MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nllyrest Unicode version

Theorem nllyrest 17502
Description: An open subspace of an n-locally  A space is also n-locally  A. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
nllyrest  |-  ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  B  e.  J )  ->  ( Jt  B )  e. 𝑛Locally  A )

Proof of Theorem nllyrest
Dummy variables  s  u  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nllytop 17489 . . 3  |-  ( J  e. 𝑛Locally  A  ->  J  e.  Top )
2 resttop 17178 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  J )  ->  ( Jt  B )  e.  Top )
31, 2sylan 458 . 2  |-  ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  B  e.  J )  ->  ( Jt  B )  e.  Top )
4 restopn2 17195 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  J )  ->  ( x  e.  ( Jt  B )  <->  ( x  e.  J  /\  x  C_  B ) ) )
51, 4sylan 458 . . . 4  |-  ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  B  e.  J )  ->  (
x  e.  ( Jt  B )  <->  ( x  e.  J  /\  x  C_  B ) ) )
6 simp1l 981 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  B  e.  J )  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x
)  ->  J  e. 𝑛Locally  A
)
7 simp2l 983 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  B  e.  J )  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x
)  ->  x  e.  J )
8 simp3 959 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  B  e.  J )  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x
)  ->  y  e.  x )
9 nlly2i 17492 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  x  e.  J  /\  y  e.  x )  ->  E. s  e.  ~P  x E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  A ) )
106, 7, 8, 9syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  B  e.  J )  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x
)  ->  E. s  e.  ~P  x E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  A ) )
1133ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  B  e.  J )  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x
)  ->  ( Jt  B
)  e.  Top )
12113ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  s  e.  ~P x  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  A ) ) )  ->  ( Jt  B )  e.  Top )
13 simp3l 985 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  s  e.  ~P x  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  A ) ) )  ->  u  e.  J
)
14 simp3r2 1066 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  s  e.  ~P x  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  A ) ) )  ->  u  C_  s
)
15 simp2 958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  s  e.  ~P x  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  A ) ) )  ->  s  e.  ~P x )
1615elpwid 3768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  s  e.  ~P x  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  A ) ) )  ->  s  C_  x
)
17 simp12r 1071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  s  e.  ~P x  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  A ) ) )  ->  x  C_  B
)
1816, 17sstrd 3318 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  s  e.  ~P x  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  A ) ) )  ->  s  C_  B
)
1914, 18sstrd 3318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  s  e.  ~P x  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  A ) ) )  ->  u  C_  B
)
2063ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  s  e.  ~P x  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  A ) ) )  ->  J  e. 𝑛Locally  A )
2120, 1syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  s  e.  ~P x  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  A ) ) )  ->  J  e.  Top )
22 simp11r 1069 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  s  e.  ~P x  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  A ) ) )  ->  B  e.  J
)
23 restopn2 17195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  J )  ->  ( u  e.  ( Jt  B )  <->  ( u  e.  J  /\  u  C_  B ) ) )
2421, 22, 23syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  s  e.  ~P x  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  A ) ) )  ->  ( u  e.  ( Jt  B )  <->  ( u  e.  J  /\  u  C_  B ) ) )
2513, 19, 24mpbir2and 889 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  s  e.  ~P x  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  A ) ) )  ->  u  e.  ( Jt  B ) )
26 simp3r1 1065 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  s  e.  ~P x  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  A ) ) )  ->  y  e.  u
)
27 opnneip 17138 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( Jt  B )  e.  Top  /\  u  e.  ( Jt  B )  /\  y  e.  u )  ->  u  e.  ( ( nei `  ( Jt  B ) ) `  { y } ) )
2812, 25, 26, 27syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  s  e.  ~P x  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  A ) ) )  ->  u  e.  ( ( nei `  ( Jt  B ) ) `  { y } ) )
29 elssuni 4003 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( B  e.  J  ->  B  C_ 
U. J )
3022, 29syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  s  e.  ~P x  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  A ) ) )  ->  B  C_  U. J
)
31 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  U. J  =  U. J
3231restuni 17180 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  C_  U. J )  ->  B  =  U. ( Jt  B ) )
3321, 30, 32syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  s  e.  ~P x  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  A ) ) )  ->  B  =  U. ( Jt  B ) )
3418, 33sseqtrd 3344 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  s  e.  ~P x  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  A ) ) )  ->  s  C_  U. ( Jt  B ) )
35 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U. ( Jt  B )  =  U. ( Jt  B )
3635ssnei2 17135 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( Jt  B )  e.  Top  /\  u  e.  ( ( nei `  ( Jt  B ) ) `  { y } ) )  /\  ( u 
C_  s  /\  s  C_ 
U. ( Jt  B ) ) )  ->  s  e.  ( ( nei `  ( Jt  B ) ) `  { y } ) )
3712, 28, 14, 34, 36syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  s  e.  ~P x  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  A ) ) )  ->  s  e.  ( ( nei `  ( Jt  B ) ) `  { y } ) )
38 elin 3490 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  e.  ( ( ( nei `  ( Jt  B ) ) `  {
y } )  i^i 
~P x )  <->  ( s  e.  ( ( nei `  ( Jt  B ) ) `  { y } )  /\  s  e.  ~P x ) )
3937, 15, 38sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  s  e.  ~P x  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  A ) ) )  ->  s  e.  ( ( ( nei `  ( Jt  B ) ) `  { y } )  i^i  ~P x ) )
40 restabs 17183 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  Top  /\  s  C_  B  /\  B  e.  J )  ->  (
( Jt  B )t  s )  =  ( Jt  s ) )
4121, 18, 22, 40syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  s  e.  ~P x  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  A ) ) )  ->  ( ( Jt  B )t  s )  =  ( Jt  s ) )
42 simp3r3 1067 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  s  e.  ~P x  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  A ) ) )  ->  ( Jt  s )  e.  A )
4341, 42eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  s  e.  ~P x  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  A ) ) )  ->  ( ( Jt  B )t  s )  e.  A
)
4439, 43jca 519 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  s  e.  ~P x  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  A ) ) )  ->  ( s  e.  ( ( ( nei `  ( Jt  B ) ) `  { y } )  i^i  ~P x )  /\  ( ( Jt  B )t  s )  e.  A
) )
45443expa 1153 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  B  e.  J )  /\  (
x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  s  e.  ~P x )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  A ) ) )  ->  ( s  e.  ( ( ( nei `  ( Jt  B ) ) `  { y } )  i^i  ~P x )  /\  ( ( Jt  B )t  s )  e.  A
) )
4645rexlimdvaa 2791 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  s  e.  ~P x )  -> 
( E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  A )  -> 
( s  e.  ( ( ( nei `  ( Jt  B ) ) `  { y } )  i^i  ~P x )  /\  ( ( Jt  B )t  s )  e.  A
) ) )
4746expimpd 587 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  B  e.  J )  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x
)  ->  ( (
s  e.  ~P x  /\  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  A ) )  -> 
( s  e.  ( ( ( nei `  ( Jt  B ) ) `  { y } )  i^i  ~P x )  /\  ( ( Jt  B )t  s )  e.  A
) ) )
4847reximdv2 2775 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  B  e.  J )  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x
)  ->  ( E. s  e.  ~P  x E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  A )  ->  E. s  e.  ( ( ( nei `  ( Jt  B ) ) `  { y } )  i^i  ~P x ) ( ( Jt  B )t  s )  e.  A ) )
4910, 48mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  B  e.  J )  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x
)  ->  E. s  e.  ( ( ( nei `  ( Jt  B ) ) `  { y } )  i^i  ~P x ) ( ( Jt  B )t  s )  e.  A )
50493expa 1153 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B ) )  /\  y  e.  x )  ->  E. s  e.  ( ( ( nei `  ( Jt  B ) ) `  { y } )  i^i  ~P x ) ( ( Jt  B )t  s )  e.  A )
5150ralrimiva 2749 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  B  e.  J )  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B ) )  ->  A. y  e.  x  E. s  e.  ( ( ( nei `  ( Jt  B ) ) `  { y } )  i^i  ~P x ) ( ( Jt  B )t  s )  e.  A )
5251ex 424 . . . 4  |-  ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  B  e.  J )  ->  (
( x  e.  J  /\  x  C_  B )  ->  A. y  e.  x  E. s  e.  (
( ( nei `  ( Jt  B ) ) `  { y } )  i^i  ~P x ) ( ( Jt  B )t  s )  e.  A ) )
535, 52sylbid 207 . . 3  |-  ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  B  e.  J )  ->  (
x  e.  ( Jt  B )  ->  A. y  e.  x  E. s  e.  ( ( ( nei `  ( Jt  B ) ) `  { y } )  i^i  ~P x ) ( ( Jt  B )t  s )  e.  A ) )
5453ralrimiv 2748 . 2  |-  ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  B  e.  J )  ->  A. x  e.  ( Jt  B ) A. y  e.  x  E. s  e.  ( ( ( nei `  ( Jt  B ) ) `  { y } )  i^i  ~P x ) ( ( Jt  B )t  s )  e.  A )
55 isnlly 17485 . 2  |-  ( ( Jt  B )  e. 𝑛Locally  A  <->  ( ( Jt  B )  e.  Top  /\ 
A. x  e.  ( Jt  B ) A. y  e.  x  E. s  e.  ( ( ( nei `  ( Jt  B ) ) `  { y } )  i^i  ~P x ) ( ( Jt  B )t  s )  e.  A ) )
563, 54, 55sylanbrc 646 1  |-  ( ( J  e. 𝑛Locally  A  /\  B  e.  J )  ->  ( Jt  B )  e. 𝑛Locally  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667    i^i cin 3279    C_ wss 3280   ~Pcpw 3759   {csn 3774   U.cuni 3975   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   ↾t crest 13603   Topctop 16913   neicnei 17116  𝑛Locally cnlly 17481
This theorem is referenced by:  loclly  17503  nllyidm  17505
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-fin 7072  df-fi 7374  df-rest 13605  df-topgen 13622  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-nei 17117  df-nlly 17483
  Copyright terms: Public domain W3C validator