MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nlmdsdi Structured version   Unicode version

Theorem nlmdsdi 18709
Description: Distribute a distance calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nlmdsdi.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
nlmdsdi.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
nlmdsdi.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
nlmdsdi.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
nlmdsdi.d  |-  D  =  ( dist `  W
)
nlmdsdi.a  |-  A  =  ( norm `  F
)
Assertion
Ref Expression
nlmdsdi  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( ( A `  X )  x.  ( Y D Z ) )  =  ( ( X  .x.  Y
) D ( X 
.x.  Z ) ) )

Proof of Theorem nlmdsdi
StepHypRef Expression
1 simpl 444 . . . 4  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )
)  ->  W  e. NrmMod )
2 simpr1 963 . . . 4  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )
)  ->  X  e.  K )
3 nlmngp 18705 . . . . . . 7  |-  ( W  e. NrmMod  ->  W  e. NrmGrp )
43adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )
)  ->  W  e. NrmGrp )
5 ngpgrp 18638 . . . . . 6  |-  ( W  e. NrmGrp  ->  W  e.  Grp )
64, 5syl 16 . . . . 5  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )
)  ->  W  e.  Grp )
7 simpr2 964 . . . . 5  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )
)  ->  Y  e.  V )
8 simpr3 965 . . . . 5  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )
)  ->  Z  e.  V )
9 nlmdsdi.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  W
)
10 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( -g `  W )  =  (
-g `  W )
119, 10grpsubcl 14861 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )  ->  ( Y ( -g `  W ) Z )  e.  V )
126, 7, 8, 11syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( Y
( -g `  W ) Z )  e.  V
)
13 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( norm `  W )  =  (
norm `  W )
14 nlmdsdi.s . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
15 nlmdsdi.f . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  W )
16 nlmdsdi.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  F
)
17 nlmdsdi.a . . . . 5  |-  A  =  ( norm `  F
)
189, 13, 14, 15, 16, 17nmvs 18704 . . . 4  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  X  e.  K  /\  ( Y ( -g `  W
) Z )  e.  V )  ->  (
( norm `  W ) `  ( X  .x.  ( Y ( -g `  W
) Z ) ) )  =  ( ( A `  X )  x.  ( ( norm `  W ) `  ( Y ( -g `  W
) Z ) ) ) )
191, 2, 12, 18syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( ( norm `  W ) `  ( X  .x.  ( Y ( -g `  W
) Z ) ) )  =  ( ( A `  X )  x.  ( ( norm `  W ) `  ( Y ( -g `  W
) Z ) ) ) )
20 nlmlmod 18706 . . . . . 6  |-  ( W  e. NrmMod  ->  W  e.  LMod )
2120adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )
)  ->  W  e.  LMod )
229, 14, 15, 16, 10, 21, 2, 7, 8lmodsubdi 15993 . . . 4  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( X  .x.  ( Y ( -g `  W ) Z ) )  =  ( ( X  .x.  Y ) ( -g `  W
) ( X  .x.  Z ) ) )
2322fveq2d 5724 . . 3  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( ( norm `  W ) `  ( X  .x.  ( Y ( -g `  W
) Z ) ) )  =  ( (
norm `  W ) `  ( ( X  .x.  Y ) ( -g `  W ) ( X 
.x.  Z ) ) ) )
2419, 23eqtr3d 2469 . 2  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( ( A `  X )  x.  ( ( norm `  W
) `  ( Y
( -g `  W ) Z ) ) )  =  ( ( norm `  W ) `  (
( X  .x.  Y
) ( -g `  W
) ( X  .x.  Z ) ) ) )
25 nlmdsdi.d . . . . 5  |-  D  =  ( dist `  W
)
2613, 9, 10, 25ngpds 18642 . . . 4  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )  ->  ( Y D Z )  =  ( ( norm `  W
) `  ( Y
( -g `  W ) Z ) ) )
274, 7, 8, 26syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( Y D Z )  =  ( ( norm `  W
) `  ( Y
( -g `  W ) Z ) ) )
2827oveq2d 6089 . 2  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( ( A `  X )  x.  ( Y D Z ) )  =  ( ( A `  X
)  x.  ( (
norm `  W ) `  ( Y ( -g `  W ) Z ) ) ) )
299, 15, 14, 16lmodvscl 15959 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  K  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .x.  Y )  e.  V )
3021, 2, 7, 29syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( X  .x.  Y )  e.  V
)
319, 15, 14, 16lmodvscl 15959 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  K  /\  Z  e.  V )  ->  ( X  .x.  Z )  e.  V )
3221, 2, 8, 31syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( X  .x.  Z )  e.  V
)
3313, 9, 10, 25ngpds 18642 . . 3  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  ( X  .x.  Y )  e.  V  /\  ( X 
.x.  Z )  e.  V )  ->  (
( X  .x.  Y
) D ( X 
.x.  Z ) )  =  ( ( norm `  W ) `  (
( X  .x.  Y
) ( -g `  W
) ( X  .x.  Z ) ) ) )
344, 30, 32, 33syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( ( X  .x.  Y ) D ( X  .x.  Z
) )  =  ( ( norm `  W
) `  ( ( X  .x.  Y ) (
-g `  W )
( X  .x.  Z
) ) ) )
3524, 28, 343eqtr4d 2477 1  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( ( A `  X )  x.  ( Y D Z ) )  =  ( ( X  .x.  Y
) D ( X 
.x.  Z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    x. cmul 8987   Basecbs 13461  Scalarcsca 13524   .scvsca 13525   distcds 13530   Grpcgrp 14677   -gcsg 14680   LModclmod 15942   normcnm 18616  NrmGrpcngp 18617  NrmModcnlm 18620
This theorem is referenced by:  nlmvscnlem2  18713
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-plusg 13534  df-topgen 13659  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-ur 15657  df-lmod 15944  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-xms 18342  df-ms 18343  df-nm 18622  df-ngp 18623  df-nlm 18626
  Copyright terms: Public domain W3C validator