MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nlmdsdi Unicode version

Theorem nlmdsdi 18208
Description: Distribute a distance calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nlmdsdi.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
nlmdsdi.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
nlmdsdi.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
nlmdsdi.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
nlmdsdi.d  |-  D  =  ( dist `  W
)
nlmdsdi.a  |-  A  =  ( norm `  F
)
Assertion
Ref Expression
nlmdsdi  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( ( A `  X )  x.  ( Y D Z ) )  =  ( ( X  .x.  Y
) D ( X 
.x.  Z ) ) )

Proof of Theorem nlmdsdi
StepHypRef Expression
1 simpl 443 . . . 4  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )
)  ->  W  e. NrmMod )
2 simpr1 961 . . . 4  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )
)  ->  X  e.  K )
3 nlmngp 18204 . . . . . . 7  |-  ( W  e. NrmMod  ->  W  e. NrmGrp )
43adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )
)  ->  W  e. NrmGrp )
5 ngpgrp 18137 . . . . . 6  |-  ( W  e. NrmGrp  ->  W  e.  Grp )
64, 5syl 15 . . . . 5  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )
)  ->  W  e.  Grp )
7 simpr2 962 . . . . 5  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )
)  ->  Y  e.  V )
8 simpr3 963 . . . . 5  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )
)  ->  Z  e.  V )
9 nlmdsdi.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  W
)
10 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( -g `  W )  =  (
-g `  W )
119, 10grpsubcl 14562 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )  ->  ( Y ( -g `  W ) Z )  e.  V )
126, 7, 8, 11syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( Y
( -g `  W ) Z )  e.  V
)
13 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( norm `  W )  =  (
norm `  W )
14 nlmdsdi.s . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
15 nlmdsdi.f . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  W )
16 nlmdsdi.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  F
)
17 nlmdsdi.a . . . . 5  |-  A  =  ( norm `  F
)
189, 13, 14, 15, 16, 17nmvs 18203 . . . 4  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  X  e.  K  /\  ( Y ( -g `  W
) Z )  e.  V )  ->  (
( norm `  W ) `  ( X  .x.  ( Y ( -g `  W
) Z ) ) )  =  ( ( A `  X )  x.  ( ( norm `  W ) `  ( Y ( -g `  W
) Z ) ) ) )
191, 2, 12, 18syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( ( norm `  W ) `  ( X  .x.  ( Y ( -g `  W
) Z ) ) )  =  ( ( A `  X )  x.  ( ( norm `  W ) `  ( Y ( -g `  W
) Z ) ) ) )
20 nlmlmod 18205 . . . . . 6  |-  ( W  e. NrmMod  ->  W  e.  LMod )
2120adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )
)  ->  W  e.  LMod )
229, 14, 15, 16, 10, 21, 2, 7, 8lmodsubdi 15698 . . . 4  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( X  .x.  ( Y ( -g `  W ) Z ) )  =  ( ( X  .x.  Y ) ( -g `  W
) ( X  .x.  Z ) ) )
2322fveq2d 5545 . . 3  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( ( norm `  W ) `  ( X  .x.  ( Y ( -g `  W
) Z ) ) )  =  ( (
norm `  W ) `  ( ( X  .x.  Y ) ( -g `  W ) ( X 
.x.  Z ) ) ) )
2419, 23eqtr3d 2330 . 2  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( ( A `  X )  x.  ( ( norm `  W
) `  ( Y
( -g `  W ) Z ) ) )  =  ( ( norm `  W ) `  (
( X  .x.  Y
) ( -g `  W
) ( X  .x.  Z ) ) ) )
25 nlmdsdi.d . . . . 5  |-  D  =  ( dist `  W
)
2613, 9, 10, 25ngpds 18141 . . . 4  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )  ->  ( Y D Z )  =  ( ( norm `  W
) `  ( Y
( -g `  W ) Z ) ) )
274, 7, 8, 26syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( Y D Z )  =  ( ( norm `  W
) `  ( Y
( -g `  W ) Z ) ) )
2827oveq2d 5890 . 2  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( ( A `  X )  x.  ( Y D Z ) )  =  ( ( A `  X
)  x.  ( (
norm `  W ) `  ( Y ( -g `  W ) Z ) ) ) )
299, 15, 14, 16lmodvscl 15660 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  K  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .x.  Y )  e.  V )
3021, 2, 7, 29syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( X  .x.  Y )  e.  V
)
319, 15, 14, 16lmodvscl 15660 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  K  /\  Z  e.  V )  ->  ( X  .x.  Z )  e.  V )
3221, 2, 8, 31syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( X  .x.  Z )  e.  V
)
3313, 9, 10, 25ngpds 18141 . . 3  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  ( X  .x.  Y )  e.  V  /\  ( X 
.x.  Z )  e.  V )  ->  (
( X  .x.  Y
) D ( X 
.x.  Z ) )  =  ( ( norm `  W ) `  (
( X  .x.  Y
) ( -g `  W
) ( X  .x.  Z ) ) ) )
344, 30, 32, 33syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( ( X  .x.  Y ) D ( X  .x.  Z
) )  =  ( ( norm `  W
) `  ( ( X  .x.  Y ) (
-g `  W )
( X  .x.  Z
) ) ) )
3524, 28, 343eqtr4d 2338 1  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( ( A `  X )  x.  ( Y D Z ) )  =  ( ( X  .x.  Y
) D ( X 
.x.  Z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    x. cmul 8758   Basecbs 13164  Scalarcsca 13227   .scvsca 13228   distcds 13233   Grpcgrp 14378   -gcsg 14381   LModclmod 15643   normcnm 18115  NrmGrpcngp 18116  NrmModcnlm 18119
This theorem is referenced by:  nlmvscnlem2  18212
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-plusg 13237  df-topgen 13360  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358  df-lmod 15645  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-xms 17901  df-ms 17902  df-nm 18121  df-ngp 18122  df-nlm 18125
  Copyright terms: Public domain W3C validator