MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nlmmul0or Structured version   Unicode version

Theorem nlmmul0or 18719
Description: If a scalar product is zero, one of its factors must be zero. (Contributed by NM, 6-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nlmmul0or.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
nlmmul0or.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
nlmmul0or.z  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
nlmmul0or.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
nlmmul0or.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
nlmmul0or.o  |-  O  =  ( 0g `  F
)
Assertion
Ref Expression
nlmmul0or  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  A  e.  K  /\  B  e.  V )  ->  (
( A  .x.  B
)  =  .0.  <->  ( A  =  O  \/  B  =  .0.  ) ) )

Proof of Theorem nlmmul0or
StepHypRef Expression
1 nlmmul0or.f . . . . . . 7  |-  F  =  (Scalar `  W )
21nlmngp2 18716 . . . . . 6  |-  ( W  e. NrmMod  ->  F  e. NrmGrp )
323ad2ant1 978 . . . . 5  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  A  e.  K  /\  B  e.  V )  ->  F  e. NrmGrp )
4 simp2 958 . . . . 5  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  A  e.  K  /\  B  e.  V )  ->  A  e.  K )
5 nlmmul0or.k . . . . . 6  |-  K  =  ( Base `  F
)
6 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( norm `  F )  =  (
norm `  F )
75, 6nmcl 18662 . . . . 5  |-  ( ( F  e. NrmGrp  /\  A  e.  K )  ->  (
( norm `  F ) `  A )  e.  RR )
83, 4, 7syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  A  e.  K  /\  B  e.  V )  ->  (
( norm `  F ) `  A )  e.  RR )
98recnd 9114 . . 3  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  A  e.  K  /\  B  e.  V )  ->  (
( norm `  F ) `  A )  e.  CC )
10 nlmngp 18713 . . . . . 6  |-  ( W  e. NrmMod  ->  W  e. NrmGrp )
11103ad2ant1 978 . . . . 5  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  A  e.  K  /\  B  e.  V )  ->  W  e. NrmGrp )
12 simp3 959 . . . . 5  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  A  e.  K  /\  B  e.  V )  ->  B  e.  V )
13 nlmmul0or.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  W
)
14 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( norm `  W )  =  (
norm `  W )
1513, 14nmcl 18662 . . . . 5  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  B  e.  V )  ->  (
( norm `  W ) `  B )  e.  RR )
1611, 12, 15syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  A  e.  K  /\  B  e.  V )  ->  (
( norm `  W ) `  B )  e.  RR )
1716recnd 9114 . . 3  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  A  e.  K  /\  B  e.  V )  ->  (
( norm `  W ) `  B )  e.  CC )
189, 17mul0ord 9672 . 2  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  A  e.  K  /\  B  e.  V )  ->  (
( ( ( norm `  F ) `  A
)  x.  ( (
norm `  W ) `  B ) )  =  0  <->  ( ( (
norm `  F ) `  A )  =  0  \/  ( ( norm `  W ) `  B
)  =  0 ) ) )
19 nlmmul0or.s . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
2013, 14, 19, 1, 5, 6nmvs 18712 . . . 4  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  A  e.  K  /\  B  e.  V )  ->  (
( norm `  W ) `  ( A  .x.  B
) )  =  ( ( ( norm `  F
) `  A )  x.  ( ( norm `  W
) `  B )
) )
2120eqeq1d 2444 . . 3  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  A  e.  K  /\  B  e.  V )  ->  (
( ( norm `  W
) `  ( A  .x.  B ) )  =  0  <->  ( ( (
norm `  F ) `  A )  x.  (
( norm `  W ) `  B ) )  =  0 ) )
22 nlmlmod 18714 . . . . 5  |-  ( W  e. NrmMod  ->  W  e.  LMod )
2313, 1, 19, 5lmodvscl 15967 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  A  e.  K  /\  B  e.  V )  ->  ( A  .x.  B )  e.  V )
2422, 23syl3an1 1217 . . . 4  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  A  e.  K  /\  B  e.  V )  ->  ( A  .x.  B )  e.  V )
25 nlmmul0or.z . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
2613, 14, 25nmeq0 18664 . . . 4  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  ( A  .x.  B )  e.  V )  ->  (
( ( norm `  W
) `  ( A  .x.  B ) )  =  0  <->  ( A  .x.  B )  =  .0.  ) )
2711, 24, 26syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  A  e.  K  /\  B  e.  V )  ->  (
( ( norm `  W
) `  ( A  .x.  B ) )  =  0  <->  ( A  .x.  B )  =  .0.  ) )
2821, 27bitr3d 247 . 2  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  A  e.  K  /\  B  e.  V )  ->  (
( ( ( norm `  F ) `  A
)  x.  ( (
norm `  W ) `  B ) )  =  0  <->  ( A  .x.  B )  =  .0.  ) )
29 nlmmul0or.o . . . . 5  |-  O  =  ( 0g `  F
)
305, 6, 29nmeq0 18664 . . . 4  |-  ( ( F  e. NrmGrp  /\  A  e.  K )  ->  (
( ( norm `  F
) `  A )  =  0  <->  A  =  O ) )
313, 4, 30syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  A  e.  K  /\  B  e.  V )  ->  (
( ( norm `  F
) `  A )  =  0  <->  A  =  O ) )
3213, 14, 25nmeq0 18664 . . . 4  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  B  e.  V )  ->  (
( ( norm `  W
) `  B )  =  0  <->  B  =  .0.  ) )
3311, 12, 32syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  A  e.  K  /\  B  e.  V )  ->  (
( ( norm `  W
) `  B )  =  0  <->  B  =  .0.  ) )
3431, 33orbi12d 691 . 2  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  A  e.  K  /\  B  e.  V )  ->  (
( ( ( norm `  F ) `  A
)  =  0  \/  ( ( norm `  W
) `  B )  =  0 )  <->  ( A  =  O  \/  B  =  .0.  ) ) )
3518, 28, 343bitr3d 275 1  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  A  e.  K  /\  B  e.  V )  ->  (
( A  .x.  B
)  =  .0.  <->  ( A  =  O  \/  B  =  .0.  ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   RRcr 8989   0cc0 8990    x. cmul 8995   Basecbs 13469  Scalarcsca 13532   .scvsca 13533   0gc0g 13723   LModclmod 15950   normcnm 18624  NrmGrpcngp 18625  NrmModcnlm 18628
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-topgen 13667  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-grp 14812  df-lmod 15952  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-xms 18350  df-ms 18351  df-nm 18630  df-ngp 18631  df-nrg 18633  df-nlm 18634
  Copyright terms: Public domain W3C validator