MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nlmdsdir Unicode version

Theorem nlmdsdir 18193
Description: Distribute a distance calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nlmdsdi.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
nlmdsdi.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
nlmdsdi.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
nlmdsdi.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
nlmdsdi.d  |-  D  =  ( dist `  W
)
nlmdsdir.n  |-  N  =  ( norm `  W
)
nlmdsdir.e  |-  E  =  ( dist `  F
)
Assertion
Ref Expression
nlmdsdir  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  K  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( ( X E Y )  x.  ( N `  Z
) )  =  ( ( X  .x.  Z
) D ( Y 
.x.  Z ) ) )

Proof of Theorem nlmdsdir
StepHypRef Expression
1 simpl 443 . . . 4  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  K  /\  Z  e.  V )
)  ->  W  e. NrmMod )
2 nlmdsdi.f . . . . . . . 8  |-  F  =  (Scalar `  W )
32nlmngp2 18191 . . . . . . 7  |-  ( W  e. NrmMod  ->  F  e. NrmGrp )
43adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  K  /\  Z  e.  V )
)  ->  F  e. NrmGrp )
5 ngpgrp 18121 . . . . . 6  |-  ( F  e. NrmGrp  ->  F  e.  Grp )
64, 5syl 15 . . . . 5  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  K  /\  Z  e.  V )
)  ->  F  e.  Grp )
7 simpr1 961 . . . . 5  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  K  /\  Z  e.  V )
)  ->  X  e.  K )
8 simpr2 962 . . . . 5  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  K  /\  Z  e.  V )
)  ->  Y  e.  K )
9 nlmdsdi.k . . . . . 6  |-  K  =  ( Base `  F
)
10 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( -g `  F )  =  (
-g `  F )
119, 10grpsubcl 14546 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  Grp  /\  X  e.  K  /\  Y  e.  K )  ->  ( X ( -g `  F ) Y )  e.  K )
126, 7, 8, 11syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  K  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( X
( -g `  F ) Y )  e.  K
)
13 simpr3 963 . . . 4  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  K  /\  Z  e.  V )
)  ->  Z  e.  V )
14 nlmdsdi.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
15 nlmdsdir.n . . . . 5  |-  N  =  ( norm `  W
)
16 nlmdsdi.s . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
17 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( norm `  F )  =  (
norm `  F )
1814, 15, 16, 2, 9, 17nmvs 18187 . . . 4  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X ( -g `  F
) Y )  e.  K  /\  Z  e.  V )  ->  ( N `  ( ( X ( -g `  F
) Y )  .x.  Z ) )  =  ( ( ( norm `  F ) `  ( X ( -g `  F
) Y ) )  x.  ( N `  Z ) ) )
191, 12, 13, 18syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  K  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( N `  ( ( X (
-g `  F ) Y )  .x.  Z
) )  =  ( ( ( norm `  F
) `  ( X
( -g `  F ) Y ) )  x.  ( N `  Z
) ) )
20 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( -g `  W )  =  (
-g `  W )
21 nlmlmod 18189 . . . . . 6  |-  ( W  e. NrmMod  ->  W  e.  LMod )
2221adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  K  /\  Z  e.  V )
)  ->  W  e.  LMod )
2314, 16, 2, 9, 20, 10, 22, 7, 8, 13lmodsubdir 15683 . . . 4  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  K  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( ( X ( -g `  F
) Y )  .x.  Z )  =  ( ( X  .x.  Z
) ( -g `  W
) ( Y  .x.  Z ) ) )
2423fveq2d 5529 . . 3  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  K  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( N `  ( ( X (
-g `  F ) Y )  .x.  Z
) )  =  ( N `  ( ( X  .x.  Z ) ( -g `  W
) ( Y  .x.  Z ) ) ) )
2519, 24eqtr3d 2317 . 2  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  K  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( (
( norm `  F ) `  ( X ( -g `  F ) Y ) )  x.  ( N `
 Z ) )  =  ( N `  ( ( X  .x.  Z ) ( -g `  W ) ( Y 
.x.  Z ) ) ) )
26 nlmdsdir.e . . . . 5  |-  E  =  ( dist `  F
)
2717, 9, 10, 26ngpds 18125 . . . 4  |-  ( ( F  e. NrmGrp  /\  X  e.  K  /\  Y  e.  K )  ->  ( X E Y )  =  ( ( norm `  F
) `  ( X
( -g `  F ) Y ) ) )
284, 7, 8, 27syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  K  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( X E Y )  =  ( ( norm `  F
) `  ( X
( -g `  F ) Y ) ) )
2928oveq1d 5873 . 2  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  K  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( ( X E Y )  x.  ( N `  Z
) )  =  ( ( ( norm `  F
) `  ( X
( -g `  F ) Y ) )  x.  ( N `  Z
) ) )
30 nlmngp 18188 . . . 4  |-  ( W  e. NrmMod  ->  W  e. NrmGrp )
3130adantr 451 . . 3  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  K  /\  Z  e.  V )
)  ->  W  e. NrmGrp )
3214, 2, 16, 9lmodvscl 15644 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  K  /\  Z  e.  V )  ->  ( X  .x.  Z )  e.  V )
3322, 7, 13, 32syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  K  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( X  .x.  Z )  e.  V
)
3414, 2, 16, 9lmodvscl 15644 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  K  /\  Z  e.  V )  ->  ( Y  .x.  Z )  e.  V )
3522, 8, 13, 34syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  K  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( Y  .x.  Z )  e.  V
)
36 nlmdsdi.d . . . 4  |-  D  =  ( dist `  W
)
3715, 14, 20, 36ngpds 18125 . . 3  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  ( X  .x.  Z )  e.  V  /\  ( Y 
.x.  Z )  e.  V )  ->  (
( X  .x.  Z
) D ( Y 
.x.  Z ) )  =  ( N `  ( ( X  .x.  Z ) ( -g `  W ) ( Y 
.x.  Z ) ) ) )
3831, 33, 35, 37syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  K  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( ( X  .x.  Z ) D ( Y  .x.  Z
) )  =  ( N `  ( ( X  .x.  Z ) ( -g `  W
) ( Y  .x.  Z ) ) ) )
3925, 29, 383eqtr4d 2325 1  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  K  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( ( X E Y )  x.  ( N `  Z
) )  =  ( ( X  .x.  Z
) D ( Y 
.x.  Z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    x. cmul 8742   Basecbs 13148  Scalarcsca 13211   .scvsca 13212   distcds 13217   Grpcgrp 14362   -gcsg 14365   LModclmod 15627   normcnm 18099  NrmGrpcngp 18100  NrmModcnlm 18103
This theorem is referenced by:  nlmvscnlem2  18196
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-plusg 13221  df-topgen 13344  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-lmod 15629  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-xms 17885  df-ms 17886  df-nm 18105  df-ngp 18106  df-nrg 18108  df-nlm 18109
  Copyright terms: Public domain W3C validator