . . . . . . . . 9
2524simprbi 451 . . . . . . . 8
2622, 25oveqan12d 6039 . . . . . . 7
2719, 26eqtrd 2419 . . . . . 6
28 00id 9173 . . . . . 6
2927, 28syl6eq 2435 . . . . 5
30 elnlfn 23279 . . . . . 6
314, 30ax-mp 8 . . . . 5
3217, 29, 31sylanbrc 646 . . . 4
3332rgen2 2745 . . 3
34 hvmulcl 22364 . . . . . 6
3515, 34sylan2 461 . . . . 5
362lnfnmuli 23395 . . . . . . 7
3715, 36sylan2 461 . . . . . 6
3825oveq2d 6036 . . . . . . 7
39 mul01 9177 . . . . . . 7
4038, 39sylan9eqr 2441 . . . . . 6
4137, 40eqtrd 2419 . . . . 5
42 elnlfn 23279 . . . . . 6
434, 42ax-mp 8 . . . . 5
4435, 41, 43sylanbrc 646 . . . 4
4544rgen2 2745 . . 3
4633, 45pm3.2i 442 . 2
47 issh3 22570 . . 3
4813, 47ax-mp 8 . 2
497, 46, 48mpbir2an 887 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wb 177   wa 359   wceq 1649   wcel 1717  wral 2649   wss 3263  csn 3757  ccnv 4817   cdm 4818  cima 4821  wf 5390  cfv 5394  (class class class)co 6020  cc 8921  cc0 8923   caddc 8926   cmul 8928  chil 22270   cva 22271   csm 22272  c0v 22275  csh 22279  cnl 22303  clf 22305 This theorem is referenced by:  nlelchi  23412 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-hilex 22350  ax-hfvadd 22351  ax-hv0cl 22354  ax-hvaddid 22355  ax-hfvmul 22356  ax-hvmulid 22357 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-riota 6485  df-er 6841  df-map 6956  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-ltxr 9058  df-sub 9225  df-sh 22557  df-nlfn 23197  df-lnfn 23199
 Copyright terms: Public domain W3C validator