Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nlmdsdi Structured version   Unicode version

Theorem nlmdsdi 18709
 Description: Distribute a distance calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nlmdsdi.v
nlmdsdi.s
nlmdsdi.f Scalar
nlmdsdi.k
nlmdsdi.d
nlmdsdi.a
Assertion
Ref Expression
nlmdsdi NrmMod

Proof of Theorem nlmdsdi
StepHypRef Expression
1 simpl 444 . . . 4 NrmMod NrmMod
2 simpr1 963 . . . 4 NrmMod
3 nlmngp 18705 . . . . . . 7 NrmMod NrmGrp
43adantr 452 . . . . . 6 NrmMod NrmGrp
5 ngpgrp 18638 . . . . . 6 NrmGrp
64, 5syl 16 . . . . 5 NrmMod
7 simpr2 964 . . . . 5 NrmMod
8 simpr3 965 . . . . 5 NrmMod
9 nlmdsdi.v . . . . . 6
10 eqid 2435 . . . . . 6
119, 10grpsubcl 14861 . . . . 5
126, 7, 8, 11syl3anc 1184 . . . 4 NrmMod
13 eqid 2435 . . . . 5
14 nlmdsdi.s . . . . 5
15 nlmdsdi.f . . . . 5 Scalar
16 nlmdsdi.k . . . . 5
17 nlmdsdi.a . . . . 5
189, 13, 14, 15, 16, 17nmvs 18704 . . . 4 NrmMod
191, 2, 12, 18syl3anc 1184 . . 3 NrmMod
20 nlmlmod 18706 . . . . . 6 NrmMod
2120adantr 452 . . . . 5 NrmMod
229, 14, 15, 16, 10, 21, 2, 7, 8lmodsubdi 15993 . . . 4 NrmMod
2322fveq2d 5724 . . 3 NrmMod
2419, 23eqtr3d 2469 . 2 NrmMod
25 nlmdsdi.d . . . . 5
2613, 9, 10, 25ngpds 18642 . . . 4 NrmGrp
274, 7, 8, 26syl3anc 1184 . . 3 NrmMod
2827oveq2d 6089 . 2 NrmMod
299, 15, 14, 16lmodvscl 15959 . . . 4
3021, 2, 7, 29syl3anc 1184 . . 3 NrmMod
319, 15, 14, 16lmodvscl 15959 . . . 4
3221, 2, 8, 31syl3anc 1184 . . 3 NrmMod
3313, 9, 10, 25ngpds 18642 . . 3 NrmGrp
344, 30, 32, 33syl3anc 1184 . 2 NrmMod
3524, 28, 343eqtr4d 2477 1 NrmMod
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  cfv 5446  (class class class)co 6073   cmul 8987  cbs 13461  Scalarcsca 13524  cvsca 13525  cds 13530  cgrp 14677  csg 14680  clmod 15942  cnm 18616  NrmGrpcngp 18617  NrmModcnlm 18620 This theorem is referenced by:  nlmvscnlem2  18713 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-plusg 13534  df-topgen 13659  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-ur 15657  df-lmod 15944  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-xms 18342  df-ms 18343  df-nm 18622  df-ngp 18623  df-nlm 18626
 Copyright terms: Public domain W3C validator