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Theorem nllyrest 17318
Description: An open subspace of an n-locally  A space is also n-locally  A. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
nllyrest  |-  ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  B  e.  J )  ->  ( Jt  B )  e. 𝑛Locally  A )

Proof of Theorem nllyrest
Dummy variables  s  u  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nllytop 17305 . . 3  |-  ( J  e. 𝑛Locally  A  ->  J  e.  Top )
2 resttop 16997 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  J )  ->  ( Jt  B )  e.  Top )
31, 2sylan 457 . 2  |-  ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  B  e.  J )  ->  ( Jt  B )  e.  Top )
4 restopn2 17014 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  J )  ->  ( x  e.  ( Jt  B )  <->  ( x  e.  J  /\  x  C_  B ) ) )
51, 4sylan 457 . . . 4  |-  ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  B  e.  J )  ->  (
x  e.  ( Jt  B )  <->  ( x  e.  J  /\  x  C_  B ) ) )
6 simp1l 979 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  B  e.  J )  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x
)  ->  J  e. 𝑛Locally  A
)
7 simp2l 981 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  B  e.  J )  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x
)  ->  x  e.  J )
8 simp3 957 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  B  e.  J )  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x
)  ->  y  e.  x )
9 nlly2i 17308 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  x  e.  J  /\  y  e.  x )  ->  E. s  e.  ~P  x E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  A ) )
106, 7, 8, 9syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  B  e.  J )  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x
)  ->  E. s  e.  ~P  x E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  A ) )
1133ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  B  e.  J )  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x
)  ->  ( Jt  B
)  e.  Top )
12113ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  s  e.  ~P x  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  A ) ) )  ->  ( Jt  B )  e.  Top )
13 simp3l 983 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  s  e.  ~P x  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  A ) ) )  ->  u  e.  J
)
14 simp3r2 1064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  s  e.  ~P x  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  A ) ) )  ->  u  C_  s
)
15 simp2 956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  s  e.  ~P x  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  A ) ) )  ->  s  e.  ~P x )
16 elpwi 3709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( s  e.  ~P x  -> 
s  C_  x )
1715, 16syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  s  e.  ~P x  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  A ) ) )  ->  s  C_  x
)
18 simp12r 1069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  s  e.  ~P x  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  A ) ) )  ->  x  C_  B
)
1917, 18sstrd 3265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  s  e.  ~P x  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  A ) ) )  ->  s  C_  B
)
2014, 19sstrd 3265 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  s  e.  ~P x  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  A ) ) )  ->  u  C_  B
)
2163ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  s  e.  ~P x  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  A ) ) )  ->  J  e. 𝑛Locally  A )
2221, 1syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  s  e.  ~P x  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  A ) ) )  ->  J  e.  Top )
23 simp11r 1067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  s  e.  ~P x  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  A ) ) )  ->  B  e.  J
)
24 restopn2 17014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  J )  ->  ( u  e.  ( Jt  B )  <->  ( u  e.  J  /\  u  C_  B ) ) )
2522, 23, 24syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  s  e.  ~P x  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  A ) ) )  ->  ( u  e.  ( Jt  B )  <->  ( u  e.  J  /\  u  C_  B ) ) )
2613, 20, 25mpbir2and 888 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  s  e.  ~P x  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  A ) ) )  ->  u  e.  ( Jt  B ) )
27 simp3r1 1063 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  s  e.  ~P x  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  A ) ) )  ->  y  e.  u
)
28 opnneip 16962 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( Jt  B )  e.  Top  /\  u  e.  ( Jt  B )  /\  y  e.  u )  ->  u  e.  ( ( nei `  ( Jt  B ) ) `  { y } ) )
2912, 26, 27, 28syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  s  e.  ~P x  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  A ) ) )  ->  u  e.  ( ( nei `  ( Jt  B ) ) `  { y } ) )
30 elssuni 3936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( B  e.  J  ->  B  C_ 
U. J )
3123, 30syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  s  e.  ~P x  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  A ) ) )  ->  B  C_  U. J
)
32 eqid 2358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  U. J  =  U. J
3332restuni 16999 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  C_  U. J )  ->  B  =  U. ( Jt  B ) )
3422, 31, 33syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  s  e.  ~P x  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  A ) ) )  ->  B  =  U. ( Jt  B ) )
3519, 34sseqtrd 3290 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  s  e.  ~P x  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  A ) ) )  ->  s  C_  U. ( Jt  B ) )
36 eqid 2358 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U. ( Jt  B )  =  U. ( Jt  B )
3736ssnei2 16959 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( Jt  B )  e.  Top  /\  u  e.  ( ( nei `  ( Jt  B ) ) `  { y } ) )  /\  ( u 
C_  s  /\  s  C_ 
U. ( Jt  B ) ) )  ->  s  e.  ( ( nei `  ( Jt  B ) ) `  { y } ) )
3812, 29, 14, 35, 37syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  s  e.  ~P x  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  A ) ) )  ->  s  e.  ( ( nei `  ( Jt  B ) ) `  { y } ) )
39 elin 3434 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  e.  ( ( ( nei `  ( Jt  B ) ) `  {
y } )  i^i 
~P x )  <->  ( s  e.  ( ( nei `  ( Jt  B ) ) `  { y } )  /\  s  e.  ~P x ) )
4038, 15, 39sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  s  e.  ~P x  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  A ) ) )  ->  s  e.  ( ( ( nei `  ( Jt  B ) ) `  { y } )  i^i  ~P x ) )
41 restabs 17002 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  Top  /\  s  C_  B  /\  B  e.  J )  ->  (
( Jt  B )t  s )  =  ( Jt  s ) )
4222, 19, 23, 41syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  s  e.  ~P x  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  A ) ) )  ->  ( ( Jt  B )t  s )  =  ( Jt  s ) )
43 simp3r3 1065 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  s  e.  ~P x  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  A ) ) )  ->  ( Jt  s )  e.  A )
4442, 43eqeltrd 2432 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  s  e.  ~P x  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  A ) ) )  ->  ( ( Jt  B )t  s )  e.  A
)
4540, 44jca 518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  s  e.  ~P x  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  A ) ) )  ->  ( s  e.  ( ( ( nei `  ( Jt  B ) ) `  { y } )  i^i  ~P x )  /\  ( ( Jt  B )t  s )  e.  A
) )
46453expa 1151 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  B  e.  J )  /\  (
x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  s  e.  ~P x )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  A ) ) )  ->  ( s  e.  ( ( ( nei `  ( Jt  B ) ) `  { y } )  i^i  ~P x )  /\  ( ( Jt  B )t  s )  e.  A
) )
4746expr 598 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  B  e.  J )  /\  (
x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  s  e.  ~P x )  /\  u  e.  J )  ->  (
( y  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  A )  ->  (
s  e.  ( ( ( nei `  ( Jt  B ) ) `  { y } )  i^i  ~P x )  /\  ( ( Jt  B )t  s )  e.  A
) ) )
4847rexlimdva 2743 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  s  e.  ~P x )  -> 
( E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  A )  -> 
( s  e.  ( ( ( nei `  ( Jt  B ) ) `  { y } )  i^i  ~P x )  /\  ( ( Jt  B )t  s )  e.  A
) ) )
4948expimpd 586 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  B  e.  J )  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x
)  ->  ( (
s  e.  ~P x  /\  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  A ) )  -> 
( s  e.  ( ( ( nei `  ( Jt  B ) ) `  { y } )  i^i  ~P x )  /\  ( ( Jt  B )t  s )  e.  A
) ) )
5049reximdv2 2728 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  B  e.  J )  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x
)  ->  ( E. s  e.  ~P  x E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  A )  ->  E. s  e.  ( ( ( nei `  ( Jt  B ) ) `  { y } )  i^i  ~P x ) ( ( Jt  B )t  s )  e.  A ) )
5110, 50mpd 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  B  e.  J )  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x
)  ->  E. s  e.  ( ( ( nei `  ( Jt  B ) ) `  { y } )  i^i  ~P x ) ( ( Jt  B )t  s )  e.  A )
52513expa 1151 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B ) )  /\  y  e.  x )  ->  E. s  e.  ( ( ( nei `  ( Jt  B ) ) `  { y } )  i^i  ~P x ) ( ( Jt  B )t  s )  e.  A )
5352ralrimiva 2702 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  B  e.  J )  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B ) )  ->  A. y  e.  x  E. s  e.  ( ( ( nei `  ( Jt  B ) ) `  { y } )  i^i  ~P x ) ( ( Jt  B )t  s )  e.  A )
5453ex 423 . . . 4  |-  ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  B  e.  J )  ->  (
( x  e.  J  /\  x  C_  B )  ->  A. y  e.  x  E. s  e.  (
( ( nei `  ( Jt  B ) ) `  { y } )  i^i  ~P x ) ( ( Jt  B )t  s )  e.  A ) )
555, 54sylbid 206 . . 3  |-  ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  B  e.  J )  ->  (
x  e.  ( Jt  B )  ->  A. y  e.  x  E. s  e.  ( ( ( nei `  ( Jt  B ) ) `  { y } )  i^i  ~P x ) ( ( Jt  B )t  s )  e.  A ) )
5655ralrimiv 2701 . 2  |-  ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  B  e.  J )  ->  A. x  e.  ( Jt  B ) A. y  e.  x  E. s  e.  ( ( ( nei `  ( Jt  B ) ) `  { y } )  i^i  ~P x ) ( ( Jt  B )t  s )  e.  A )
57 isnlly 17301 . 2  |-  ( ( Jt  B )  e. 𝑛Locally  A  <->  ( ( Jt  B )  e.  Top  /\ 
A. x  e.  ( Jt  B ) A. y  e.  x  E. s  e.  ( ( ( nei `  ( Jt  B ) ) `  { y } )  i^i  ~P x ) ( ( Jt  B )t  s )  e.  A ) )
583, 56, 57sylanbrc 645 1  |-  ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  B  e.  J )  ->  ( Jt  B )  e. 𝑛Locally  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1642    e. wcel 1710   A.wral 2619   E.wrex 2620    i^i cin 3227    C_ wss 3228   ~Pcpw 3701   {csn 3716   U.cuni 3908   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   ↾t crest 13424   Topctop 16737   neicnei 16940  𝑛Locally cnlly 17297
This theorem is referenced by:  loclly  17319  nllyidm  17321
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-oadd 6570  df-er 6747  df-en 6952  df-fin 6955  df-fi 7255  df-rest 13426  df-topgen 13443  df-top 16742  df-bases 16744  df-topon 16745  df-nei 16941  df-nlly 17299
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