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Theorem nllyidm 17509
Description: Idempotence of the "n-locally" predicate, i.e. being "n-locally  A " is a local property. (Use loclly 17507 to show 𝑛Locally 𝑛Locally  A  = 𝑛Locally  A.) (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
nllyidm  |- Locally 𝑛Locally  A  = 𝑛Locally  A

Proof of Theorem nllyidm
Dummy variables  j  u  v  x  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 llytop 17492 . . . 4  |-  ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  ->  j  e.  Top )
2 llyi 17494 . . . . . . 7  |-  ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x )  ->  E. u  e.  j  ( u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) )
3 simprr3 1007 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x )  /\  ( u  e.  j  /\  ( u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  ->  (
jt  u )  e. 𝑛Locally  A )
4 simprl 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x )  /\  ( u  e.  j  /\  ( u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  ->  u  e.  j )
5 ssid 3331 . . . . . . . . . . 11  |-  u  C_  u
65a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x )  /\  ( u  e.  j  /\  ( u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  ->  u  C_  u )
7 simpl1 960 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x )  /\  ( u  e.  j  /\  ( u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  ->  j  e. Locally 𝑛Locally  A )
87, 1syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x )  /\  ( u  e.  j  /\  ( u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  ->  j  e.  Top )
9 restopn2 17199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  Top  /\  u  e.  j )  ->  ( u  e.  ( jt  u )  <->  ( u  e.  j  /\  u  C_  u ) ) )
108, 4, 9syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x )  /\  ( u  e.  j  /\  ( u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  ->  (
u  e.  ( jt  u )  <->  ( u  e.  j  /\  u  C_  u ) ) )
114, 6, 10mpbir2and 889 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x )  /\  ( u  e.  j  /\  ( u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  ->  u  e.  ( jt  u ) )
12 simprr2 1006 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x )  /\  ( u  e.  j  /\  ( u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  ->  y  e.  u )
13 nlly2i 17496 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A  /\  u  e.  ( jt  u
)  /\  y  e.  u )  ->  E. v  e.  ~P  u E. z  e.  ( jt  u ) ( y  e.  z  /\  z  C_  v  /\  ( ( jt  u )t  v )  e.  A ) )
143, 11, 12, 13syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x )  /\  ( u  e.  j  /\  ( u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  ->  E. v  e.  ~P  u E. z  e.  ( jt  u ) ( y  e.  z  /\  z  C_  v  /\  ( ( jt  u )t  v )  e.  A ) )
15 restopn2 17199 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j  e.  Top  /\  u  e.  j )  ->  ( z  e.  ( jt  u )  <->  ( z  e.  j  /\  z  C_  u ) ) )
168, 4, 15syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x )  /\  ( u  e.  j  /\  ( u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  ->  (
z  e.  ( jt  u )  <->  ( z  e.  j  /\  z  C_  u ) ) )
1716adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x
)  /\  ( u  e.  j  /\  (
u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  /\  v  e.  ~P u )  -> 
( z  e.  ( jt  u )  <->  ( z  e.  j  /\  z  C_  u ) ) )
188adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x
)  /\  ( u  e.  j  /\  (
u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  /\  (
v  e.  ~P u  /\  ( z  e.  j  /\  z  C_  u
)  /\  ( y  e.  z  /\  z  C_  v  /\  ( ( jt  u )t  v )  e.  A ) ) )  ->  j  e.  Top )
19 simpr2l 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x
)  /\  ( u  e.  j  /\  (
u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  /\  (
v  e.  ~P u  /\  ( z  e.  j  /\  z  C_  u
)  /\  ( y  e.  z  /\  z  C_  v  /\  ( ( jt  u )t  v )  e.  A ) ) )  ->  z  e.  j )
20 simpr31 1047 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x
)  /\  ( u  e.  j  /\  (
u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  /\  (
v  e.  ~P u  /\  ( z  e.  j  /\  z  C_  u
)  /\  ( y  e.  z  /\  z  C_  v  /\  ( ( jt  u )t  v )  e.  A ) ) )  ->  y  e.  z )
21 opnneip 17142 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( j  e.  Top  /\  z  e.  j  /\  y  e.  z )  ->  z  e.  ( ( nei `  j ) `
 { y } ) )
2218, 19, 20, 21syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x
)  /\  ( u  e.  j  /\  (
u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  /\  (
v  e.  ~P u  /\  ( z  e.  j  /\  z  C_  u
)  /\  ( y  e.  z  /\  z  C_  v  /\  ( ( jt  u )t  v )  e.  A ) ) )  ->  z  e.  ( ( nei `  j
) `  { y } ) )
23 simpr32 1048 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x
)  /\  ( u  e.  j  /\  (
u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  /\  (
v  e.  ~P u  /\  ( z  e.  j  /\  z  C_  u
)  /\  ( y  e.  z  /\  z  C_  v  /\  ( ( jt  u )t  v )  e.  A ) ) )  ->  z  C_  v
)
24 simpr1 963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x
)  /\  ( u  e.  j  /\  (
u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  /\  (
v  e.  ~P u  /\  ( z  e.  j  /\  z  C_  u
)  /\  ( y  e.  z  /\  z  C_  v  /\  ( ( jt  u )t  v )  e.  A ) ) )  ->  v  e.  ~P u )
2524elpwid 3772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x
)  /\  ( u  e.  j  /\  (
u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  /\  (
v  e.  ~P u  /\  ( z  e.  j  /\  z  C_  u
)  /\  ( y  e.  z  /\  z  C_  v  /\  ( ( jt  u )t  v )  e.  A ) ) )  ->  v  C_  u
)
264adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x
)  /\  ( u  e.  j  /\  (
u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  /\  (
v  e.  ~P u  /\  ( z  e.  j  /\  z  C_  u
)  /\  ( y  e.  z  /\  z  C_  v  /\  ( ( jt  u )t  v )  e.  A ) ) )  ->  u  e.  j )
27 elssuni 4007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  e.  j  ->  u  C_ 
U. j )
2826, 27syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x
)  /\  ( u  e.  j  /\  (
u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  /\  (
v  e.  ~P u  /\  ( z  e.  j  /\  z  C_  u
)  /\  ( y  e.  z  /\  z  C_  v  /\  ( ( jt  u )t  v )  e.  A ) ) )  ->  u  C_  U. j
)
2925, 28sstrd 3322 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x
)  /\  ( u  e.  j  /\  (
u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  /\  (
v  e.  ~P u  /\  ( z  e.  j  /\  z  C_  u
)  /\  ( y  e.  z  /\  z  C_  v  /\  ( ( jt  u )t  v )  e.  A ) ) )  ->  v  C_  U. j
)
30 eqid 2408 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  U. j  =  U. j
3130ssnei2 17139 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( j  e.  Top  /\  z  e.  ( ( nei `  j ) `
 { y } ) )  /\  (
z  C_  v  /\  v  C_  U. j ) )  ->  v  e.  ( ( nei `  j
) `  { y } ) )
3218, 22, 23, 29, 31syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x
)  /\  ( u  e.  j  /\  (
u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  /\  (
v  e.  ~P u  /\  ( z  e.  j  /\  z  C_  u
)  /\  ( y  e.  z  /\  z  C_  v  /\  ( ( jt  u )t  v )  e.  A ) ) )  ->  v  e.  ( ( nei `  j
) `  { y } ) )
33 simprr1 1005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x )  /\  ( u  e.  j  /\  ( u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  ->  u  C_  x )
3433adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x
)  /\  ( u  e.  j  /\  (
u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  /\  (
v  e.  ~P u  /\  ( z  e.  j  /\  z  C_  u
)  /\  ( y  e.  z  /\  z  C_  v  /\  ( ( jt  u )t  v )  e.  A ) ) )  ->  u  C_  x
)
3525, 34sstrd 3322 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x
)  /\  ( u  e.  j  /\  (
u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  /\  (
v  e.  ~P u  /\  ( z  e.  j  /\  z  C_  u
)  /\  ( y  e.  z  /\  z  C_  v  /\  ( ( jt  u )t  v )  e.  A ) ) )  ->  v  C_  x
)
36 vex 2923 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  v  e. 
_V
3736elpw 3769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  e.  ~P x  <->  v  C_  x )
3835, 37sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x
)  /\  ( u  e.  j  /\  (
u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  /\  (
v  e.  ~P u  /\  ( z  e.  j  /\  z  C_  u
)  /\  ( y  e.  z  /\  z  C_  v  /\  ( ( jt  u )t  v )  e.  A ) ) )  ->  v  e.  ~P x )
39 elin 3494 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  e.  ( ( ( nei `  j ) `
 { y } )  i^i  ~P x
)  <->  ( v  e.  ( ( nei `  j
) `  { y } )  /\  v  e.  ~P x ) )
4032, 38, 39sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x
)  /\  ( u  e.  j  /\  (
u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  /\  (
v  e.  ~P u  /\  ( z  e.  j  /\  z  C_  u
)  /\  ( y  e.  z  /\  z  C_  v  /\  ( ( jt  u )t  v )  e.  A ) ) )  ->  v  e.  ( ( ( nei `  j
) `  { y } )  i^i  ~P x ) )
41 restabs 17187 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( j  e.  Top  /\  v  C_  u  /\  u  e.  j )  ->  (
( jt  u )t  v )  =  ( jt  v ) )
4218, 25, 26, 41syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x
)  /\  ( u  e.  j  /\  (
u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  /\  (
v  e.  ~P u  /\  ( z  e.  j  /\  z  C_  u
)  /\  ( y  e.  z  /\  z  C_  v  /\  ( ( jt  u )t  v )  e.  A ) ) )  ->  ( ( jt  u )t  v )  =  ( jt  v ) )
43 simpr33 1049 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x
)  /\  ( u  e.  j  /\  (
u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  /\  (
v  e.  ~P u  /\  ( z  e.  j  /\  z  C_  u
)  /\  ( y  e.  z  /\  z  C_  v  /\  ( ( jt  u )t  v )  e.  A ) ) )  ->  ( ( jt  u )t  v )  e.  A
)
4442, 43eqeltrrd 2483 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x
)  /\  ( u  e.  j  /\  (
u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  /\  (
v  e.  ~P u  /\  ( z  e.  j  /\  z  C_  u
)  /\  ( y  e.  z  /\  z  C_  v  /\  ( ( jt  u )t  v )  e.  A ) ) )  ->  ( jt  v )  e.  A )
4540, 44jca 519 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x
)  /\  ( u  e.  j  /\  (
u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  /\  (
v  e.  ~P u  /\  ( z  e.  j  /\  z  C_  u
)  /\  ( y  e.  z  /\  z  C_  v  /\  ( ( jt  u )t  v )  e.  A ) ) )  ->  ( v  e.  ( ( ( nei `  j ) `  {
y } )  i^i 
~P x )  /\  ( jt  v )  e.  A ) )
46453exp2 1171 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x )  /\  ( u  e.  j  /\  ( u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  ->  (
v  e.  ~P u  ->  ( ( z  e.  j  /\  z  C_  u )  ->  (
( y  e.  z  /\  z  C_  v  /\  ( ( jt  u )t  v )  e.  A )  ->  ( v  e.  ( ( ( nei `  j ) `  {
y } )  i^i 
~P x )  /\  ( jt  v )  e.  A ) ) ) ) )
4746imp 419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x
)  /\  ( u  e.  j  /\  (
u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  /\  v  e.  ~P u )  -> 
( ( z  e.  j  /\  z  C_  u )  ->  (
( y  e.  z  /\  z  C_  v  /\  ( ( jt  u )t  v )  e.  A )  ->  ( v  e.  ( ( ( nei `  j ) `  {
y } )  i^i 
~P x )  /\  ( jt  v )  e.  A ) ) ) )
4817, 47sylbid 207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x
)  /\  ( u  e.  j  /\  (
u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  /\  v  e.  ~P u )  -> 
( z  e.  ( jt  u )  ->  (
( y  e.  z  /\  z  C_  v  /\  ( ( jt  u )t  v )  e.  A )  ->  ( v  e.  ( ( ( nei `  j ) `  {
y } )  i^i 
~P x )  /\  ( jt  v )  e.  A ) ) ) )
4948rexlimdv 2793 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x
)  /\  ( u  e.  j  /\  (
u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  /\  v  e.  ~P u )  -> 
( E. z  e.  ( jt  u ) ( y  e.  z  /\  z  C_  v  /\  ( ( jt  u )t  v )  e.  A )  ->  (
v  e.  ( ( ( nei `  j
) `  { y } )  i^i  ~P x )  /\  (
jt  v )  e.  A
) ) )
5049expimpd 587 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x )  /\  ( u  e.  j  /\  ( u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  ->  (
( v  e.  ~P u  /\  E. z  e.  ( jt  u ) ( y  e.  z  /\  z  C_  v  /\  ( ( jt  u )t  v )  e.  A ) )  -> 
( v  e.  ( ( ( nei `  j
) `  { y } )  i^i  ~P x )  /\  (
jt  v )  e.  A
) ) )
5150reximdv2 2779 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x )  /\  ( u  e.  j  /\  ( u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  ->  ( E. v  e.  ~P  u E. z  e.  ( jt  u ) ( y  e.  z  /\  z  C_  v  /\  ( ( jt  u )t  v )  e.  A )  ->  E. v  e.  ( ( ( nei `  j ) `  {
y } )  i^i 
~P x ) ( jt  v )  e.  A
) )
5214, 51mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x )  /\  ( u  e.  j  /\  ( u  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( jt  u )  e. 𝑛Locally  A ) ) )  ->  E. v  e.  ( ( ( nei `  j ) `  {
y } )  i^i 
~P x ) ( jt  v )  e.  A
)
532, 52rexlimddv 2798 . . . . . 6  |-  ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j  /\  y  e.  x )  ->  E. v  e.  ( ( ( nei `  j ) `  {
y } )  i^i 
~P x ) ( jt  v )  e.  A
)
54533expb 1154 . . . . 5  |-  ( ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  /\  (
x  e.  j  /\  y  e.  x )
)  ->  E. v  e.  ( ( ( nei `  j ) `  {
y } )  i^i 
~P x ) ( jt  v )  e.  A
)
5554ralrimivva 2762 . . . 4  |-  ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  ->  A. x  e.  j 
A. y  e.  x  E. v  e.  (
( ( nei `  j
) `  { y } )  i^i  ~P x ) ( jt  v )  e.  A )
56 isnlly 17489 . . . 4  |-  ( j  e. 𝑛Locally  A  <->  ( j  e. 
Top  /\  A. x  e.  j  A. y  e.  x  E. v  e.  ( ( ( nei `  j ) `  {
y } )  i^i 
~P x ) ( jt  v )  e.  A
) )
571, 55, 56sylanbrc 646 . . 3  |-  ( j  e. Locally 𝑛Locally  A  ->  j  e. 𝑛Locally  A )
5857ssriv 3316 . 2  |- Locally 𝑛Locally  A  C_ 𝑛Locally  A
59 nllyrest 17506 . . . . 5  |-  ( ( j  e. 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j )  ->  (
jt  x )  e. 𝑛Locally  A )
6059adantl 453 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  ( j  e. 𝑛Locally  A  /\  x  e.  j ) )  -> 
( jt  x )  e. 𝑛Locally  A )
61 nllytop 17493 . . . . . 6  |-  ( j  e. 𝑛Locally  A  ->  j  e.  Top )
6261ssriv 3316 . . . . 5  |- 𝑛Locally  A  C_  Top
6362a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
-> 𝑛Locally  A  C_  Top )
6460, 63restlly 17503 . . 3  |-  (  T. 
-> 𝑛Locally  A  C_ Locally 𝑛Locally  A )
6564trud 1329 . 2  |- 𝑛Locally  A  C_ Locally 𝑛Locally  A
6658, 65eqssi 3328 1  |- Locally 𝑛Locally  A  = 𝑛Locally  A
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    T. wtru 1322    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2670   E.wrex 2671    i^i cin 3283    C_ wss 3284   ~Pcpw 3763   {csn 3778   U.cuni 3979   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   ↾t crest 13607   Topctop 16917   neicnei 17120  Locally clly 17484  𝑛Locally cnlly 17485
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-oadd 6691  df-er 6868  df-en 7073  df-fin 7076  df-fi 7378  df-rest 13609  df-topgen 13626  df-top 16922  df-bases 16924  df-topon 16925  df-nei 17121  df-lly 17486  df-nlly 17487
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