MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nlmdsdi Unicode version

Theorem nlmdsdi 18589
Description: Distribute a distance calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nlmdsdi.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
nlmdsdi.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
nlmdsdi.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
nlmdsdi.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
nlmdsdi.d  |-  D  =  ( dist `  W
)
nlmdsdi.a  |-  A  =  ( norm `  F
)
Assertion
Ref Expression
nlmdsdi  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( ( A `  X )  x.  ( Y D Z ) )  =  ( ( X  .x.  Y
) D ( X 
.x.  Z ) ) )

Proof of Theorem nlmdsdi
StepHypRef Expression
1 simpl 444 . . . 4  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )
)  ->  W  e. NrmMod )
2 simpr1 963 . . . 4  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )
)  ->  X  e.  K )
3 nlmngp 18585 . . . . . . 7  |-  ( W  e. NrmMod  ->  W  e. NrmGrp )
43adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )
)  ->  W  e. NrmGrp )
5 ngpgrp 18518 . . . . . 6  |-  ( W  e. NrmGrp  ->  W  e.  Grp )
64, 5syl 16 . . . . 5  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )
)  ->  W  e.  Grp )
7 simpr2 964 . . . . 5  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )
)  ->  Y  e.  V )
8 simpr3 965 . . . . 5  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )
)  ->  Z  e.  V )
9 nlmdsdi.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  W
)
10 eqid 2388 . . . . . 6  |-  ( -g `  W )  =  (
-g `  W )
119, 10grpsubcl 14797 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )  ->  ( Y ( -g `  W ) Z )  e.  V )
126, 7, 8, 11syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( Y
( -g `  W ) Z )  e.  V
)
13 eqid 2388 . . . . 5  |-  ( norm `  W )  =  (
norm `  W )
14 nlmdsdi.s . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
15 nlmdsdi.f . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  W )
16 nlmdsdi.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  F
)
17 nlmdsdi.a . . . . 5  |-  A  =  ( norm `  F
)
189, 13, 14, 15, 16, 17nmvs 18584 . . . 4  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  X  e.  K  /\  ( Y ( -g `  W
) Z )  e.  V )  ->  (
( norm `  W ) `  ( X  .x.  ( Y ( -g `  W
) Z ) ) )  =  ( ( A `  X )  x.  ( ( norm `  W ) `  ( Y ( -g `  W
) Z ) ) ) )
191, 2, 12, 18syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( ( norm `  W ) `  ( X  .x.  ( Y ( -g `  W
) Z ) ) )  =  ( ( A `  X )  x.  ( ( norm `  W ) `  ( Y ( -g `  W
) Z ) ) ) )
20 nlmlmod 18586 . . . . . 6  |-  ( W  e. NrmMod  ->  W  e.  LMod )
2120adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )
)  ->  W  e.  LMod )
229, 14, 15, 16, 10, 21, 2, 7, 8lmodsubdi 15929 . . . 4  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( X  .x.  ( Y ( -g `  W ) Z ) )  =  ( ( X  .x.  Y ) ( -g `  W
) ( X  .x.  Z ) ) )
2322fveq2d 5673 . . 3  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( ( norm `  W ) `  ( X  .x.  ( Y ( -g `  W
) Z ) ) )  =  ( (
norm `  W ) `  ( ( X  .x.  Y ) ( -g `  W ) ( X 
.x.  Z ) ) ) )
2419, 23eqtr3d 2422 . 2  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( ( A `  X )  x.  ( ( norm `  W
) `  ( Y
( -g `  W ) Z ) ) )  =  ( ( norm `  W ) `  (
( X  .x.  Y
) ( -g `  W
) ( X  .x.  Z ) ) ) )
25 nlmdsdi.d . . . . 5  |-  D  =  ( dist `  W
)
2613, 9, 10, 25ngpds 18522 . . . 4  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )  ->  ( Y D Z )  =  ( ( norm `  W
) `  ( Y
( -g `  W ) Z ) ) )
274, 7, 8, 26syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( Y D Z )  =  ( ( norm `  W
) `  ( Y
( -g `  W ) Z ) ) )
2827oveq2d 6037 . 2  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( ( A `  X )  x.  ( Y D Z ) )  =  ( ( A `  X
)  x.  ( (
norm `  W ) `  ( Y ( -g `  W ) Z ) ) ) )
299, 15, 14, 16lmodvscl 15895 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  K  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .x.  Y )  e.  V )
3021, 2, 7, 29syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( X  .x.  Y )  e.  V
)
319, 15, 14, 16lmodvscl 15895 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  K  /\  Z  e.  V )  ->  ( X  .x.  Z )  e.  V )
3221, 2, 8, 31syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( X  .x.  Z )  e.  V
)
3313, 9, 10, 25ngpds 18522 . . 3  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  ( X  .x.  Y )  e.  V  /\  ( X 
.x.  Z )  e.  V )  ->  (
( X  .x.  Y
) D ( X 
.x.  Z ) )  =  ( ( norm `  W ) `  (
( X  .x.  Y
) ( -g `  W
) ( X  .x.  Z ) ) ) )
344, 30, 32, 33syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( ( X  .x.  Y ) D ( X  .x.  Z
) )  =  ( ( norm `  W
) `  ( ( X  .x.  Y ) (
-g `  W )
( X  .x.  Z
) ) ) )
3524, 28, 343eqtr4d 2430 1  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( ( A `  X )  x.  ( Y D Z ) )  =  ( ( X  .x.  Y
) D ( X 
.x.  Z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   ` cfv 5395  (class class class)co 6021    x. cmul 8929   Basecbs 13397  Scalarcsca 13460   .scvsca 13461   distcds 13466   Grpcgrp 14613   -gcsg 14616   LModclmod 15878   normcnm 18496  NrmGrpcngp 18497  NrmModcnlm 18500
This theorem is referenced by:  nlmvscnlem2  18593
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-er 6842  df-map 6957  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-sup 7382  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-nn 9934  df-2 9991  df-n0 10155  df-z 10216  df-uz 10422  df-q 10508  df-rp 10546  df-xneg 10643  df-xadd 10644  df-xmul 10645  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-sets 13403  df-plusg 13470  df-topgen 13595  df-0g 13655  df-mnd 14618  df-grp 14740  df-minusg 14741  df-sbg 14742  df-mgp 15577  df-rng 15591  df-ur 15593  df-lmod 15880  df-xmet 16620  df-met 16621  df-bl 16622  df-mopn 16623  df-top 16887  df-bases 16889  df-topon 16890  df-topsp 16891  df-xms 18260  df-ms 18261  df-nm 18502  df-ngp 18503  df-nlm 18506
  Copyright terms: Public domain W3C validator