MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nlmtlm Structured version   Unicode version

Theorem nlmtlm 18722
Description: A normed module is a topological module. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
nlmtlm  |-  ( W  e. NrmMod  ->  W  e. TopMod )

Proof of Theorem nlmtlm
StepHypRef Expression
1 nlmngp 18706 . . . . 5  |-  ( W  e. NrmMod  ->  W  e. NrmGrp )
2 nlmlmod 18707 . . . . . 6  |-  ( W  e. NrmMod  ->  W  e.  LMod )
3 lmodabl 15984 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Abel )
42, 3syl 16 . . . . 5  |-  ( W  e. NrmMod  ->  W  e.  Abel )
5 ngptgp 18670 . . . . 5  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  W  e. 
Abel )  ->  W  e.  TopGrp )
61, 4, 5syl2anc 643 . . . 4  |-  ( W  e. NrmMod  ->  W  e.  TopGrp )
7 tgptmd 18102 . . . 4  |-  ( W  e.  TopGrp  ->  W  e. TopMnd )
86, 7syl 16 . . 3  |-  ( W  e. NrmMod  ->  W  e. TopMnd )
9 eqid 2436 . . . . 5  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
109nlmnrg 18708 . . . 4  |-  ( W  e. NrmMod  ->  (Scalar `  W )  e. NrmRing )
11 nrgtrg 18718 . . . 4  |-  ( (Scalar `  W )  e. NrmRing  ->  (Scalar `  W )  e.  TopRing )
1210, 11syl 16 . . 3  |-  ( W  e. NrmMod  ->  (Scalar `  W )  e.  TopRing )
138, 2, 123jca 1134 . 2  |-  ( W  e. NrmMod  ->  ( W  e. TopMnd  /\  W  e.  LMod  /\  (Scalar `  W )  e.  TopRing ) )
14 eqid 2436 . . 3  |-  ( .s f `  W )  =  ( .s f `  W )
15 eqid 2436 . . 3  |-  ( TopOpen `  W )  =  (
TopOpen `  W )
16 eqid 2436 . . 3  |-  ( TopOpen `  (Scalar `  W ) )  =  ( TopOpen `  (Scalar `  W ) )
179, 14, 15, 16nlmvscn 18716 . 2  |-  ( W  e. NrmMod  ->  ( .s f `  W )  e.  ( ( ( TopOpen `  (Scalar `  W ) )  tX  ( TopOpen `  W )
)  Cn  ( TopOpen `  W ) ) )
1814, 15, 9, 16istlm 18207 . 2  |-  ( W  e. TopMod 
<->  ( ( W  e. TopMnd  /\  W  e.  LMod  /\  (Scalar `  W )  e.  TopRing )  /\  ( .s f `  W )  e.  ( ( (
TopOpen `  (Scalar `  W
) )  tX  ( TopOpen
`  W ) )  Cn  ( TopOpen `  W
) ) ) )
1913, 17, 18sylanbrc 646 1  |-  ( W  e. NrmMod  ->  W  e. TopMod )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 936    e. wcel 1725   ` cfv 5447  (class class class)co 6074  Scalarcsca 13525   TopOpenctopn 13642   Abelcabel 15406   LModclmod 15943   .s fcscaf 15944    Cn ccn 17281    tX ctx 17585  TopMndctmd 18093   TopGrpctgp 18094   TopRingctrg 18178  TopModctlm 18180  NrmGrpcngp 18618  NrmRingcnrg 18620  NrmModcnlm 18621
This theorem is referenced by:  nvctvc  18728
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4313  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694  ax-inf2 7589  ax-cnex 9039  ax-resscn 9040  ax-1cn 9041  ax-icn 9042  ax-addcl 9043  ax-addrcl 9044  ax-mulcl 9045  ax-mulrcl 9046  ax-mulcom 9047  ax-addass 9048  ax-mulass 9049  ax-distr 9050  ax-i2m1 9051  ax-1ne0 9052  ax-1rid 9053  ax-rnegex 9054  ax-rrecex 9055  ax-cnre 9056  ax-pre-lttri 9057  ax-pre-lttrn 9058  ax-pre-ltadd 9059  ax-pre-mulgt0 9060  ax-pre-sup 9061
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rmo 2706  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-pss 3329  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-tp 3815  df-op 3816  df-uni 4009  df-int 4044  df-iun 4088  df-iin 4089  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-tr 4296  df-eprel 4487  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-fr 4534  df-se 4535  df-we 4536  df-ord 4577  df-on 4578  df-lim 4579  df-suc 4580  df-om 4839  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-isom 5456  df-ov 6077  df-oprab 6078  df-mpt2 6079  df-of 6298  df-1st 6342  df-2nd 6343  df-riota 6542  df-recs 6626  df-rdg 6661  df-1o 6717  df-2o 6718  df-oadd 6721  df-er 6898  df-map 7013  df-ixp 7057  df-en 7103  df-dom 7104  df-sdom 7105  df-fin 7106  df-fi 7409  df-sup 7439  df-oi 7472  df-card 7819  df-cda 8041  df-pnf 9115  df-mnf 9116  df-xr 9117  df-ltxr 9118  df-le 9119  df-sub 9286  df-neg 9287  df-div 9671  df-nn 9994  df-2 10051  df-3 10052  df-4 10053  df-5 10054  df-6 10055  df-7 10056  df-8 10057  df-9 10058  df-10 10059  df-n0 10215  df-z 10276  df-dec 10376  df-uz 10482  df-q 10568  df-rp 10606  df-xneg 10703  df-xadd 10704  df-xmul 10705  df-ico 10915  df-icc 10916  df-fz 11037  df-fzo 11129  df-seq 11317  df-exp 11376  df-hash 11612  df-cj 11897  df-re 11898  df-im 11899  df-sqr 12033  df-abs 12034  df-struct 13464  df-ndx 13465  df-slot 13466  df-base 13467  df-sets 13468  df-ress 13469  df-plusg 13535  df-mulr 13536  df-sca 13538  df-vsca 13539  df-tset 13541  df-ple 13542  df-ds 13544  df-hom 13546  df-cco 13547  df-rest 13643  df-topn 13644  df-topgen 13660  df-pt 13661  df-prds 13664  df-xrs 13719  df-0g 13720  df-gsum 13721  df-qtop 13726  df-imas 13727  df-xps 13729  df-mre 13804  df-mrc 13805  df-acs 13807  df-mnd 14683  df-plusf 14684  df-submnd 14732  df-grp 14805  df-minusg 14806  df-sbg 14807  df-mulg 14808  df-subg 14934  df-cntz 15109  df-cmn 15407  df-abl 15408  df-mgp 15642  df-rng 15656  df-ur 15658  df-subrg 15859  df-abv 15898  df-lmod 15945  df-scaf 15946  df-sra 16237  df-rgmod 16238  df-psmet 16687  df-xmet 16688  df-met 16689  df-bl 16690  df-mopn 16691  df-top 16956  df-bases 16958  df-topon 16959  df-topsp 16960  df-cn 17284  df-cnp 17285  df-tx 17587  df-hmeo 17780  df-tmd 18095  df-tgp 18096  df-trg 18182  df-tlm 18184  df-xms 18343  df-ms 18344  df-tms 18345  df-nm 18623  df-ngp 18624  df-nrg 18626  df-nlm 18627
  Copyright terms: Public domain W3C validator